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Flujo de Agua
Storyboard 
En suelos saturados, pueden ocurrir situaciones en las que se produzcan variaciones de presión. Estas variaciones, a su vez, generan un flujo que, en este caso, se produce dentro de los poros del suelo. Dado que el tamaño de estos poros está en el orden de micrones o decenas de micrones, el flujo tiende a ser laminar debido a los bajos números de Reynolds.
ID:(369, 0)
Solución densidad de flujo desde un canal
Imagen
La solución obtenida para la altura y los parámetros el flujo en un punto de referencia ($j_{s0}$) y la altura de referencia de la columna de agua ($h_0$) nos muestra que la densidad de flujo ($j_s$) es igual a:
| $ \displaystyle\frac{ j_s }{ j_{s0} } = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{1 - \displaystyle\frac{ 2 x }{ s_0 }}} $ |
Podemos representar la densidad de flujo ($j_s$) gráficamente en función de los factores adicionales $j_s/j_{s0}$ y $x/x_0$ de la siguiente manera:
la densidad de flujo ($j_s$) continúa aumentando a medida que nos acercamos al canal, a medida que la altura de la columna de agua en el suelo ($h$) disminuye. Este aumento es necesario para mantener la velocidad del flujo en la densidad de flujo ($j_s$) o, en su defecto, para incrementarla.
ID:(7827, 0)
Flujo laminar por un tubo
Nota
Cuando se expone un tubo lleno de líquido con ERROR:5422,0 a la presión en la posición inicial ($p_i$) en el posición al inicio del tubo ($L_i$) y la presión en la posición final (e) ($p_e$) en el posición al final del tubo ($L_e$), se genera una diferencia de presión ($\Delta p_s$) a lo largo de el largo de tubo ($\Delta L$), lo que da como resultado el perfil de la velocidad en un radio del cilindro ($v$):
En flujos con valores bajos de el número de Reynold ($Re$), donde la viscosidad es más significativa que la inercia del líquido, el flujo se desarrolla de manera laminar, es decir, sin la presencia de turbulencias.
ID:(2218, 0)
Láminas en la corriente
Cita
En el flujo laminar, capas contiguas se desplazan y existe una fuerza generada por la viscosidad entre ellas. La capa más rápida arrastra a su vecina más lenta, mientras que la más lenta restringe el avance de la más rápida.
Por lo tanto, la fuerza la fuerza viscosa ($F_v$) generada por unas superficies paralelas ($S$) sobre la otra es una función de una diferencia de velocidad entre superficies ($\Delta v$), una distancia entre las superficies ($\Delta z$) y una viscosidad ($\eta$), como se muestra en la siguiente ecuación:
| $ F_v =- S \eta \displaystyle\frac{ \Delta v }{ \Delta z }$ |
y en el diagrama correspondiente:
ID:(7053, 0)
Flujo por un cilindro
Ejercicio
El flujo laminar alrededor de un cilindro se puede representar como múltiples capas cilíndricas que se deslizan bajo la influencia de las capas adyacentes. En ese caso, la fuerza viscosa ($F_v$) con el largo de tubo ($\Delta L$), la viscosidad ($\eta$), y las variables la posición radial en cilindro ($r$) y la velocidad en un radio del cilindro ($v$) se expresa como:
| $ F_v =-2 \pi r \Delta L \eta \displaystyle\frac{ dv }{ dr }$ |
La capa en el borde a un radio del tubo ($R$) no se mueve debido al efecto del borde y, a través de la viscosidad ($\eta$), ralentiza la capa contigua que sí tiene velocidad.
El centro es la parte que se mueve a la velocidad máxima del flujo ($v_{max}$), arrastrando a la capa que lo rodea. A su vez, esta capa arrastra a la siguiente y así sucesivamente hasta llegar a la capa en contacto con la pared del cilindro, que está detenida.
De esta manera, el sistema transfiere energía desde el centro hasta la pared, generando un perfil de velocidad representado por:
| $ v = v_{max} \left(1-\displaystyle\frac{ r ^2}{ R ^2}\right)$ |
con:
| $ v_{max} =-\displaystyle\frac{ R ^2}{4 \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }$ |
ID:(7057, 0)
Flujo según ecuación de Hagen-Poiseuille
Ecuación
El perfil de la velocidad en un radio del cilindro ($v$) en el radio de la posición en un tubo ($r$) permite calcular el flujo de volumen ($J_V$) en un tubo mediante una integración de toda la superficie, lo que nos conduce a la conocida ley de Hagen-Poiseuille.
