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Trajetória balística
Storyboard
Se um objeto é arremessado ou disparado em um campo gravitacional, ele passa por dois tipos de movimento:
• No eixo vertical, ele se desloca devido ao efeito da gravidade, experimentando uma aceleração gravitacional. Para trajetórias de baixa altura, essa aceleração pode ser considerada constante.
• No eixo horizontal, desde que a resistência do ar seja negligenciável, o objeto se desloca com velocidade constante, pois não há força para acelerá-lo ou desacelerá-lo.
O resultado é o que é conhecido como uma trajetória balística, que alcança sua máxima distância quando arremessada ou disparada sob um ângulo de 45 graus.
ID:(1446, 0)
Visão na idade média
Conceito
Durante a Idade Média, ao observar o voo de uma bola de canhão, desenhava-se uma curva que mostrava uma subida pronunciada seguida por uma queda quase vertical, como pode ser visto na imagem:
No entanto, ao analisar as equações da cinemática, sabe-se que a trajetória real da bola de canhão é muito diferente. Na verdade, trata-se de uma parábola que é produzida pela combinação do movimento vertical, causado pela gravidade, e do movimento horizontal, que é constante.
Em outras palavras, o tempo que a bola permanece no ar é determinado pelo seu movimento vertical, enquanto a distância percorrida na direção horizontal é determinada pela sua velocidade horizontal.
ID:(13996, 0)
Trajetória balística
Conceito
A trajetória balística geralmente segue uma parábola invertida com um ponto de altura máxima atingida ($y_{max}$) e uma distância máxima alcançada ($x_{imp}$) com la tempo de altura máxima ($t_{max}$) e la tempo de impactar ($t_{imp}$):
Nota: Estritamente falando, as componentes devem ser estimadas com base em seus valores ao nível do solo para determinar com precisão os parâmetros da altura máxima e do ponto de impacto.
ID:(12536, 0)
Modelo
Conceito
Variáveis
Parâmetros
Parâmetro selecionado
Cálculos
Equação
$ t_{imp} =\displaystyle\frac{ v_0 \sin \phi }{ g }\left(1+\sqrt{1+\displaystyle\frac{ 2 g h }{ v_0 ^2 \sin^2 \phi }}\right)$
t_imp = v_0 *sin( phi )*(1+sqrt(1+2* g * h /(v_0 ^2*sin( phi )^2)))/ g
$ t_{max} =\displaystyle\frac{ v_0 }{ g }\sin \phi $
t_max = v_0 *sin( phi )/ g
$ v_{0x} = v_0 \cos \phi $
v_0x = v_0 *cos( phi )
$ v_{0y} = v_0 \sin \phi $
v_0y = v_0 *sin( phi )
$ x = v_{0x} t $
x = v_0x * t
$ x_{imp} =\displaystyle\frac{ v_0 ^2\sin \phi \cos \phi }{ g }\left(1 + \sqrt{1 + \displaystyle\frac{2 g h }{ v_0 ^2\sin^2 \phi }}\right) $
x_imp = v_0 ^2*sin( phi )*cos( phi )*(1+sqrt(1+2* g * h /( v_0 ^2*sin( phi )^2)))/ g
$ y = h + v_{0y} t -\displaystyle\frac{1}{2} g t ^2$
y = h + v_0y * t - g * t ^2/2
$ y_{max} = h + \displaystyle\frac{ v_0 ^2}{2 g }\sin^2 \phi $
y_max = h + v_0 ^2*sin( phi )^2/(2* g )
ID:(15407, 0)
Velocidade horizontal
Equação
Se uma massa pontual se move com uma velocidade inicial ($v_0$) e é disparada para baixo um altura máxima atingida ($\phi$) em relação à superfície, então o seu velocidade horizontal inicial ($v_{0x}$) será igual a:
 $ v_{0x} = v_0 \cos \phi $ |
ID:(10932, 0)
Velocidade vertical
Equação
Se uma massa pontual se move com uma velocidade inicial ($v_0$) e é disparada para baixo um altura máxima atingida ($\phi$) em relação à superfície, então o seu velocidade vertical inicial ($v_{0y}$) será igual a:
| $ v_{0y} = v_0 \sin \phi $ |
ID:(10933, 0)
Distância horizontal percorrida
Equação
O objeto percorre um tempo ($t$) até Uma velocidade horizontal inicial ($v_{0x}$) Uma posição no eixo x ($x$) igual a
| $ x = v_{0x} t $ |
La posição ($s$) percorrido com velocidade constante ($v_0$) com la velocidade ($s_0$), o tempo ($t$) e o tempo inicial ($t_0$) é
| $ s = s_0 + v_0 ( t - t_0 )$ |
Portanto, se o movimento começa na origem ($s_0=0$) no início do tempo ($t_0=0$), o movimento é descrito por $x=s$ e $v_0=v_{0x}$.
