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ID:(1639, 0)

Descripción

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Si la ecuación de la oscilación es lineal, como es el caso siendo

\\n\\nse tiene que si x_1(t) es solución\\n\\n

$\displaystyle\frac{d^2x_1}{dt^2}+\omega^2x_1=0$

\\n\\ny x_2(t) es solución\\n\\n

$\displaystyle\frac{d^2x_2}{dt^2}+\omega^2x_2=0$

\\n\\ntambién lo será la suma de ambas x(t)=x_1(t)+x_2(t):\\n\\n

$\displaystyle\frac{d^2x}{dt^2}+\omega^2x=\displaystyle\frac{d^2}{dt^2}(x_1+x_2)+\omega^2(x_1+x_2)=\displaystyle\frac{d^2x_1}{dt^2}+\omega^2x_1+\displaystyle\frac{d^2x_2}{dt^2}+\omega^2x_2=0$

Se habla de que las soluciones se pueden superponer, o sea que se puede componer una solución se la suma de otras soluciones.

ID:(12343, 0)

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Si se considera una cuerda de largo L bajo tensión, esta oscilara de modo que sus extremos permanezcan en el estado que se les defina por el experimento. Estos estados se denominan condiciones de borde y en general se pueden asumir que pueden ser

• constantes
• no deformarse

en el tiempo.

\\n\\nLa soluciones son siempre de la forma de funciones trigonométricas con argumentos del tipo\\n\\n

$\displaystyle\frac{\pi n}{L}x=\pi \displaystyle\frac{x}{\lambda}$

\\n\\nEl largo característico\\n\\n

$\lambda=\displaystyle\frac{L}{n}$

se denomina largo de onda.

ID:(12323, 0)

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En el caso de un sistema unidimensional en que ambos extremos no pueden moverse las soluciones deben ser tales que en dichos extremos su valor es nulo. Esta condición la cumple la función seno (nula en el origen) que para ciertos largos de onda se anule en el otro extremo.

Un ejemplo es la caja de resonancia como en una guitarra.

ID:(12324, 0)

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En el caso de un sistema unidimensional en que un extremos no pueden moverse y el otro no se puede deformar las soluciones deben ser tales que en un extremo sea nulo mientras que en el otro la pendiente sea nula. Esta condición la cumple la función seno (nula en el origen) y para ciertos largos de onda en que la amplitud sea mínima o máxima y por ello la pendiente nula.

Un ejemplo es una flauta dulce.

ID:(12325, 0)

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Si se tienen distintas soluciones estas se pueden ir sumar hasta armar cualquier forma que se desee:

Por el principio de superposición la suma también será una solución.

ID:(12326, 0)

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Dado que la suma de soluciones es a su vez una solución se puede incluso ir conformando soluciones que tienen una forma de un pulso. Por ello si un sistema es impactado por un golpe este finalmente se descompondrá en las múltiples soluciones con las que se le puede conformar.

ID:(12328, 0)

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ID:(12321, 0)

Descripción

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En el caso del péndulo la ecuación de la oscilación es lineal, con

\\n\\nse desarrollo asumiendo que el seno se podia aproximar por el angulo. Para amplitudes mas altas dicha aproximación no sera posible y se tendra que considerar una solución a una ecuación en que por ejemplo el seno se aproxima por\\n\\n

$\sin\psi\sim \psi -\displaystyle\frac{1}{3}\psi^3$

\\n\\nSi en ese caso se tiene la solución x_1(t)\\n\\n

$\displaystyle\frac{d^2x_1}{dt^2}+\omega^2(x_1 + \displaystyle\frac{1}{3}x_1^3)=0$

\\n\\ny x_2(t) es solución\\n\\n

$\displaystyle\frac{d^2x_2}{dt^2}+\omega^2(x_2 + \displaystyle\frac{1}{3}x_2^3)=0$

\\n\\nno lo será la suma de ambas x(t)=x_1(t)+x_2(t):\\n\\n

$\displaystyle\frac{d^2x}{dt^2}+\omega^2x=\displaystyle\frac{d^2}{dt^2}(x_1+x_2)+\omega^2(x_1+x_2+\displaystyle\frac{1}{3}(x_1+x_2)^3)$

\\n\\n

$=\displaystyle\frac{d^2x_1}{dt^2}+\omega^2(x_1+\displaystyle\frac{1}{3}x_1^3)+\displaystyle\frac{d^2x_2}{dt^2}+\omega^2(x_2+\displaystyle\frac{1}{3}x_2^3)+\omega^2(3x_1x_2^2+3x_1^2x_2)$

\\n\\n

$=\omega^2(3x_1x_2^2+3x_1^2x_2)$

En caso de ecuaciones no lineales la suma de dos soluciones no es una solución. Las soluciones no se pueden superponer.

ID:(12344, 0)