El resultado es una ecuación que depende de ERROR:5417,0 elevado a la cuarta potencia. No obstante, es fundamental tener en cuenta que este perfil de flujo solo se mantiene en caso de que el flujo sea laminar.
Con ello, se deduce de la viscosidad ($\eta$) que el flujo de volumen ($J_V$) ante un largo de tubo ($\Delta L$) y un diferencial de la presión ($\Delta p$) la expresión:
| $ J_V =-\displaystyle\frac{ \pi R ^4}{8 \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }$ |
Los articulos originales que dieron origen a esta ley con un nombre combinado fueron:
"Ueber die Gesetze, welche des der Strom des Wassers in röhrenförmigen Gefässen bestimmen" (Sobre las leyes que rigen el flujo del agua en recipientes cilíndricos), Gotthilf Hagen, Annalen der Physik und Chemie 46:423442 (1839)
"Recherches expérimentales sur le mouvement des liquides dans les tubes de très-petits diamètres" (Investigación experimental sobre el movimiento de líquidos en tubos de diámetros muy pequeños), Jean-Louis-Marie Poiseuille, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences 9:433544 (1840).
ID:(2216, 0)
Flujo de volumen
Script
Durante un tiempo transcurrido ($\Delta t$), el fluido con una velocidad media del fluido ($v$) se desplaza un elemento del tubo ($\Delta s$). Si la sección ($S$) representa la cantidad de fluido que atraviesa dicha sección en el tiempo transcurrido ($\Delta t$), se calcula mediante:
$\Delta V = S \Delta s = Sv \Delta t$
Esta ecuación determina que el volumen de fluido que fluye a través de la sección la sección ($S$) durante un tiempo transcurrido ($\Delta t$) es igual al producto del área de la sección y la distancia que el fluido recorre en ese tiempo.
Esto facilita el cálculo de el elemento de volumen ($\Delta V$), que es el volumen de fluido que fluye por el canal en un período específico de el tiempo transcurrido ($\Delta t$), correspondiente a el flujo de volumen ($J_V$).
| $ J_V =\displaystyle\frac{ \Delta V }{ \Delta t }$ |
ID:(2212, 0)
Flujo de Agua
Storyboard
En suelos saturados, pueden ocurrir situaciones en las que se produzcan variaciones de presión. Estas variaciones, a su vez, generan un flujo que, en este caso, se produce dentro de los poros del suelo. Dado que el tamaño de estos poros está en el orden de micrones o decenas de micrones, el flujo tiende a ser laminar debido a los bajos números de Reynolds.
Variables
Cálculos
a 
,
luego, seleccione la variable: 
a 
Cálculos
Variable
Dado
Calcule
Objetivo :
Ecuación
A utilizar
Ecuaciones
Si examinamos la conductancia hidráulica ($G_h$), podemos notar que en el numerador se encuentra la secci n transversal del tubo, que se representa como $\pi R^2$. Aqu , el radio del tubo ($R$) corresponde a una propiedad del l quido, la viscosidad ($\eta$) est relacionada con la viscosidad del fluido, y el largo de tubo ($\Delta L$) se refiere al gradiente de presi n generado.
Con ello, el factor propio de la geometr a de los poros se puede definir como la permeabilidad hidrodinámica ($k$) mediante la siguiente f rmula:
Si consideramos el perfil de ERROR:5449,0 de un fluido en un canal cil ndrico, donde la velocidad en un radio del cilindro ($v$) var a en funci n de ERROR:10120,0 de acuerdo con la siguiente expresi n:
con el radio del tubo ($R$) y la velocidad máxima del flujo ($v_{max}$). Podemos calcular la velocidad máxima del flujo ($v_{max}$) utilizando la viscosidad ($\eta$), la diferencia de presión ($\Delta p$) y el largo de tubo ($\Delta L$) de la siguiente manera:
Si integramos la velocidad en toda la secci n transversal del canal, obtendremos el flujo de volumen ($J_V$), definida como la integral de $\pi r v(r)$ con respecto a ERROR:10120,0 desde $0$ hasta ERROR:5417,0. Esta integral se simplifica de la siguiente manera:
$J_V=-\displaystyle\int_0^Rdr \pi r v(r)=-\displaystyle\frac{R^2}{4\eta}\displaystyle\frac{\Delta p}{\Delta L}\displaystyle\int_0^Rdr \pi r \left(1-\displaystyle\frac{r^2}{R^2}\right)$
La integraci n nos lleva a la ley de Hagen-Poiseuille resultante:
El flujo de volumen ($J_V$) se puede determinar a partir de la conductancia hidráulica ($G_h$) y la diferencia de presión ($\Delta p$) utilizando la ecuaci n siguiente:
Adem s, utilizando la relaci n para la resistencia hidráulica ($R_h$):
se obtiene el resultado final:
Como
y las superficies paralelas ($S$) es
$S=2\pi r \Delta L$
donde el radio de la posición en un tubo ($r$) y el largo de tubo ($\Delta L$), con lo que la la fuerza de resistencia en cilindro ($F_v$) es
donde la viscosidad ($\eta$), la variación de la velocidad entre dos radios ($dv$) y el variación del radio en un tubo ($dr$).