| $ x = v_{0x} t $ |
ID:(10930, 0)
Altura vertical atingida
Equação
Um objeto decola no campo terrestre com uma velocidade de la aceleração gravitacional ($g$), a uma altura para atirar ($h$) com um ângulo de uma velocidade vertical inicial ($v_{0y}$) e alcançará em um tempo ($t$) a uma altura de uma posição no eixo y ($y$).
| $ y = h + v_{0y} t -\displaystyle\frac{1}{2} g t ^2$ |
Para o caso em que aceleração constante ($a_0$) é igual à aceleração gravitacional ($a_0=-g$), a trajetória vertical pode ser calculada utilizando a equação para la posição ($s$) com la velocidade ($s_0$), la velocidade inicial ($v_0$), o tempo ($t$) e o tempo inicial ($t_0$):
| $ s = s_0 + v_0 ( t - t_0 )+\displaystyle\frac{1}{2} a_0 ( t - t_0 )^2$ |
No cenário em que o movimento começa em la altura para atirar ($h$) ($s_0=h$), o tempo inicial ($t_0$) ($t_0=0$) e la velocidade vertical inicial ($v_{0y}$) ($v_0=v_{0y}$) são dados, o movimento pode ser descrito pela fórmula:
| $ y = h + v_{0y} t -\displaystyle\frac{1}{2} g t ^2$ |
Nota: Se desejar que o alvo esteja em um ponto mais alto do que o canhão, um ângulo negativo de uma altura para atirar ($h$) deve ser usado.
ID:(10931, 0)
Tempo de impacto
Equação
Se um objeto se move com uma velocidade de uma velocidade inicial ($v_0$) e é disparado com um ângulo de um altura máxima atingida ($\phi$) em relação à superfície, la tempo de impactar ($t_{imp}$) pode ser calculado usando la aceleração gravitacional ($g$) e la altura para atirar ($h$):
| $ t_{imp} =\displaystyle\frac{ v_0 \sin \phi }{ g }\left(1+\sqrt{1+\displaystyle\frac{ 2 g h }{ v_0 ^2 \sin^2 \phi }}\right)$ |
Para determinar o tempo de impacto, podemos usar a equação de la posição no eixo y ($y$), que depende de la altura para atirar ($h$), la velocidade vertical inicial ($v_{0y}$), la aceleração gravitacional ($g$) e o tempo ($t$), onde a altura é zero:
| $ y = h + v_{0y} t -\displaystyle\frac{1}{2} g t ^2$ |
Isso resulta em um tempo:
$t=\displaystyle\frac{ v_{y0} +\sqrt{ v_{0y} ^2 + 2 g h }}{g}$
Com la velocidade inicial ($v_0$) e o altura máxima atingida ($\phi$):
| $ v_{0y} = v_0 \sin \phi $ |
la tempo de impactar ($t_{imp}$) é:
| $ t_{imp} =\displaystyle\frac{ v_0 \sin \phi }{ g }\left(1+\sqrt{1+\displaystyle\frac{ 2 g h }{ v_0 ^2 \sin^2 \phi }}\right)$ |
ID:(10934, 0)
Distância de impacto
Equação
Se um objeto se move com uma velocidade de uma velocidade inicial ($v_0$) e é disparado a um ângulo de um altura máxima atingida ($\phi$) em relação à superfície, la aceleração gravitacional ($g$) e la altura para atirar ($h$) podem ser calculados usando a seguinte fórmula:
| $ x_{imp} =\displaystyle\frac{ v_0 ^2\sin \phi \cos \phi }{ g }\left(1 + \sqrt{1 + \displaystyle\frac{2 g h }{ v_0 ^2\sin^2 \phi }}\right) $ |
