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Sistema Circulatorio
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El sistema circulatorio se puede modelar dentro de la hidrodinámica como un sistema de multiples bifurcaciones de capilares de distintos largos y radios. Dichos capilares poseen una resistencia hidráulica que define finalmente el flujo sanguíneo que existe.
ID:(330, 0)
Diferencia de presión total de resistencias en serie (2)
Ecuación
En el caso de resistencias hidráulicas en serie, la presión disminuye en cada una de ellas, y la suma de estas caídas de presión es igual a la diferencia de presión total en toda la serie.
En el caso de dos resistencias en serie, $R_{h1}$ y $R_{h2}$, con sus respectivas caídas de presión $\Delta p_1$ y $\Delta p_2$, la suma de estas últimas es igual a la diferencia de presión total:
 $ \Delta p_t = \Delta p_1 + \Delta p_2 $ |
ID:(9943, 0)
Estructura de la Sangre
Imagen
Para efectos hidrodinámicos la sangre se puede describir como un fluido (el plasma) en que existen cuerpos (glóbulos) suspendidos:
Estructura de la sangre
Los glóbulos afectan el flujo en el sentido que lo dificultan comportándose este como si fuera mas viscoso.
El plasma, que es un liquido, ocupa el 55% del volumen mientras que los restantes 45% son mayormente globulos rojos (99%, el restante 1% son loicoitos).
El plasma esta compuesto de 90% agua por lo que no es de extrañarse que la densidad de la sangre sea solo levemente superior a la del agua: $1.06 g/cm^3$
La sangre es impulsada por la presión que genera el corazón y que, en un ser humano saludable, oscila entre 60-79 mmHg (distole) y 90-119 mmHg (sístole). La unidad mmHg propviene de la forma de medir con una columna de mercurio que alcanza ante la presión de una atmósfera ($10^5,Pa$) una altura de 760 mmHg.
ID:(1894, 0)
Flujo de Líquido o Gas
Concepto
El flujo de un liquido o gas corresponde el volumen de este que atraviesa por una sección en un tiempo dado.
Las unidades en que se mide es en unidad de volumen por unidad de tiempo como por ejemplo en metros cúbicos por segundo o litros por minuto.
ID:(9478, 0)
Flujo de volumen medio
Ecuación
El flujo de volumen ($J_V$) corresponde a el volumen que fluye ($\Delta V$) que fluye a través del canal en el tiempo transcurrido ($\Delta t$). Por lo tanto, tenemos:
| $ J_V =\displaystyle\frac{ \Delta V }{ \Delta t }$ |
ID:(4347, 0)
Velocidad media en la Sección
Concepto
Un flujo por una sección se desplaza con una velocidad que puede variar sobre esta. Sin embargo se puede definir una velocidad media simplemente considerando el flujo total por la sección.
ID:(9479, 0)
Densidad de Flujo
Ecuación
Si se tiene un flujo total
| $ j_V =\displaystyle\frac{ J_V }{ S }$ |
ID:(4256, 0)
Estructura del sistema circulatorio
Table
La estructura del sistema circulatorio se puede describir como una serie de capilares que se van bifurcando cada vez en mas pequeños capilares (ramas arteriales) y que luego se van fusionando en cada vez mas anchas venas.
El sistema comienza con una aorta de un diámetro de
ID:(1693, 0)
Simulador de sistema circulatorio
Php
El siguiente simulador logra modelar lo que es el flujo de sangre por el sistema circulatorio.
Las curvas finales muestran como se distribuyen a lo largo del sistema:
- los radios,
- los largos,
- el numero de vasos,
- como va cayendo la presión desde la sístole a la dístole y
- el flujo que se observa si se tiene una herida según el vaso
ID:(8018, 0)
Radio de capilares a lo largo del sistema
Imagen
Si se grafican los radios de los vasos en función de su posición a lo largo del sistema circulatorio se obtiene una curva del tipo
Radio de los vasos ordenados en función de su posición en el sistema.
