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Definición de un vector
Descripción
Un vector es un ente geométrico caracterizado por una magnitud y un largo.
Se define en un sistema de coordenadas identificando su origen, que puede coincidir con el origen del sistema de coordenadas, y las coordenadas que marcan la dirección del vector.
Si a cada punto se le asigna una letra, por ejemplo al origen $A$ y al destino $B$, la notación empleada es amabas letras con un vector $\vec{AB}$.
Si el vector se representa con su inicio en el origen del sistema, se le puede describir empelando las coordenadas de su punta $(a_1,a_2,\ldots,a_n)$ en que se empelan tantas coordenadas como el sistema tenga dimensiones.
ID:(706, 0)
Definición de una base
Descripción
La multiplicación de vectores por escalares y la posibilidad de sumar vectores permite definir un grupo de vectores independientes mediante los cuales cualquier vector puede ser representado.
Esto significa que existen factores numéricos tales que la suma de los vectores independientes multiplicados por dichos factores da el vector que se esta representando.
En un sistema cartesiano un grupo de vectores independientes que forman una base son
ID:(3672, 0)
Suma de vectores (3D)
Ecuación
La suma de dos vectores
| $( c_x , c_y , c_z )=( a_x + b_x , a_y + b_y , a_z + b_z )$ |
ID:(3670, 0)
Interpretación gráfica de la suma de vectores
Descripción
La interpretación gráfica de la suma de dos vectores se puede describir como un secuenciar de estos. Para ello se desplaza el vector a sumar de modo que su origen coincide con la punta del otro vector formando una cadena.
El vector resultante es un vector que tiene como puna la punta del vector que finalmente se sumo y como origen el origen del primer vector de la suma.
ID:(707, 0)
Angulo de coordenasa polares
Ecuación
Para las coordenadas cartesianas
| $ \theta =\arctan\left(\displaystyle\frac{ a_y }{ a_x }\right)$ |
.
ID:(4573, 0)
Radio de coordenadas polares
Ecuación
Para las coordenadas cartesianas
| $ r =\sqrt{ a_x ^2+ a_y ^2}$ |
.
ID:(4572, 0)
Interpretación gráfica de la multiplicación de un vector por una constante
Descripción
Para comprender el significado geométrico de la multiplicación por una constante basta notar que la multiplicación no modifica la dirección del vector ya que todas las coordenadas son modificadas proporcionalmente.
De esta forma la multiplicación por una constante solo modifica el largo del vector. Se puede entender como un escalar del vector original.
ID:(708, 0)
Coordenada x de coordenadas catesianas
Ecuación
Para las coordenadas polares polares
| $ a_x = r \cos \theta $ |
.
ID:(4574, 0)
Coordenada y de coordenadas catesianas
Ecuación
Para las coordenadas polares polares
| $ a_y = r \sin \theta $ |
.
ID:(4575, 0)
Interpretación gráfica de la resta de vectores
Descripción
La resta de un vector equivale a la suma con un vector que anteriormente ha sido multiplicado por -1. La multiplicación por -1 equivale a la inversión del vector. En otras palabras la resta corresponde a la suma de dos vectores en que el vector restado ha sido invertido.
ID:(709, 0)
Versor (3D)
Ecuación
Un Versor es un Vector de largo unitario. Se le puede calcular de cualquier vector simplemente dividiendo dicho vector por la magnitud de este.
Para diferenciar los versores de los vectores generales no se les dibuja una flecha si no que un tipo de gorro.
Por ello el versor $\hat{a}=(\hat{a}_x,\hat{a}_y,\hat{a}_z)$ calculado del vector $\vec{a}=(a_x,a_y,a_z)$ como:
| $( \hat{a}_x , \hat{a}_y , \hat{a}_z )=\left(\displaystyle\frac{ a_x }{ \mid\vec{a}\mid },\displaystyle\frac{ a_y }{ \mid\vec{a}\mid },\displaystyle\frac{ a_z }{ \mid\vec{a}\mid }\right)$ |
donde el modulo del vector esta definido en dos dimensiones por
| $ \mid\vec{a}\mid =\sqrt{ a_x ^2+ a_y ^2}$ |
y en tres dimensiones por
| $ \mid\vec{a}\mid =\sqrt{ a_x ^2+ a_y ^2+ a_z ^2}$ |
ID:(3674, 0)
Vector ortogonal (2D)
Ecuación
La primera componente del vector
| $(b_1,b_2)=(-a_2,a_1)$ |
ID:(4585, 0)