La diferencia de presión ($\Delta p_s$) sobre una secci n de rea $\pi R^2$, con el radio del tubo ($R$) como el radio de la curvatura ($r$), genera una fuerza que se representa como:
$\pi r^2 \Delta p$
Esta fuerza impulsa el l quido en contra de la resistencia viscosa, que est dada por:
Igualando estas dos fuerzas, obtenemos:
$\pi r^2 \Delta p = \eta 2\pi r \Delta L \displaystyle\frac{dv}{dr}$
Lo que nos lleva a la ecuaci n:
$\displaystyle\frac{dv}{dr} = \displaystyle\frac{1}{2\eta}\displaystyle\frac{\Delta p}{\Delta L} r$
Si integramos esta ecuaci n desde una posici n definida por el radio de la curvatura ($r$) hasta el borde donde el radio del tubo ($R$) (teniendo en cuenta que la velocidad en el borde es nula), podemos obtener la velocidad en un radio del cilindro ($v$) en funci n de el radio de la curvatura ($r$):
Donde:
es la la velocidad máxima del flujo ($v_{max}$) en el centro del flujo.
Dado que la resistencia hidráulica ($R_h$) es igual a la conductancia hidráulica ($G_h$) seg n la siguiente ecuaci n:
y dado que la conductancia hidráulica ($G_h$) se expresa en t rminos de la viscosidad ($\eta$), el radio del tubo ($R$) y el largo de tubo ($\Delta L$) de la siguiente manera:
podemos concluir que:
El flujo se define como el volumen el elemento de volumen ($\Delta V$) dividido por el tiempo el tiempo transcurrido ($\Delta t$), lo cual se expresa en la siguiente ecuaci n:
y el volumen es el producto de la secci n la sección del tubo ($S$) por el desplazamiento el elemento del tubo ($\Delta s$):
Dado que el desplazamiento el elemento del tubo ($\Delta s$) dividido por el tiempo el tiempo transcurrido ($\Delta t$) equivale a la velocidad, se representa con:
Por lo tanto, el flujo es una densidad de flujo ($j_s$), que se calcula mediante:
La definici n de el flujo de volumen ($J_V$) es el elemento de volumen ($\Delta V$) durante el tiempo transcurrido ($\Delta t$):
que, en el l mite de un intervalo de tiempo infinitesimal, se corresponde con la derivada de el volumen ($V$) respecto a el tiempo ($t$):
Si observamos la ley de Hagen-Poiseuille, que nos permite calcular el flujo de volumen ($J_V$) a partir de el radio del tubo ($R$), la viscosidad ($\eta$), el largo de tubo ($\Delta L$) y la diferencia de presión ($\Delta p$):
podemos introducir la conductancia hidráulica ($G_h$) definido en t rminos de el largo de tubo ($\Delta L$), el radio del tubo ($R$) y la viscosidad ($\eta$) de la siguiente manera:
y as obtener:
Ejemplos
La soluci n obtenida para la altura y los par metros el flujo en un punto de referencia ($j_{s0}$) y la altura de referencia de la columna de agua ($h_0$) nos muestra que la densidad de flujo ($j_s$) es igual a:
Podemos representar la densidad de flujo ($j_s$) gr ficamente en funci n de los factores adicionales $j_s/j_{s0}$ y $x/x_0$ de la siguiente manera:
la densidad de flujo ($j_s$) contin a aumentando a medida que nos acercamos al canal, a medida que la altura de la columna de agua en el suelo ($h$) disminuye. Este aumento es necesario para mantener la velocidad del flujo en la densidad de flujo ($j_s$) o, en su defecto, para incrementarla.
