mechanisms

Los poros individuales se agrupan en cadenas que forman capilares por los cuales el agua circula.

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Para modelar este fen meno, es necesario estimar tanto el radio de estos capilares como su longitud, teniendo en cuenta que no suelen ser rectos.

Si se toma una sección del flujo ($S$) de una altura la distancia infinitesimal ($ds$)

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se tendra que el volumen ser

$S ds$

meintras los poros ocuparan un volumen

$S_p ds$

lo que permite calcular la porosidad.

La sección del flujo ($S$) incluye la sección de poros ($S_p$) generada por el número de capilares ($N_p$):

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Si observamos una secci n transversal del suelo, notaremos que los capilares atraviesan los espacios entre los granos. Al hacerlo, su n mero es similar al de los mismos granos, por lo que podemos suponer que el número de capilares ($N_p$) es similar al n mero de granos presentes en la secci n:

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Si se compara el volumen del capilar con el de los granos del suelos se encontrara que en el suelo compactado los capilares son formados por la porosidad propia genérica ($q_0$) de los granos esta en esa misma relaci n con el volumen de los granos.

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Por ello se puede establecer una relaci n entre ambos volumenes e igualados a la porosidad propia genérica ($q_0$) lo que permite generar una relaci n que permite calcular la largo del capilar ($l$).

El flujo total se calcula como la suma de los flujos individuales a trav s de los distintos poros:

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Si asumimos que todos los poros son id nticos, podemos obtener el flujo total ($J_{Vt}$) multiplicando el flujo de volumen ($J_V$) individualmente por el número de capilares ($N_p$).

El flujo de l quido en un medio poroso como el suelo se mide mediante la variable la densidad de flujo ($j_s$), que representa la velocidad media a la que el l quido se desplaza a trav s de este medio. Al modelar el suelo y el paso del l quido a trav s de l, se descubre que este proceso est influenciado por factores como la porosidad ($f$) y el radio de un grano genérico ($r_0$), que, al ser mayores, facilitan el flujo, mientras que la viscosidad ($\eta$) dificulta el paso a trav s de los capilares, lo que reduce la velocidad de flujo.

El modelo finalmente incorpora lo que llamaremos la conductividad hidráulica ($K_s$), una variable que depende de las interacciones entre el radio de un grano genérico ($r_0$), la porosidad ($f$), la densidad del líquido ($\rho_w$), la aceleración gravitacional ($g$), la viscosidad ($\eta$) y la porosidad propia genérica ($q_0$):

kyon

la conductividad hidráulica ($K_s$) expresa la facilidad con la que el l quido se conduce a trav s del medio poroso. De hecho, la conductividad hidráulica ($K_s$) aumenta con la porosidad ($f$) y el radio de un grano genérico ($r_0$), y disminuye con la porosidad propia genérica ($q_0$) y la viscosidad ($\eta$).

Si examinamos la literatura, podemos encontrar estimaciones de la conductividad hidr ulica para diferentes texturas de suelo, que se muestran aqu en funci n de su exponente (es decir, se indica -7 para una conductividad hidr ulica de 1E-7 m/s):

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Los resultados se resumen en la siguiente tabla:

Estos datos se obtuvieron de la siguiente literatura, que se referencia en la columna de conductividad hidr ulica:

[1] "Geotechnical Engineering Principles and Practices" de Donald P. Coduto et al., Prentice Hall (1999)

[2] "Soil Mechanics and Foundations" de Muni Budhu, John Wiley & Sons. (2011)

[3] "Introduction to Environmental Engineering" de Mackenzie Davis y David Cornwell, McGraw Hill (2022)

[4] "Principles of Geotechnical Engineering" de Braja M. Das, CL-Engineering (2009)

[5] "Soil Mechanics in Engineering Practice" de Karl Terzaghi y Ralph B. Peck, John Wiley & Sons. (1996)

[6] "Soil Mechanics: Concepts and Applications" de William Powrie, CRC Press (2013)

model

La porosidad ($f$) se puede calcular a partir de la sección de poros ($S_p$) y la sección del flujo ($S$) utilizando la siguiente f rmula:

kyon

Dado que la secci n de un poro de ERROR:5417,0 es $\pi R^2$ y el número de capilares ($N_p$) est relacionado con eso, podemos calcular la sección de poros ($S_p$) de la siguiente manera:

kyon

Usando la porosidad ($f$) y la sección del flujo ($S$), obtenemos la sección de poros ($S_p$), que al dividirlo por la secci n del capilar calculada de el radio del tubo ($R$), resulta en el número de capilares ($N_p$) de acuerdo con:

kyon

Si asumimos que el n mero de capilares es igual al n mero de granos visibles en una secci n, podemos demostrar que para un radio de un grano de el radio de un grano genérico ($r_0$) y una porosidad ($f$), el radio del tubo ($R$) ser igual a:

kyon

Si igualamos el volumen de un capilar al volumen de una cadena de granos multiplicado por el largo de la muestra ($\Delta L$), obtenemos una relaci n entre la largo del capilar ($l$) y la porosidad ($f$) dada por:

