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Phasenraum

Storyboard

>Modell

ID:(1659, 0)



Diagramm im Impuls-Positions-Raum $p-q$

Beschreibung

Eine Technik zur Analyse der Bewegung besteht darin, den Impuls in Abhängigkeit von der Position eines sich bewegenden Körpers darzustellen. Diese Darstellung ermöglicht es uns, zu untersuchen, wie sich der Impuls in Bezug auf die erreichte Position entwickelt.

Die Darstellung der Bewegung im Impuls-Positions-Raum $p-q$ ermöglicht es uns, die Entwicklung der Verschiebung zu analysieren und die Extrema in Position und Impuls hervorzuheben.



Im Falle einer periodischen Bewegung oder wenn wir den Hin- und Rückweg betrachten, kann dies wie folgt dargestellt werden:



Zusätzlich kann man sehen, dass die Fläche, die von der Kurve eingeschlossen wird

$\displaystyle\int_{q_1}^{q_2} p dq = \displaystyle\int_{v_1}^{v_2} m v dv = \displaystyle\frac{1}{2} m v_2^2 - \displaystyle\frac{1}{2} m v_1^2$



der Energie des Systems entspricht.

Die von der Kurve im Impuls-Positions-Diagramm $p-q$ eingeschlossene Fläche entspricht der Energie des Systems.

ID:(1240, 0)



Phasenraum

Modell

Variablen

Symbol
Text
Variable
Wert
Einheiten
Berechnen
MKS-Wert
MKS-Einheiten
$E_k$
E_k
Energie eines Federsystems
J
$E_G$
E_G
Energie eines Systems mit allgemeiner Schwerkraft
J
$E_g$
E_g
Energie eines Systems mit Erdbeschleunigung
J
$m_g$
m_g
Gravitationsmasse
kg
$k$
k
Hookes Konstante
N/m
$M$
M
Masse des Himmelskörpers
kg
$p$
p
Moment
kg m/s
$p$
p
Momentum und Pfad
kg m/s
$\vec{s}$
&s
Posición (Vektor)
m
$s$
s
Posición camino aleatorio
m
$V$
V
Potenzielle Energie
J
$K$
K
Raum-Zeit-Position
J
$E$
E
Totale Energie
J
$m_i$
m_i
Träge Masse
kg

Berechnungen


Zuerst die Gleichung auswählen:   zu ,  dann die Variable auswählen:   zu 
E_G = p ^2/(2* m_i ) - G * m_g * M / q E_s = p ^2/(2* m_i ) + k * q ^2/2 K = p ^2/(2 * m_i ) E = p ^2/(2* m_i )+ m_g * g * q p ^2 = 2* m *( E - U )E_kE_GE_gm_gkMpp&ssVKEm_i

Symbol
Gleichung
Gelöst
Übersetzt

Berechnungen

Symbol
Gleichung
Gelöst
Übersetzt

 Variable   Gegeben   Berechnen   Ziel :   Gleichung   Zu verwenden
E_G = p ^2/(2* m_i ) - G * m_g * M / q E_s = p ^2/(2* m_i ) + k * q ^2/2 K = p ^2/(2 * m_i ) E = p ^2/(2* m_i )+ m_g * g * q p ^2 = 2* m *( E - U )E_kE_GE_gm_gkMpp&ssVKEm_i



Gleichungen

Da die kinetische Energie

$ K =\displaystyle\frac{ p ^2}{2 m_i }$



und die potentielle Energie

$ V = - \displaystyle\frac{ G m_g M }{ r } $



sind, k nnen wir die Energie in Abh ngigkeit vom Radius, der durch die Variable $q$ dargestellt wird, wie folgt ausdr cken

$ E_G = \displaystyle\frac{ p ^2}{2 m_i } - \displaystyle\frac{ G m_g M }{ q }$



Im Fall, dass die kinetische Energie die potentielle Energie im Anfangsradius bersteigt und die Energie positiv ist (was darauf hinweist, dass das Objekt dem Planeten entkommen kann), kann die Gleichung wie folgt geschrieben werden