De su valor en la aorta (12.5 mm) hasta aquel en los capilares (0.004 mm) hay una reducción en un factor en los miles (3125) que es bastante menor que aquel en el numero de vasos (de 1 a 1.2e+9). Esto se debe a que el flujo se reduce en función del radio a la cuarta por lo que debe ser compensado por un numero mucho mayor de vasos.
ID:(9472, 0)
Largo de capilares a lo largo del sistema
Imagen
Si se grafican los largos de los vasos en función de su posición a lo largo del sistema circulatorio se obtiene una curva del tipo
Largo de los vasos ordenados en función de su posición en el sistema.
La estructura es tal que los largos mayores en las partes extremas mientras que los largos menores se concentran en torno de los vasos menores. Esto significa que el sistema primero accesa los sistemas y luego distribuye mediante una red de vasos cortos.
ID:(9473, 0)
Numero de capilares a lo largo del sistema
Imagen
Si se grafican el numero de los vasos en función de su posición a lo largo del sistema circulatorio se obtiene una curva del tipo
Numero de los vasos ordenados en función de su posición en el sistema.
La estructura es tal que el numero menor esta en las partes extremas presentándose multiples bifurcaciones en torno de los vasos menores. Esto significa que el sistema primero accesa los sistemas y luego distribuye mediante una red de vasos cortos.
ID:(9474, 0)
Presión a lo largo del sistema
Imagen
La presión baja en forma paulatina a lo largo del sistema circulatorio siendo en la aorta mas alta (sistole) y en la vena cava mas baja (diastole). Si se va calculando la caida a lo largo del sistema se obtiene una evolución del tipo:
Presión en los vasos ordenados en función de su posición en el sistema.
Llama la atención que el gradiente (pendiente) es mayor en la parte inicial (aorta) y casi nula en la parte final, lo que significa que el sistema 'ayuda al corazón' apoyando la salida y reduciendo las presiones a la entrada.
ID:(9475, 0)
Velocidad a lo largo del sistema
Imagen
La velocidad del flujo de sangre a lo largo del sistema circulatorio baja en forma dramática en los primeros vasos y luego se mantiene constante en torno a 2 m/s:
Velocidad en los vasos ordenados en función de su posición en el sistema.
Esto implica que la estructura es tal que el numero de los vasos varia en la media de los radios de estos de forma que la sección total se mantenga total.
ID:(9477, 0)
Flujos normales y con herida
Imagen
Si se observan los flujos normales y en caso de la existencia de una herida se observa que existe una baja drástica hacia las vasos menores y de que el flujo de la herida es siempre en un factor que va de miles a decenas :
Flujos normal y en herida ordenados en función de su posición en el sistema.
Esto permite visualizar dos tipos de protecciones del organismo ante heridas. Por un lado todo lo que son vasos menores presentan flujos mínimos no peligros para el organismo. En los vasos mayores el flujo normal es mucho menor que el de la herida lo que significa que se pierde el flujo contenido en el vaso y posteriormente solo al ritmo del flujo normal que es 100 a 1000 menor.
ID:(9476, 0)
Flujo en Bifurcaciones
Ecuación
Si se supone que las bifurcaciones son tales que un vaso desemboca en
| $ J_{VN} =\displaystyle\frac{ J_V }{ N }$ |
ID:(3805, 0)
Ley de Darcy y resistencia hidráulica
Ecuación
Como el flujo de volumen ($J_V$) se puede calcular a partir de la conductancia hidráulica ($G_h$) y la diferencia de presión ($\Delta p$) mediante la siguiente ecuación:
| $ J_V = G_h \Delta p $ |
puede despejarse en términos de la diferencia de presión ($\Delta p$), teniendo en cuenta que el inverso de la resistencia hidráulica ($R_h$) es la conductancia hidráulica ($G_h$), lo que nos lleva a la siguiente expresión:
| $ \Delta p = R_h J_V $ |
El flujo de volumen ($J_V$) se puede calcular a partir de la conductancia hidráulica ($G_h$) y la diferencia de presión ($\Delta p$) mediante la siguiente ecuación:
| $ J_V = G_h \Delta p $ |
Por otro lado con lado con la relación para la resistencia hidráulica ($R_h$)
| $ R_h = \displaystyle\frac{1}{G_h }$ |
por lo que se obtiene
| $ \Delta p = R_h J_V $ |
que Henry Darcy formuló para modelar el comportamiento general de medios porosos más complejos por los cuales fluye un líquido.