Como la tempo de impactar ($t_{imp}$) com la velocidade inicial ($v_0$), o altura máxima atingida ($\phi$), la aceleração gravitacional ($g$) e la altura para atirar ($h$) é
| $ t_{imp} =\displaystyle\frac{ v_0 \sin \phi }{ g }\left(1+\sqrt{1+\displaystyle\frac{ 2 g h }{ v_0 ^2 \sin^2 \phi }}\right)$ |
então la posição no eixo x ($x$) com la velocidade horizontal inicial ($v_{0x}$) e o tempo ($t$)
| $ x = v_{0x} t $ |
e la velocidade horizontal inicial ($v_{0x}$) com la velocidade inicial ($v_0$) e o altura máxima atingida ($\phi$)
| $ v_{0x} = v_0 \cos \phi $ |
portanto, temos
| $ x_{imp} =\displaystyle\frac{ v_0 ^2\sin \phi \cos \phi }{ g }\left(1 + \sqrt{1 + \displaystyle\frac{2 g h }{ v_0 ^2\sin^2 \phi }}\right) $ |
ID:(10935, 0)
Tempo de altura máxima
Equação
Se um objeto se move com uma velocidade de la velocidade inicial ($v_0$) e é disparado com um ângulo de um altura máxima atingida ($\phi$) em relação à superfície, a altura em que alcançará seu altura máxima atingida ($y_{max}$) pode ser calculada da seguinte maneira:
| $ t_{max} =\displaystyle\frac{ v_0 }{ g }\sin \phi $ |
La tempo de altura máxima ($t_{max}$) é alcançado quando la posição no eixo y ($y$) atinge um valor máximo. Essa altura pode ser calculada com la altura para atirar ($h$), la velocidade vertical inicial ($v_{0y}$), la aceleração gravitacional ($g$) e o tempo ($t$),
| $ y = h + v_{0y} t -\displaystyle\frac{1}{2} g t ^2$ |
cuja derivada no tempo é nula no máximo, implicando:
$\displaystyle\frac{dy}{dt}=v_{0,y}-gt=0$
Portanto, com a expressão para la velocidade inicial ($v_0$),
| $ v_{0y} = v_0 \sin \phi $ |
temos que
| $ t_{max} =\displaystyle\frac{ v_0 }{ g }\sin \phi $ |
ID:(10936, 0)
Altura máxima
Equação
Se o alvo está a uma distância de la velocidade inicial ($v_0$) e é disparado de uma altitude de um altura máxima atingida ($\phi$) em relação à superfície, com uma velocidade de la aceleração gravitacional ($g$), então a altura que ele alcançará, o altura máxima atingida ($y_{max}$), pode ser calculada como:
| $ y_{max} = h + \displaystyle\frac{ v_0 ^2}{2 g }\sin^2 \phi $ |
O altura máxima atingida ($y_{max}$) é alcançado em uma tempo de altura máxima ($t_{max}$) com o altura máxima atingida ($\phi$), la velocidade constante ($v_0$) e la aceleração gravitacional ($g$),
| $ t_{max} =\displaystyle\frac{ v_0 }{ g }\sin \phi $ |
a partir do qual podemos determinar la posição no eixo y ($y$) com la altura para atirar ($h$), la velocidade vertical inicial ($v_{0y}$) e o tempo ($t$) usando a equação
| $ y = h + v_{0y} t -\displaystyle\frac{1}{2} g t ^2$ |
Assim, com la velocidade vertical inicial ($v_{0y}$),
| $ v_{0y} = v_0 \sin \phi $ |
em o altura máxima atingida ($y_{max}$) é
| $ y_{max} = h + \displaystyle\frac{ v_0 ^2}{2 g }\sin^2 \phi $ |
ID:(10937, 0)