kyon

El flujo total ($J_{Vt}$) se calcula multiplicando un número de capilares ($N_p$) por el valor de el flujo de volumen ($J_V$) en cada capilar, de la siguiente manera:

kyon

Si aplicamos la ecuaci n de Hagen-Poiseuille a el flujo de volumen ($J_V$) para el caso de capilares con el radio del tubo ($R$) expresados en t rminos de la porosidad ($f$) y la largo del capilar ($l$) como funci n de el largo de la muestra ($\Delta L$), podemos calcular el flujo total ($J_{Vt}$) utilizando

equation=4364

El resultado puede expresarse en t rminos de la sección del flujo ($S$), la viscosidad ($\eta$), la porosidad propia genérica ($q_0$), el radio de un grano genérico ($r_0$) y la diferencia de presión ($\Delta p$):

kyon

Esta ecuaci n corresponde a la ecuaci n de Kozeny-Carman, que fue desarrollada por Kozeny y Carman para modelar el flujo de un l quido a trav s de un medio poroso y se public en:

• Sobre la conducci n capilar del agua en el suelo., ("Ueber kapillare Leitung des Wassers im Boden."), J. Kozeny, Sitzungsber Akad. Wiss., Wien, 136(2a): 271-306 (1927)

• Flujo de fluidos a trav s de lechos granulares., ("Fluid flow through granular beds."), P.C. Carman, Transactions, Institution of Chemical Engineers, London, 15: 150-166 (1937)

• Flujo de gases a trav s de medios porosos., ("Flow of gases through porous media."), P.C. Carman, Butterworths, London (1956)

Como la conductancia hidráulica ($G_h$) est relacionado con la sección del flujo ($S$), el radio de un grano genérico ($r_0$), la viscosidad ($\eta$), la porosidad propia genérica ($q_0$), la porosidad ($f$) y el largo de la muestra ($\Delta L$), mediante

equation=15103

y dado que la conductancia hidráulica ($G_h$) es el inverso de la resistencia hidráulica ($R_h$), podemos afirmar que

kyon

En el caso de un tubo por el cual un l quido con la densidad del agua ($\rho_w$) fluye debido a la diferencia de presión ($\Delta p$) generado por una una diferencia de altura ($\Delta h$) bajo la influencia de la gravedad representada por la aceleración gravitacional ($g$) y calculado con la ecuaci n:

equation=4345

esto puede emplearse en la ecuaci n de Hagen-Poiseuille, junto con la definici n de la densidad de flujo ($j_s$) en t rminos de el flujo total ($J_{Vt}$), que a su vez depende de el radio de un grano genérico ($r_0$), la porosidad propia genérica ($q_0$), la porosidad ($f$), la viscosidad ($\eta$) y el largo de la muestra ($\Delta L$):

kyon

Para relacionar la conductividad hidr ulica con los factores de masa, introducimos el factor de escala de capilares ($\gamma$) junto con el radio de un grano genérico ($r_0$), el radio del grano de arena ($r_a$), la porosidad propia genérica ($q_0$) y la porosidad propia de la arena ($q_a$) como

kyon.

A partir de la definici n de la conductividad hidráulica ($K_s$) y el factor de escala de capilares ($\gamma$), podemos expresar la conductividad hidráulica ($K_s$) en funci n de el radio del grano de arena ($r_a$), la porosidad propia de la arena ($q_a$), la porosidad ($f$), la densidad del líquido ($\rho_w$), la aceleración gravitacional ($g$) y la viscosidad ($\eta$) de la siguiente manera:

kyon

El c lculo de el factor de escala de capilares ($\gamma$) se obtiene a partir de la porosidad ($f$), la densidad del líquido ($\rho_w$), la aceleración gravitacional ($g$), y la viscosidad ($\eta$) eliminando el radio del grano de arena ($r_a$) y la porosidad propia de la arena ($q_a$) mediante la siguiente ecuaci n:

$\gamma=\displaystyle\frac{8K_sq_a}{r_a^2}\displaystyle\frac{(1-f)^2}{f^3}\displaystyle\frac{\eta}{\rho_wg}$

Si deseamos relacionar el factor de escala de capilares ($\gamma$) con la fracción de masa de arena en la muestra ($g_a$), la fracción de masa de limo en la muestra ($g_i$) y la fracción de masa de arcilla en la muestra ($g_c$), notamos que mientras el primero var a en 6 potencias, los segundos var an solo en 2, lo que justifica establecer una relaci n con el logaritmo natural de $\gamma$. Por lo tanto, realizamos una regresi n utilizando la ecuaci n:

kyon

con el factor de sección del capilar en arena ($s_a$), el factor de sección del capilar en limo ($s_i$), y el factor de sección del capilar en arcilla ($s_c$).

Los datos medios para cada rango son los siguientes:

La regresi n resulta en una relaci n lineal con un R cuadrado de 0.9975 y los siguientes coeficientes, junto con los valores para evaluar la calidad de los coeficientes:

Dado los valores del p-test, podemos asumir que todos los coeficientes son altamente relevantes.