La genialidad de esta forma de reescribir la ley de Hagen-Poiseuille es que muestra la analogía que existe entre el flujo de corriente eléctrica y el flujo de líquido. En este sentido, la ley de Hagen-Poiseuille corresponde a la ley de Ohm. Esto abre la posibilidad de aplicar los conceptos de redes eléctricas a sistemas de tuberías por donde fluye un líquido.
Esta ley, también conocida como Ley de Darcy-Weisbach, fue publicada por primera vez en la obra de Darcy:
• "Les fontaines publiques de la ville de Dijon" ("Las Fuentes Públicas de la Ciudad de Dijon"), Henry Darcy, Victor Dalmont Editeur, París (1856).
ID:(3179, 0)
Relación de Bifurcación
Ecuación
El sistema circulatorio se caracteriza por la múltiple bifurcación que va ocurriendo en cada nivel. El sistema se puede definir con el numero de vasos de un nivel
| $ n_{i+1} =\displaystyle\frac{ N_{i+1} }{ N_i }$ |
ID:(3803, 0)
Resistencia hidráulica de un tubo
Ecuación
Dado que la resistencia hidráulica ($R_h$) es igual al inverso de la conductancia hidráulica ($G_h$), podemos calcularlo a partir de la expresión de este último. De esta manera, podemos identificar parámetros relacionados con la geometría (el largo de tubo ($\Delta L$) y el radio del cilindro ($R$)) y el tipo de líquido (la viscosidad ($\eta$)), que pueden ser denominados colectivamente como una resistencia hidráulica ($R_h$):
| $ R_h =\displaystyle\frac{8 \eta | \Delta L | }{ \pi R ^4}$ |
Dado que la resistencia hidráulica ($R_h$) es igual a la conductancia hidráulica ($G_h$) según la siguiente ecuación:
| $ R_h = \displaystyle\frac{1}{G_h }$ |
y dado que la conductancia hidráulica ($G_h$) se expresa en términos de la viscosidad ($\eta$), el radio del cilindro ($R$) y el largo de tubo ($\Delta L$) de la siguiente manera:
| $ G_h =\displaystyle\frac{ \pi R ^4}{8 \eta | \Delta L | }$ |
podemos concluir que:
| $ R_h =\displaystyle\frac{8 \eta | \Delta L | }{ \pi R ^4}$ |
ID:(3629, 0)
Resistencia hidráulica de elementos en serie
Ecuación
En el caso de una resistencia hidráulica en una red ($R_{hk}$), su valor se calcula utilizando la viscosidad ($\eta$), el radio del cilindro ($R$) y el largo de tubo ($\Delta L$) a través de la siguiente ecuación:
| $ R_h =\displaystyle\frac{8 \eta | \Delta L | }{ \pi R ^4}$ |
Cuando hay varias resistencias hidráulicas conectadas en serie, podemos calcular la resistencia hidráulica total en serie ($R_{st}$) sumando la resistencia hidráulica en una red ($R_{hk}$), como se expresa en la siguiente fórmula:
| $ R_{st} =\displaystyle\sum_k R_{hk} $ |
Una forma de modelar un tubo en el que varía la sección es dividirlo en secciones de radio constante y luego sumar las resistencias hidráulicas en serie. Supongamos que tenemos una serie de la resistencia hidráulica en una red ($R_{hk}$), que depende de la viscosidad ($\eta$), el radio del cilindro ($R$) y el largo de tubo ($\Delta L$) a través de la siguiente ecuación:
| $ R_h =\displaystyle\frac{8 \eta | \Delta L | }{ \pi R ^4}$ |
