Ampliaci n de los modelos SIR a los casos en que se considera tambi n el nacimiento y muerte por otras causas en el calculo de la poblaci n.

Si se busca generalizar la primera ecuaci n del modelo SIR que describe la evoluci n de los susceptibles S

equation=4068\\n\\ndonde \beta es la probabilidad de infecci n, n mero de contactos C, n mero de infectados I y n mero de personas totales N.\\n\\nSi se consideran los nacidos estos ser n proporcional al numero de personas en la sociedad N, esto es\\n\\n

$\left(\displaystyle\frac{dS}{dt}\right)_{nacer}=\mu_bN$

\\n\\ndonde \mu_b es la constante de proporcionalidad. De igual forma el n mero de personas que mueren por otra causa sera\\n\\n

$\left(\displaystyle\frac{dS}{dt}\right)_{morir}=-\mu_dS$

donde \mu_d es la constante de proporcionalidad y en este caso representa una fracci n del numero de susceptibles que muere. El signo negativo nos recuerda que la muerte lleva a una reducci n de susceptibles.

De esta forma la primera ecuaci n del modelo SIR modificado es

equation

En el caso de la segunda ecuaci n del modelo SIR se debe modificar la ecuaci n

equation=4079\\n\\nen que I son los infectados, \beta la probabilidad de contagio, C la cantidad de contactos, N el tama o de la poblaci n y \gamma el factor que modela la recuperaci n.\\n\\nSi se asume que las personas solo nacen sanas, la segunda ecuaci n del modelo solo podr incluir las personas infectadas que mueren por otra raz n que la enfermedad que se esta estudiando. Por ello la variaci n de los infectados por muerte debe ser\\n\\n

$\left(\displaystyle\frac{dI}{dt}\right)_{morir}=-\mu_dI$

donde \mu_d es la constante de proporcionalidad y en este caso representa una fracci n del numero de susceptibles que muere. El signo negativo nos recuerda que la muerte lleva a una reducci n de susceptibles.

Por ello la segunda ecuaci n se escribe como

equation

En el caso de la tercera ecuaci n del modelo SIR se debe modificar la ecuaci n

equation=4072\\n\\nen que R es la poblaci n de los recuperados, I los infectados y \gamma el factor que modela la recuperaci n.\\n\\nSi se asume que las personas solo nacen sanas, la tercera ecuaci n del modelo solo podr incluir las personas recuperadas que mueren por otra raz n que la enfermedad que se esta estudiando. Por ello la variaci n de los recuperados por muerte debe ser\\n\\n

$\left(\displaystyle\frac{dR}{dt}\right)_{morir}=-\mu_dR$

donde \mu_d es la constante de proporcionalidad y en este caso representa una fracci n del numero de susceptibles que muere. El signo negativo nos recuerda que la muerte lleva a una reducci n de susceptibles.

Por ello la tercera ecuaci n se escribe como

equation

Al igual que en el caso del modelo SIR existe un n mero de susceptibles debajo de los cuales la enfermedad no encuentra suficientes victimas para crecer. Esto se da en el momento que la pendiente de los infectados es nula:\\n\\n

$\displaystyle\frac{dI}{dt}=\displaystyle\frac{\beta C}{N}I(t)S(t)-(\gamma+\mu_d)I(t)=0$

en que se puede despejar en S dando el valor de susceptibles que es cr tico para controlar la enfermedad es:

equation

que corresponde a la situaci n en que la curva de infectados alcanza su m ximo. Es decir el n mero de susceptibles cr ticos es el numero de susceptibles que van quedando al momento que el n mero de infectados alcanza su m ximo.

Si observamos la segunda ecuaci n del modelo SIR modificado que describe la evoluci n

equation=4079\\n\\nvemos que el signo del factor entre par ntesis determina si el numero de infectados continua creciendo o decrece. La enfermedad se considera en proceso de estar controlada si el factor es negativo o sea\\n\\n

$\displaystyle\frac{\beta C}{N}S(t)-(\gamma+\mu_d)<0$

\\n\\no\\n\\n

$\displaystyle\frac{S(t)}{N}\displaystyle\frac{\beta C}{(\gamma+\mu_d)}< 1.0$

Al inicio de la propagaci n los susceptibles son en gran medida toda la poblaci n (S(0)\sim N) por lo que la enfermedad esta contendida en la medida que \beta C/(\gamma+\mu_d) es menor que uno. Por ello se define el factor de reproducci n como

equation

Esto es debe existir la condici n de que el factor de reproducci n

equation=4083

sea mayor que cero pero tambi n que R_0 tiene que ser menor que uno lo que implica que deben nacer mas de los que mueren por otras causas:

equation

Otra de las aplicaciones de la ecuaci n es la de permitir estimar las medidas necesarias para evitar la epidemia. En general se necesita que cualquier cambio de \beta, C, \gamma, \mu_d y S lleve a que Z\leq 1. La reducci n de S se asocia a lo que es la vacunaci n. Si se supone que el publico en general no modifica sus costumbres para reducir \beta y C, y no tenemos medicinas para aumentar el factor \gamma podemos pasar personas del estado S al R v a vacunaci n. Si q es la fracci n a vacunar, o sea qS ser n los vacunados lograremos el control si se\\n\\n

$Z=1=\displaystyle\frac{S-qS}{N}\displaystyle\frac{\beta C}{(\gamma+\mu_d)}$

o despejando q

equation

Si se observa el n mero asimtotico de infectados\\n\\n

$\displaystyle\frac{I_{\infty}}{N}=\displaystyle\frac{\mu_b}{\gamma+\mu_d}-\displaystyle\frac{\mu_d}{\beta C}$

notamos que, dependiendo de los par metros, el valor podr a llegar a ser negativo lo que no da sentido. Por si no se da la situaci n de que el numero asint tico es cero o positivo no existe una soluci n asint tica est tica. La condici n de que exista la soluci n est tica es

equation

En el caso de alcanzar la situaci n en que los infectados comienzan a decender se tiene con la primera ecuaci n del modelo SIR modificado\\n\\n

$\displaystyle\frac{dS}{dt}=-\left(\displaystyle\frac{\beta C}{N}I(t)+\mu_d\right)S(t)+\mu_bN=0$

\\n\\nen que se puede despejar en I dando el valor es\\n\\n

$I_{crit}=\left(\displaystyle\frac{\mu_b N}{S_{\infty}}-\mu_d\right)\displaystyle\frac{N}{\beta C}$

\\n\\nComo el limite de susceptibles es\\n\\n

$\displaystyle\frac{S_{crit}}{N}=\displaystyle\frac{\gamma+\mu_d}{\beta C}$

se tiene

equation

El modelo se puede resolver num ricamente las ecuaciones para los susceptibles S, infectados I y recuperados R:

equation=4078

equation=4079

equation=4080

en donde t es el tiempo \beta la taza de contagio, \gamma la taza de recuperaci n, C el n mero de contactos, N la poblaci n, \mu_b la natalidad por habitante y \mu_d la mortalidad por habitante.