Wenn Sie die erste Gleichung des SIR-Modells verallgemeinern m chten, die die Entwicklung des anf lligen S beschreibt

equation=4068\\n\\nDabei ist \beta die Infektionswahrscheinlichkeit, die Anzahl der Kontakte C, die Anzahl der infizierten I und die Anzahl der gesamten Personen N.\\n\\nWenn die Geborenen ber cksichtigt werden, sind diese proportional zur Anzahl der Menschen in der Gesellschaft N\\n\\n

$\left(\displaystyle\frac{dS}{dt}\right)_{nacer}=\mu_bN$

\\n\\nDabei ist \mu_b die Proportionalit tskonstante. Ebenso wird die Anzahl der Menschen sein, die an einer anderen Ursache sterben\\n\\n

$\left(\displaystyle\frac{dS}{dt}\right)_{morir}=-\mu_dS$

Dabei ist \mu_d die Proportionalit tskonstante und in diesem Fall ein Bruchteil der Anzahl anf lliger Personen, die sterben. Das negative Vorzeichen erinnert uns daran, dass der Tod zu einer Verringerung der Anf lligkeit f hrt.

Auf diese Weise lautet die erste Gleichung des modifizierten SIR-Modells

equation

Bei der zweiten Gleichung des SIR-Modells muss die Gleichung ge ndert werden

equation=4079\\n\\nin denen I infiziert ist, \beta die Wahrscheinlichkeit einer Ansteckung, C die Anzahl der Kontakte, N die Populationsgr e und \gamma der Faktor, der die Erholung modelliert.\\n\\nWenn angenommen wird, dass Menschen nur gesund geboren werden, umfasst die zweite Gleichung des Modells m glicherweise nur infizierte Menschen, die aus einem anderen Grund als der untersuchten Krankheit sterben. Daher sollte die Variation der vom Tod Infizierten sein\\n\\n

$\left(\displaystyle\frac{dI}{dt}\right)_{morir}=-\mu_dI$

Dabei ist \mu_d die Proportionalit tskonstante und in diesem Fall ein Bruchteil der Anzahl anf lliger Personen, die sterben. Das negative Vorzeichen erinnert uns daran, dass der Tod zu einer Verringerung der Anf lligkeit f hrt.

Daher wird die zweite Gleichung geschrieben als

equation

Bei der dritten Gleichung des SIR-Modells muss die Gleichung ge ndert werden

equation=4072\\n\\nin dem R die Population der wiederhergestellten, I der infizierten und \gamma der Faktor ist, der die Wiederherstellung modelliert.\\n\\nWenn angenommen wird, dass Menschen nur gesund geboren werden, umfasst die dritte Gleichung des Modells m glicherweise nur geborgene Menschen, die aus einem anderen Grund als der untersuchten Krankheit sterben. Daher muss die Variation der durch den Tod geborgenen sein\\n\\n

$\left(\displaystyle\frac{dR}{dt}\right)_{morir}=-\mu_dR$

Dabei ist \mu_d die Proportionalit tskonstante und in diesem Fall ein Bruchteil der Anzahl anf lliger Personen, die sterben. Das negative Vorzeichen erinnert uns daran, dass der Tod zu einer Verringerung der Anf lligkeit f hrt.

Daher wird die dritte Gleichung geschrieben als

equation

Wie im Fall des SIR-Modells gibt es eine Reihe von Anf lligen, bei denen die Krankheit nicht gen gend Opfer findet, um zu wachsen. Dies geschieht in dem Moment, in dem die Steigung des Infizierten null ist:\\n\\n

$\displaystyle\frac{dI}{dt}=\displaystyle\frac{\beta C}{N}I(t)S(t)-(\gamma+\mu_d)I(t)=0$

in dem es in S gel scht werden kann, wobei der Wert der Anf lligkeit angegeben wird, der f r die Kontrolle der Krankheit kritisch ist, ist:

equation

Dies entspricht der Situation, in der die infizierte Kurve ihr Maximum erreicht. Mit anderen Worten, die Anzahl der kritisch Anf lligen ist die Anzahl der Anf lligen, die in dem Moment verbleiben, in dem die Anzahl der Infizierten ihr Maximum erreicht.