$1 = \left(\displaystyle\frac{p}{\sqrt{2mE}}\right)^2 - \displaystyle\frac{GmM}{Eq}$



was sich zu

$y=\pm\sqrt{1+\displaystyle\frac{1}{x}}$



vereinfacht, wobei

$x=\displaystyle\frac{q}{GmM/E}$

, und

$y=\displaystyle\frac{p}{2mE}$



Im Fall, dass die kinetische Energie die potentielle Energie nicht bersteigt (was darauf hinweist, dass das Objekt nicht der Anziehung des Planeten entkommen kann), ist die Energie negativ und der Ausdruck lautet

$1 = -\left(\displaystyle\frac{p}{\sqrt{2mE}}\right)^2 + \displaystyle\frac{GmM}{Eq}$



wobei $E$ der Betrag der Energie ist. Mit den Definitionen von $x$ und $y" haben wir

$y=\pm\sqrt{\displaystyle\frac{1}{x}-1}$

(ID 1185)

Die kinetische Energie in Abh ngigkeit vom Impuls ist gegeben durch

$ K =\displaystyle\frac{ p ^2}{2 m_i }$



und die potenzielle Energie in Abh ngigkeit von der H he ist

$ V =\displaystyle\frac{1}{2} k x ^2$



Wenn wir die Ausdehnung als Position ausdr cken

$x = q$



ergibt sich

$ E_s =\displaystyle\frac{ p ^2}{2 m_i }+\displaystyle\frac{ k }{2} q ^2$

(ID 1187)

Da die kinetische Energie gleich ist

$ K_t =\displaystyle\frac{1}{2} m_i v ^2$



und der Impuls

$ p = m_i v $



k nnen wir es ausdr cken als

$K_t=\displaystyle\frac{1}{2} m_i v^2=\displaystyle\frac{1}{2} m_i \left(\displaystyle\frac{p}{m_i}\right)^2=\displaystyle\frac{p^2}{2m_i}$



oder

$ K =\displaystyle\frac{ p ^2}{2 m_i }$

(ID 4425)

Da die kinetische Energie in Abh ngigkeit vom Impuls ist

$ K =\displaystyle\frac{ p ^2}{2 m_i }$



und die potenzielle Energie in Abh ngigkeit von der H he ist

$ V = - m_g g z $



k nnen wir, wenn wir die H he als Position ausdr cken

$h = q$



erhalten wir

$ E =\displaystyle\frac{ p ^2}{2 m_i }+ m_g g q $

(ID 4426)

Da die Energie im Allgemeinen die Summe aus kinetischer Energie

$ K =\displaystyle\frac{ p ^2}{2 m_i }$



und potentieller Energie U ist, k nnen wir sie wie folgt ausdr cken:

$E=\displaystyle\frac{p^2}{2m}+U$



Wenn wir nach dem Impuls aufl sen, ergibt sich der folgende Ausdruck:

$ p =\pm\sqrt{2 m ( E - U )}$

(ID 4429)


Beispiele

Eine Technik zur Analyse der Bewegung besteht darin, den Impuls in Abh ngigkeit von der Position eines sich bewegenden K rpers darzustellen. Diese Darstellung erm glicht es uns, zu untersuchen, wie sich der Impuls in Bezug auf die erreichte Position entwickelt.

Die Darstellung der Bewegung im Impuls-Positions-Raum $p-q$ erm glicht es uns, die Entwicklung der Verschiebung zu analysieren und die Extrema in Position und Impuls hervorzuheben.



Im Falle einer periodischen Bewegung oder wenn wir den Hin- und R ckweg betrachten, kann dies wie folgt dargestellt werden:



Zus tzlich kann man sehen, dass die Fl che, die von der Kurve eingeschlossen wird

$\displaystyle\int_{q_1}^{q_2} p dq = \displaystyle\int_{v_1}^{v_2} m v dv = \displaystyle\frac{1}{2} m v_2^2 - \displaystyle\frac{1}{2} m v_1^2$



der Energie des Systems entspricht.

Die von der Kurve im Impuls-Positions-Diagramm $p-q$ eingeschlossene Fl che entspricht der Energie des Systems.

(ID 1240)


ID:(1659, 0)