Die Arbeits Varianz ($\Delta W$), die erforderlich ist, damit ein Objekt von die Anfängliche Winkelgeschwindigkeit ($\omega_0$) auf die Winkelgeschwindigkeit ($\omega$) wechselt, wird durch das Anwenden eines der Drehmoment ($T$) erzeugt, das eine Winkelverschiebung die Differenz von Winkel ($\Delta\theta$) verursacht, gemäß:

Anwendung des zweiten Newtonschen Gesetzes für Rotation in Bezug auf der Trägheitsmoment für Achse, die nicht durch das CM verläuft ($I$) und die Mittlere Winkelbeschleunigung ($\bar{\alpha}$):

kann dieser Ausdruck umgeschrieben werden als:

$\Delta W = I \alpha \Delta\theta$

oder unter Verwendung von die Unterschied in der Winkelgeschwindigkeiten ($\Delta\omega$) und der Abgelaufene Zeit ($\Delta t$):

ergibt sich:

$\Delta W = I\displaystyle\frac{\Delta\omega}{\Delta t} \Delta\theta$

Durch Verwendung der Definition von die Mittlere Winkelgeschwindigkeit ($\bar{\omega}$) und der Abgelaufene Zeit ($\Delta t$):

resultiert:

$\Delta W = I\displaystyle\frac{\Delta\omega}{\Delta t} \Delta\theta = I\omega \Delta\omega$

wobei die Unterschied in der Winkelgeschwindigkeiten ($\Delta\omega$) sich ausdrückt als:

Andererseits kann die Winkelgeschwindigkeit durch die durchschnittliche Winkelgeschwindigkeit angenähert werden:

$\bar{\omega}=\displaystyle\frac{\omega_1 + \oemga_2}{2}$

Durch die Kombination beider Ausdrücke ergibt sich:

$\Delta W = I \omega \Delta\omega = I(\omega_2 - \omega_1) \displaystyle\frac{(\omega_1 + \omega_2)}{2} = \displaystyle\frac{I}{2}(\omega_2^2 - \omega_1^2)$

Daher ergibt sich der Energieänderungsausdruck:

$\Delta W = \displaystyle\frac{I}{2}\omega_2^2 - \displaystyle\frac{I}{2}\omega_1^2$

Damit kann die Rotationskinetik wie folgt definiert werden:

(ID 3255)

(ID 3687)

(ID 4427)

Die potenzielle Gravitationsenergie eines Pendels mit Masse m, das an einem Faden der L nge L aufgeh ngt ist und um einen Winkel \theta ausgelenkt wird, ist gegeben durch

wobei g die Erdbeschleunigung ist.

F r kleine Winkel kann die Kosinus-Funktion durch eine Taylor-Reihenentwicklung bis zur zweiten Ordnung approximiert werden

$\cos\theta\sim 1-\displaystyle\frac{1}{2}\theta^2$

Diese N herung f hrt zu einer Vereinfachung der potenziellen Energie zu

(ID 4514)

Da die Kinetische energie der rotation ($K_r$) des physikalischen Pendels in Abhängigkeit von der Trägheitsmoment für Achse, die nicht durch das CM verläuft ($I$) und die Winkelgeschwindigkeit ($\omega$) durch folgende Gleichung dargestellt wird:

und die Potenzielle Energie Pendulum ($V$) in Funktion von die Gravitationsmasse ($m_g$), der Pendel Länge ($L$), der Schwenkwinkel ($\theta$) und die Gravitationsbeschleunigung ($g$) wie folgt ausgedrückt wird:

lässt sich die Gleichung für die Gesamtenergie schreiben als:

$E = \displaystyle\frac{1}{2}I\omega^2 + \displaystyle\frac{1}{2}mgl\theta^2$

Da die Zeit ($T$) definiert ist als:

$T = 2\pi\sqrt{\displaystyle\frac{I}{mgl}}$

können wir die Winkelgeschwindigkeit bestimmen durch:

(ID 4517)

(ID 12335)

(ID 12338)

(ID 14074)

Mit der komplexen Zahl

eingef hrt in

erhalten wir

$\dot{z} = i\omega_0 z = i \omega_0 x_0 \cos \omega_0 t - \omega_0 x_0 \sin \omega_0 t$

daher wird die Geschwindigkeit als der Realteil erhalten

(ID 14076)