Cuando se expone un tubo lleno de l quido con ERROR:5422,0 a la presión en la posición inicial ($p_i$) en el posición al inicio del tubo ($L_i$) y la presión en la posición final (e) ($p_e$) en el posición al final del tubo ($L_e$), se genera una diferencia de presión ($\Delta p_s$) a lo largo de el largo de tubo ($\Delta L$), lo que da como resultado el perfil de la velocidad en un radio del cilindro ($v$):
En flujos con valores bajos de el número de Reynold ($Re$), donde la viscosidad es m s significativa que la inercia del l quido, el flujo se desarrolla de manera laminar, es decir, sin la presencia de turbulencias.
En el flujo laminar, capas contiguas se desplazan y existe una fuerza generada por la viscosidad entre ellas. La capa m s r pida arrastra a su vecina m s lenta, mientras que la m s lenta restringe el avance de la m s r pida.
Por lo tanto, la fuerza la fuerza viscosa ($F_v$) generada por unas superficies paralelas ($S$) sobre la otra es una funci n de una diferencia de velocidad entre superficies ($\Delta v$), una distancia entre las superficies ($\Delta z$) y una viscosidad ($\eta$), como se muestra en la siguiente ecuaci n:
y en el diagrama correspondiente:
El flujo laminar alrededor de un cilindro se puede representar como m ltiples capas cil ndricas que se deslizan bajo la influencia de las capas adyacentes. En ese caso, la fuerza viscosa ($F_v$) con el largo de tubo ($\Delta L$), la viscosidad ($\eta$), y las variables la posición radial en cilindro ($r$) y la velocidad en un radio del cilindro ($v$) se expresa como:
La capa en el borde a un radio del tubo ($R$) no se mueve debido al efecto del borde y, a trav s de la viscosidad ($\eta$), ralentiza la capa contigua que s tiene velocidad.
El centro es la parte que se mueve a la velocidad máxima del flujo ($v_{max}$), arrastrando a la capa que lo rodea. A su vez, esta capa arrastra a la siguiente y as sucesivamente hasta llegar a la capa en contacto con la pared del cilindro, que est detenida.
De esta manera, el sistema transfiere energ a desde el centro hasta la pared, generando un perfil de velocidad representado por:
con:
El perfil de la velocidad en un radio del cilindro ($v$) en el radio de la posición en un tubo ($r$) permite calcular el flujo de volumen ($J_V$) en un tubo mediante una integraci n de toda la superficie, lo que nos conduce a la conocida ley de Hagen-Poiseuille.
El resultado es una ecuaci n que depende de ERROR:5417,0 elevado a la cuarta potencia. No obstante, es fundamental tener en cuenta que este perfil de flujo solo se mantiene en caso de que el flujo sea laminar.
Con ello, se deduce de la viscosidad ($\eta$) que el flujo de volumen ($J_V$) ante un largo de tubo ($\Delta L$) y un diferencial de la presión ($\Delta p$) la expresi n:
Los articulos originales que dieron origen a esta ley con un nombre combinado fueron:
"Ueber die Gesetze, welche des der Strom des Wassers in r hrenf rmigen Gef ssen bestimmen" (Sobre las leyes que rigen el flujo del agua en recipientes cil ndricos), Gotthilf Hagen, Annalen der Physik und Chemie 46:423442 (1839)
"Recherches exp rimentales sur le mouvement des liquides dans les tubes de tr s-petits diam tres" (Investigaci n experimental sobre el movimiento de l quidos en tubos de di metros muy peque os), Jean-Louis-Marie Poiseuille, Comptes Rendus de l'Acad mie des Sciences 9:433544 (1840).
Durante un tiempo transcurrido ($\Delta t$), el fluido con una velocidad media del fluido ($v$) se desplaza un elemento del tubo ($\Delta s$). Si la sección ($S$) representa la cantidad de fluido que atraviesa dicha secci n en el tiempo transcurrido ($\Delta t$), se calcula mediante:
$\Delta V = S \Delta s = Sv \Delta t$
Esta ecuaci n determina que el volumen de fluido que fluye a trav s de la secci n la sección ($S$) durante un tiempo transcurrido ($\Delta t$) es igual al producto del rea de la secci n y la distancia que el fluido recorre en ese tiempo.
Esto facilita el c lculo de el elemento de volumen ($\Delta V$), que es el volumen de fluido que fluye por el canal en un per odo espec fico de el tiempo transcurrido ($\Delta t$), correspondiente a el flujo de volumen ($J_V$).
El criterio clave para determinar si un medio es laminar o turbulento es el llamado numero de Reynold que compara la energ a asociada a la inercia con aquella asociada a la viscosiadad. La primera depende de la densidad ($\rho$), la velocidad media del fluido ($v$) y la dimensión típica del sistema ($R$) mientras que la segunda de la viscosidad ($\eta$) con lo que se define:
Cuando se conectan la presión en la posición inicial ($p_i$) y la presión en la posición final (e) ($p_e$), se genera una la diferencia de presión ($\Delta p_s$) que se calcula utilizando la siguiente f rmula:
la diferencia de presión ($\Delta p_s$) describe la diferencia de presi n que mover el l quido desde la columna m s alta hacia la columna m s baja.