Betrachten wir die zweite Gleichung des modifizierten SIR-Modells, die die Entwicklung beschreibt

equation=4079\\n\\nWir sehen, dass das Vorzeichen des Faktors in Klammern bestimmt, ob die Anzahl der Infizierten weiter zunimmt oder abnimmt. Die Krankheit wird bei der Kontrolle ber cksichtigt, wenn der Faktor negativ ist oder\\n\\n

$\displaystyle\frac{\beta C}{N}S(t)-(\gamma+\mu_d)<0$

\\n\\noder\\n\\n

$\displaystyle\frac{S(t)}{N}\displaystyle\frac{\beta C}{(\gamma+\mu_d)}< 1.0$

Zu Beginn der Ausbreitung ist die anf llige Population gr tenteils die gesamte Population (S (0)\sim N), so dass die Krankheit in dem Ma e enthalten ist, dass \beta C/(\gamma+\mu_d) ist kleiner als eins. Daher ist der Reproduktionsfaktor definiert als

equation

Dies ist die Bedingung, dass der Reproduktionsfaktor vorhanden sein muss.

equation=4083

ist gr er als Null, aber auch, dass R_0 kleiner als eins sein muss, was bedeutet, dass mehr als diejenigen geboren werden m ssen, die an anderen Ursachen sterben:

equation

Eine andere Anwendung der Gleichung besteht darin, die notwendigen Ma nahmen zur Vermeidung der Epidemie abzusch tzen. Im Allgemeinen ist jede nderung von \beta, C, \gamma, \mu_d und S erforderlich f hrt zu Z\leq 1. Die Reduktion von S h ngt mit der Impfung zusammen. Wenn davon ausgegangen wird, dass die breite ffentlichkeit ihre Gepflogenheiten nicht ndert, um \beta und C zu reduzieren, und wir keine Medikamente zur Erh hung des \gamma -Faktors haben Wir k nnen Menschen aus dem Zustand S durch Impfung in den Zustand R berf hren. Wenn q die zu impfende Fraktion ist, dh qS geimpft wird, erreichen wir die Kontrolle, wenn\\n\\n

$Z=1=\displaystyle\frac{S-qS}{N}\displaystyle\frac{\beta C}{(\gamma+\mu_d)}$

oder L schen von q

equation

Wenn die asymptotische Anzahl der Infizierten beobachtet wird\\n\\n

$\displaystyle\frac{I_{\infty}}{N}=\displaystyle\frac{\mu_b}{\gamma+\mu_d}-\displaystyle\frac{\mu_d}{\beta C}$

Wir stellen fest, dass der Wert abh ngig von den Parametern negativ werden kann, was keinen Sinn ergibt. Falls es keine Situation gibt, in der die asymptotische Zahl Null oder positiv ist, gibt es keine statische asymptotische L sung. Die Bedingung, dass die statische L sung existiert, ist

equation

Wenn die Situation erreicht ist, in der die Infizierten zu sinken beginnen, wird die erste Gleichung des modifizierten SIR-Modells erhalten\\n\\n

$\displaystyle\frac{dS}{dt}=-\left(\displaystyle\frac{\beta C}{N}I(t)+\mu_d\right)S(t)+\mu_bN=0$

\\n\\nin dem Sie in I l schen k nnen, wobei der Wert angegeben wird\\n\\n

$I_{crit}=\left(\displaystyle\frac{\mu_b N}{S_{\infty}}-\mu_d\right)\displaystyle\frac{N}{\beta C}$

\\n\\nDa ist die Grenze der Anf lligkeit\\n\\n

$\displaystyle\frac{S_{crit}}{N}=\displaystyle\frac{\gamma+\mu_d}{\beta C}$

es hat

equation

Das Modell kann die Gleichungen f r anf lliges S, infiziertes I und wiederhergestelltes R numerisch l sen:

equation=4078

equation=4079

equation=4080

Dabei ist t die Zeit \beta des Ansteckungsbechers, \gamma der Wiederherstellungsbecher, C der Anzahl der Kontakte, N der Bev lkerung, \mu_b Geburt pro Kopf und \mu_d pro Kopf Mortalit t.