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Caso SARS 2003
Definición

En 2003 ocurrió una pandemia de SARS que se inicio en Chine y propago vía Hong Kong al resto del mundo.

Los datos del WHO, que cubren todo el mundo tienen en particular una estructura relativamente simple para el caso de Hong Kong (un solo foco). Los datos que se pueden bajar desde el informe general de [WHO SARS 2003](http://www.who.int/csr/sars/country/en/) en que esta el número acumulado de:

• infectados

• muertos

• recuperados

por fecha y país.

El número de muertos y de recuperados acumulados corresponden a los $D$ y $R$ del modelo SIRD respectivamente.

El número acumulado de infectados $J$, no corresponde al $I$ del modelo SIRD ya que este ultimo representa los infectados existentes en un tiempo dado y no el acumulado histórico.

Para describir completamente el modelo debemos, en base a los datos experimentales, determinar los factores:

• $\bar{\beta}\equiv\beta C$ que es la tasa de infección

• $\gamma$ la tasa de recuperación

• $\delta$ la tasa de muerte

• $N$ el número del grupo social o celda en que se propaga

si se supone que inicialmente existió un solo infectado.

ID:(8226, 0)


Simulador SARS - ajuste de un Modelo SEIR
Imagen

El presente simulador contiene los datos de la epidemia de SARS para el caso de Hong Kong y permite buscar los parámetros de un modelo SEIR ajustando las curvas a los valores reales:

ID:(9659, 0)


Epidemia de SARS 2003, Modelo SIRD
Descripción

Variables
Símbolo
Texto
Variable
Valor
Unidades
Calcule
Valor MKS
Unidades MKS

Cálculos

Primero, seleccione la ecuación:   a ,  luego, seleccione la variable:   a 
Símbolo
Ecuación
Resuelto
Traducido

Cálculos

Símbolo
Ecuación
Resuelto
Traducido

 Variable   Dado   Calcule   Objetivo :   Ecuación   A utilizar


Ecuaciones

Ejemplos

En 2003 ocurri una pandemia de SARS que se inicio en Chine y propago v a Hong Kong al resto del mundo.

Los datos del WHO, que cubren todo el mundo tienen en particular una estructura relativamente simple para el caso de Hong Kong (un solo foco). Los datos que se pueden bajar desde el informe general de [WHO SARS 2003](http://www.who.int/csr/sars/country/en/) en que esta el n mero acumulado de:

• infectados

• muertos

• recuperados

por fecha y pa s.

El n mero de muertos y de recuperados acumulados corresponden a los $D$ y $R$ del modelo SIRD respectivamente.

El n mero acumulado de infectados $J$, no corresponde al $I$ del modelo SIRD ya que este ultimo representa los infectados existentes en un tiempo dado y no el acumulado hist rico.

Para describir completamente el modelo debemos, en base a los datos experimentales, determinar los factores:

• $\bar{\beta}\equiv\beta C$ que es la tasa de infecci n

• $\gamma$ la tasa de recuperaci n

• $\delta$ la tasa de muerte

• $N$ el n mero del grupo social o celda en que se propaga

si se supone que inicialmente existi un solo infectado.

(ID 8226)

Como en la ecuaci n de propagaci n de la infecci n en el modelo SIRD

$\displaystyle\frac{ dI }{ dt }=\left(\displaystyle\frac{ \beta C }{ N } S - \gamma - \delta \right) I $



figura el numero de contactos C y la probabilidad de que el contacto, si infectado, contagie /beta en forma de producto es imposible determinar ambos par metros por separado. Por ello se introduce la probabilidad de infecci n total que considera ambos par metros:

$\bar{\beta}=\beta C$

(ID 8228)

Para calcular el n mero de infectados I se puede tomar el n mero de infectados acumulados J restando el n mero de recuperados R y muertos D:

$ I = J - R - D $

(ID 8227)

Como se cuenta con los datos tanto de los infectados I_i como de los recuperados R_i y se debe cumplir que

$\displaystyle\frac{ dR }{ dt }= \gamma I $

\\n\\nse puede realizar un ajuste por m nimos cuadrados en que se busca un \gamma que minimice\\n\\n

$min \sum_i\left(\displaystyle\frac{dR_i}{dt}-\gamma I_i\right)^2$



lo que se da si la tasa de recuperaci n es

$\gamma=\displaystyle\frac{\displaystyle\sum_iI_i\displaystyle\frac{dR_i}{dt}}{\displaystyle\sum_iI_i^2}$

(ID 8229)

Como se cuenta con los datos tanto de los infectados I_i como de los muertos D_i y se debe cumplir que

$\displaystyle\frac{ dD }{ dt }= \delta I $

\\n\\nse puede realizar un ajuste por m nimos cuadrados en que se busca un \delta que minimice\\n\\n

$min \sum_i\left(\displaystyle\frac{dD_i}{dt}-\delta I_i\right)^2$



lo que se da si la tasa de muerte es

$\delta=\displaystyle\frac{\displaystyle\sum_iI_i\displaystyle\frac{dD_i}{dt}}{\displaystyle\sum_iI_i^2}$

(ID 8230)

La ecuaci n de propagaci n de la infecci n

$\displaystyle\frac{ dI }{ dt }=\left(\displaystyle\frac{ \beta C }{ N } S - \gamma - \delta \right) I $



se puede reescribir con

$\bar{\beta}=\beta C$



como

$\displaystyle\frac{dI}{dt}=\left(\bar{\beta}\displaystyle\frac{S}{N}-(\gamma+\delta)\right)I$

(ID 8231)

Si se conoce el punto en que el n mero de infectados llega a un m ximo I_{crit} tiene que la derivada del n mero de infectados es nula

$\displaystyle\frac{dI}{dt}=\left(\bar{\beta}\displaystyle\frac{S}{N}-(\gamma+\delta)\right)I$

\\n\\ny con ello que\\n\\n

$\bar{\beta}\displaystyle\frac{S_{crit}}{N}-(\gamma+\delta)=0$



por lo que con

$ N = S + I + R + D $



se tiene que la tasa de infecci n ser a igual a

$\bar{\beta}=\displaystyle\frac{(\gamma+\delta)N}{N-(I_{crit}+R_{crit}+D_{crit})}$

Por ello \bar{\beta} siempre ser menor que la suma de \gamma y \delta.