En cada elemento habrá Una diferencia de presión en una red ($\Delta p_k$) con la resistencia hidráulica en una red ($R_{hk}$) y el flujo de volumen ($J_V$) para los que se aplica la ley de Darcy
| $ \Delta p = R_h J_V $ |
la diferencia de presión total ($\Delta p_t$) será igual a la suma de las diferencia de presión en una red ($\Delta p_k$) individuales
| $ \Delta p_t =\displaystyle\sum_k \Delta p_k $ |
por lo que
$\Delta p=\displaystyle\sum_k \Delta p_k=\displaystyle\sum_k (R_{hk}J_V)=\left(\displaystyle\sum_k R_{hk}\right)J_V\equiv R_{st}J_V$
Por lo tanto, el sistema se puede modelar como un conducto único con la resistencia hidráulica calculada como la suma de las componentes individuales:
| $ R_{st} =\displaystyle\sum_k R_{hk} $ |
ID:(3180, 0)
Resistencia Hidráulica
Concepto
La Viscosidad de un fluido lleva a que este se resista a fluir bajo una diferencia de presión. Esto ocurre en particular ante la presencia de un Bordes que lleva a que el fluido anula su velocidad sobre su superficie.
La resistencia significa perdida de energía que corresponde a la velocidad cinética que se pierde al detenerse el fluido en la superficie de los bordes del sistema.
ID:(9480, 0)
Resistencia hidráulica de elementos en serie
Concepto
En el caso de una suma en la que los elementos están conectados en serie, la resistencia hidráulica total del sistema se calcula sumando las resistencias individuales de cada elemento.
Dado que los elementos están conectados en serie, la caída de presión ocurre en cada uno de los elementos, mientras que el flujo es constante. Por lo tanto, la diferencia de presión total ($\Delta p_t$) será igual a la suma de la diferencia de presión en una red ($\Delta p_k$). Cada uno de estos elementos, de acuerdo con la ley de Darcy, es igual a la resistencia hidráulica en una red ($R_{hk}$) multiplicado por el flujo de volumen en una red ($J_{Vk}$):
$\Delta p_k = R_{hk} J_{Vk}$
Así que la suma de la resistencia hidráulica en una red ($R_{hk}$) será igual a la resistencia hidráulica total en serie ($R_{st}$).
ID:(3630, 0)
Tubo Cilíndrico
Condición
Un tipo de Bordes es por ejemplo un tubo cilíndrico de un radio dado. Este puede ser constante o ir variando a lo largo de este.
ID:(9483, 0)
Viscosidad
Concepto
La viscosidad se puede entender como la tendencia del fluido de redistribuir momento y su correspondiente velocidad.
En un liquido de alta viscosidad una zona de alta velocidad se frena por arrastrar el liquido de zonas circundante con baja velocidad que por ello gana velocidad.
En un liquido de baja viscosidad una zona de alta velocidad no es afectada mayormente por zonas de menor velocidad desplazando estas y continuando el flujo sin mayor reducción de velocidad.
ID:(9481, 0)
Diferencia de presión
Ecuación
Cuando se conectan dos columnas de líquido con la presión en la columna 1 ($p_1$) y la presión en la columna 2 ($p_2$), se crea una la diferencia de presión ($\Delta p$) que se calcula mediante la siguiente fórmula:
| $ \Delta p = p_2 - p_1 $ |
la diferencia de presión ($\Delta p$) representa la diferencia de presiones que desplazará el líquido de la columna más alta hacia la columna más baja.
