Utilizador:
Energia cinética em função do momento
Equação
A energia cinética de uma massa $m$
| $ K_t =\displaystyle\frac{1}{2} m_i v ^2$ |
pode ser escrita em termos do momento como
 $ K =\displaystyle\frac{ p ^2}{2 m_i }$ |
Como a energia cinética é igual a
| $ K_t =\displaystyle\frac{1}{2} m_i v ^2$ |
e o momento é
| $ p = m_i v $ |
podemos expressá-la como
$K_t=\displaystyle\frac{1}{2} m_i v^2=\displaystyle\frac{1}{2} m_i \left(\displaystyle\frac{p}{m_i}\right)^2=\displaystyle\frac{p^2}{2m_i}$
ou seja
| $ K =\displaystyle\frac{ p ^2}{2 m_i }$ |
ID:(4425, 0)
Oscilador harmônico (mola) representando $p-q$
Equação
Para o caso de uma massa oscilando com uma mola, a energia em função do momento $p$ e da posição $q$ é
| $ E_s =\displaystyle\frac{ p ^2}{2 m_i }+\displaystyle\frac{ k }{2} q ^2$ |
A energia cinética em função do momento é
| $ K =\displaystyle\frac{ p ^2}{2 m_i }$ |
e a energia potencial em função da altura é
portanto, se expressarmos a elongação como a posição
$x = q$
obtemos
| $ E_s =\displaystyle\frac{ p ^2}{2 m_i }+\displaystyle\frac{ k }{2} q ^2$ |
A equação pode ser escrita de forma adimensional como
$1=y^2 + x^2$
com
$x=\displaystyle\frac{q}{\sqrt{2E/k}}$
, e
$y=\displaystyle\frac{p}{\sqrt{2m_iE}}$
quando resolvido para
$y=\pm\sqrt{1-x^2}$
Sua representação no plano xy é mostrada abaixo
ID:(1187, 0)
Oscilações com mola
Equação
Um dos sistemas que ele representa é o de uma mola. Isso está associado à deformação elástica do material do qual a mola é feita. Quando falamos de "elástica", nos referimos a uma deformação que, ao remover o estresse aplicado, permite que o sistema recupere completamente sua forma original. Entende-se que não sofre uma deformação plástica.
Uma vez que a energia da mola é dada por
$E=\displaystyle\frac{1}{2}m_i v^2+\displaystyle\frac{1}{2}k x^2$
o período será igual a
$T=2\pi\sqrt{\displaystyle\frac{m_i}{k}}$
e, portanto, a frequência angular é
| $ \omega_0 ^2=\displaystyle\frac{ k }{ m_i }$ |
Uma vez que a energia cinética depende da massa $m$ e da velocidade $v$, ela é dada por
| $ K_t =\displaystyle\frac{1}{2} m_i v ^2$ |
e a energia potencial da mola, que depende da constante elástica $k$ e da elongação $x$, é
Assim, a energia total é expressa como
$E=\displaystyle\frac{1}{2}m_i v^2+\displaystyle\frac{1}{2}k x^2$
Como o período é
$T=2\pi\sqrt{\displaystyle\frac{m_i}{k}}$
podemos calcular a frequência angular como
$\omega_0=\displaystyle\frac{2\pi}{T}=\sqrt{\displaystyle\frac{k}{m_i}}$
o que implica
| $ \omega_0 ^2=\displaystyle\frac{ k }{ m_i }$ |
ID:(1242, 0)
0
Video
Vídeo: Osciladores em uma mola