Utilizador:
Energia potencial de um pêndulo matemático para ângulos pequenos
Equação
A energia potencial gravitacional de um pêndulo é
| $ U = m g L (1-\cos \theta )$ |
que pode ser aproximada para ângulos pequenos como:
 $ V =\displaystyle\frac{1}{2} m_g g L \theta ^2$ |
A energia potencial gravitacional de um pêndulo com massa
| $ U = m g L (1-\cos \theta )$ |
onde
Para ângulos pequenos, a função cosseno pode ser aproximada pela expansão em série de Taylor até a segunda ordem
$\cos\theta\sim 1-\displaystyle\frac{1}{2}\theta^2$
Essa aproximação resulta em uma simplificação da energia potencial para
| $ V =\displaystyle\frac{1}{2} m_g g L \theta ^2$ |
É importante observar que o ângulo deve estar em radianos.
ID:(4514, 0)
Energia cinética de um pêndulo matemático
Equação
A energia cinética de um corpo em rotação é dada por
| $ K_r =\displaystyle\frac{1}{2} I \omega ^2$ |
onde $I$ é o momento de inércia e $\omega$ é a velocidade angular. O momento de inércia de uma massa pontual $m$ que gira a uma distância $L$ de um eixo é
| $ I = m L ^2$ |
então temos
| $ K =\displaystyle\frac{1}{2} m_i L ^2 \omega ^2$ |
ID:(4515, 0)
Frequência angular de um pêndulo matemático
Equação
No caso do pêndulo matemático
a energia pode ser expressa como
$E=\displaystyle\frac{1}{2}ml^2\omega^2+\displaystyle\frac{1}{2}mgl\theta^2$
e a partir dessa expressão podemos obter a frequência angular
| $ \omega_0 ^2=\displaystyle\frac{ g }{ L }$ |
A energia cinética do pêndulo matemático com massa $m$, comprimento da corda $r$ e velocidade angular $\omega$ é
| $ K =\displaystyle\frac{1}{2} m_i L ^2 \omega ^2$ |
e a energia potencial gravitacional é
| $ V =\displaystyle\frac{1}{2} m_g g L \theta ^2$ |
Com $\theta$ representando o ângulo e $g$ a aceleração angular, a equação para a energia total é expressa como
$E=\frac{1}{2}m r^2 \omega^2 + \frac{1}{2}m g r \theta^2$
Dado que o período é igual a
$T=2\pi\sqrt{\frac{m r^2}{m g r}}=2\pi\sqrt{\frac{r}{g}}$
podemos relacionar a frequência angular como
| $ \omega_0 ^2=\displaystyle\frac{ g }{ L }$ |
ID:(4516, 0)
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Vídeo: Pêndulo matemático