ID:(4252, 0)
Conductividad hidráulica en paralelo
Concepto
Si se tienen tres resistencias hidráulicas $R_{h1}$, $R_{h2}$ y $R_{h3}$, la suma en serie de las resistencias será:
| $ K_{pt} = \displaystyle\sum_k K_{hk}$ |
ID:(3631, 0)
Resistencia hidráulica iguales en serie (N)
Ecuación
Si se tienen
| $ R_{st} = N R_h $ |
ID:(3632, 0)
Resistencia hidráulica de elementos en paralelo
Ecuación
En el caso de suma de elementos en paralelo la conductancia hidráulica total en paralelo ($G_{pt}$) de las la conductancia hidráulica en una red ($G_{hk}$):
| $ G_{pt} =\displaystyle\sum_k G_{hk} $ |
que dado la conductancia hidráulica en una red ($G_{hk}$) son el inverso de la resistencia hidráulica en una red ($R_{hk}$) resulta:
| $\displaystyle\frac{1}{ R_{pt} }=\sum_k\displaystyle\frac{1}{ R_{hk} }$ |
La conductancia hidráulica total en paralelo ($G_{pt}$) junto con la conductancia hidráulica en una red ($G_{hk}$) en
| $ G_{pt} =\displaystyle\sum_k G_{hk} $ |
y junto con la resistencia hidráulica en una red ($R_{hk}$) y la ecuación
| $ R_h = \displaystyle\frac{1}{G_h }$ |
conduce a
| $\displaystyle\frac{1}{ R_{pt} }=\sum_k\displaystyle\frac{1}{ R_{hk} }$ |
ID:(3181, 0)
Resistencia Hidráulica iguales en Paralelo (N)
Ecuación
Si se tienen
| $ R_{pt} =\displaystyle\frac{1}{ N } R_h $ |
ID:(3635, 0)
Conductancia hidráulica de elementos en serie
Ecuación
En el caso de la suma de elementos en serie, la resistencia hidráulica total en serie ($R_{st}$) es igual a la suma de la resistencia hidráulica en una red ($R_{hk}$):
| $ R_{st} =\displaystyle\sum_k R_{hk} $ |
Dado que la resistencia hidráulica en una red ($R_{hk}$) es el inverso de la conductancia hidráulica en una red ($G_{hk}$), obtenemos:
| $\displaystyle\frac{1}{ G_{st} }=\displaystyle\sum_k\displaystyle\frac{1}{ G_{hk} }$ |
La resistencia hidráulica total en serie ($R_{st}$), junto con la resistencia hidráulica en una red ($R_{hk}$) en
| $ R_{st} =\displaystyle\sum_k R_{hk} $ |
y junto con la conductancia hidráulica en una red ($G_{hk}$) y la ecuación
| $ R_h = \displaystyle\frac{1}{G_h }$ |
conduce a
| $\displaystyle\frac{1}{ G_{st} }=\displaystyle\sum_k\displaystyle\frac{1}{ G_{hk} }$ |
ID:(3633, 0)
Conductancia hidráulica de elementos en paralelo
Ecuación
En el caso de elementos en paralelo, la caída de presión es uniforme en todos ellos. El flujo total ($J_{Vt}$) es la suma de el flujo de volumen en una red ($J_{Vk}$):
| $ J_{Vt} =\displaystyle\sum_k J_{Vk} $ |
Y dado que el flujo de volumen en una red ($J_{Vk}$) es proporcional a la conductancia hidráulica en una red ($G_{hk}$), podemos concluir que
| $ G_{pt} =\displaystyle\sum_k G_{hk} $ |
Con el flujo total ($J_{Vt}$) siendo igual a el flujo de volumen en una red ($J_{Vk}$):
| $ J_{Vt} =\displaystyle\sum_k J_{Vk} $ |
y con la diferencia de presión ($\Delta p$) y la conductancia hidráulica en una red ($G_{hk}$), junto con la ecuación
| $ J_V = G_h \Delta p $ |
para cada elemento, podemos deducir que, con la conductancia hidráulica total en paralelo ($G_{pt}$),
$J_{Vt}=\displaystyle\sum_k J_{Vk} = \displaystyle\sum_k K_{hk}\Delta p = K_{pt}\Delta p$
lo que implica que
| $ G_{pt} =\displaystyle\sum_k G_{hk} $ |
.
ID:(3634, 0)