Para describir el flujo, se establece un sistema de coordenadas en el cual el l quido fluye de el posición al inicio del tubo ($L_i$) a el posición al final del tubo ($L_e$), lo que implica que la presi n en la presión en la posición inicial ($p_i$) es mayor que en la presión en la posición final (e) ($p_e$). Este movimiento depender de el largo de tubo ($\Delta L$), el cual se calcula de acuerdo a:
La fuerza viscosa ($F_v$) se puede calcular a partir de las superficies paralelas ($S$), la viscosidad ($\eta$), la diferencia de velocidad entre superficies ($\Delta v$) y la distancia entre las superficies ($\Delta z$) utilizando el siguiente m todo:
En el caso de un cilindro, la superficie est definida por ERROR:5430,0 y por el per metro de cada uno de los cilindros internos, que se calcula multiplicando $2\pi$ por el radio de la posición en un tubo ($r$). Con esto, la fuerza de resistencia en cilindro ($F_v$) se calcula utilizando la viscosidad ($\eta$) y la variación de la velocidad entre dos radios ($dv$) para el ancho del cilindro el variación del radio en un tubo ($dr$), lo que resulta en:
Al resolver la ecuaci n de flujo con la condici n de borde, obtenemos la velocidad en un radio del cilindro ($v$) en funci n de el radio de la curvatura ($r$) como una par bola centrada en la velocidad máxima del flujo ($v_{max}$) y que se anula en el radio del tubo ($R$):
El valor de la velocidad máxima del flujo ($v_{max}$) en el centro de un cilindro depende de la viscosidad ($\eta$), el radio del tubo ($R$), y del gradiente creado por la diferencia de presión ($\Delta p_s$) y el largo de tubo ($\Delta L$), como se representa a continuaci n:
El signo negativo indica que el flujo siempre se produce en la direcci n negativa del gradiente, es decir, desde el rea de mayor presi n hacia el rea de menor presi n.
El flujo de volumen ($J_V$) corresponde a la cantidad ERROR:9847,0 que fluye a trav s del canal durante un tiempo ($t$). Por lo tanto, se tiene:
El flujo de volumen ($J_V$) se puede calcular con la ley de Hagen-Poiseuille que con los par metros la viscosidad ($\eta$), la diferencia de presión ($\Delta p$), el radio del tubo ($R$) y el largo de tubo ($\Delta L$) es:
Con el radio del tubo ($R$), la viscosidad ($\eta$) y el largo de tubo ($\Delta L$) se tiene que una conductancia hidráulica ($G_h$) es:
Con la introducci n de la conductancia hidráulica ($G_h$), podemos reformular la ecuaci n de Hagen-Poiseuille con la diferencia de presión ($\Delta p$) y el flujo de volumen ($J_V$) a trav s de la siguiente ecuaci n:
En el contexto de la resistencia el ctrica, existe su inverso, conocido como la conductancia el ctrica. De manera an loga, se puede definir lo que ser a la conductancia hidráulica ($G_h$) en funci n de la resistencia hidráulica ($R_h$) mediante la expresi n:
Dado que la resistencia hidráulica ($R_h$) es igual al inverso de la conductancia hidráulica ($G_h$), podemos calcularlo a partir de la expresi n de este ltimo. De esta manera, podemos identificar par metros relacionados con la geometr a (el largo de tubo ($\Delta L$) y el radio del tubo ($R$)) y el tipo de l quido (la viscosidad ($\eta$)), que pueden ser denominados colectivamente como una resistencia hidráulica ($R_h$):
Darcy reescribe la ecuaci n de Hagen Poiseuille de modo que la diferencia de presión ($\Delta p$) es igual a la resistencia hidráulica ($R_h$) por el flujo de volumen ($J_V$):
La superficie de un disco ($S$) de un radio de un disco ($r$) se calcula de la siguiente manera:
Se puede representar una densidad de flujo ($j_s$) en t rminos de el flujo de volumen ($J_V$) utilizando la sección o superficie ($S$) mediante la siguiente f rmula:
El factor restante se denomina la permeabilidad hidrodinámica ($k$) y se puede calcular usando el radio del tubo ($R$) con la siguiente f rmula:
ID:(369, 0)