(ID 8234)

Para buscar el numero de personas en el circulo N se puede buscar para la ecuaci n de propagaci n de infecciones

$\displaystyle\frac{dI}{dt}=\left(\bar{\beta}\displaystyle\frac{S}{N}-(\gamma+\delta)\right)I$



con la condici n

$ N = S + I + R + D $



y la relaci n para el $\bar{\beta}$

$\bar{\beta}=\displaystyle\frac{(\gamma+\delta)N}{N-(I_{crit}+R_{crit}+D_{crit})}$



la minimizaci n de la desviaci n cuadratica

$min \sum_i\left(N\displaystyle\frac{dI_i}{dt}-\bar{\beta}(N)(N-I_i-R_i-D_i)I_i+(\gamma+\delta)I_iN\right)^2$

(ID 8232)

Si se desarrolla la expresi n

$min \sum_i\left(N\displaystyle\frac{dI_i}{dt}-\bar{\beta}(N)(N-I_i-R_i-D_i)I_i+(\gamma+\delta)I_iN\right)^2$



se obtiene el coeficiente

$S_1=\sum_i\left(\displaystyle\frac{dI_i}{dt}+(\gamma+\delta)I_i\right)^2$

para el termino en $N^2$.

(ID 8236)

Si se desarrolla la expresi n

$min \sum_i\left(N\displaystyle\frac{dI_i}{dt}-\bar{\beta}(N)(N-I_i-R_i-D_i)I_i+(\gamma+\delta)I_iN\right)^2$



se obtiene el coeficiente

$S_2=\sum_iI_i^2$

para el termino en $\bar{\beta}^2N^2$.

(ID 8237)

Si se desarrolla la expresi n

$min \sum_i\left(N\displaystyle\frac{dI_i}{dt}-\bar{\beta}(N)(N-I_i-R_i-D_i)I_i+(\gamma+\delta)I_iN\right)^2$



se obtiene el coeficiente

$S_3=\sum_iI_i^2(I_i+R_i+D_i)^2$

para el termino en $\bar{\beta}^2$.

(ID 8238)

Si se desarrolla la expresi n

$min \sum_i\left(N\displaystyle\frac{dI_i}{dt}-\bar{\beta}(N)(N-I_i-R_i-D_i)I_i+(\gamma+\delta)I_iN\right)^2$



se obtiene el coeficiente

$S_4=-2\sum_i\left(\displaystyle\frac{dI_i}{dt}+(\gamma+\delta)I_i\right)I_i$

para el termino en $\bar{\beta}N^2$.

(ID 8239)

Si se desarrolla la expresi n

$min \sum_i\left(N\displaystyle\frac{dI_i}{dt}-\bar{\beta}(N)(N-I_i-R_i-D_i)I_i+(\gamma+\delta)I_iN\right)^2$



se obtiene el coeficiente

$S_5=-2\sum_iI_i^2(I_i+R_i+D_i)$

para el termino en $\bar{\beta}^2N$.

(ID 8240)

Si se desarrolla la expresi n

$min \sum_i\left(N\displaystyle\frac{dI_i}{dt}-\bar{\beta}(N)(N-I_i-R_i-D_i)I_i+(\gamma+\delta)I_iN\right)^2$



se obtiene el coeficiente

$S_6=2\sum_i\left(\displaystyle\frac{dI_i}{dt}+(\gamma+\delta)I_i\right)I_i(I_i+R_i+D_i)$

para el termino en $\bar{\beta}N$.

(ID 8241)

La ecuaci n

$min \sum_i\left(N\displaystyle\frac{dI_i}{dt}-\bar{\beta}(N)(N-I_i-R_i-D_i)I_i+(\gamma+\delta)I_iN\right)^2$



se puede reescribir con

$S_1=\sum_i\left(\displaystyle\frac{dI_i}{dt}+(\gamma+\delta)I_i\right)^2$



$S_2=\sum_iI_i^2$



$S_3=\sum_iI_i^2(I_i+R_i+D_i)^2$



$S_4=-2\sum_i\left(\displaystyle\frac{dI_i}{dt}+(\gamma+\delta)I_i\right)I_i$



$S_5=-2\sum_iI_i^2(I_i+R_i+D_i)$



$S_6=2\sum_i\left(\displaystyle\frac{dI_i}{dt}+(\gamma+\delta)I_i\right)I_i(I_i+R_i+D_i)$



dando

$min (S_1N^2+(S_6+S_4N)N\bar{\beta}+(S_3+S_5N+S_2N^2)\bar{\beta}^2)$

donde \bar{\beta} depende a su vez de N.

(ID 8235)

La condici n

$min (S_1N^2+(S_6+S_4N)N\bar{\beta}+(S_3+S_5N+S_2N^2)\bar{\beta}^2)$



se puede aplicar diferenciando respecto de N, considerando que

$\bar{\beta}=\displaystyle\frac{(\gamma+\delta)N}{N-(I_{crit}+R_{crit}+D_{crit})}$



e igualando a cero con lo que se obtiene

$N=\displaystyle\frac{(S_6+S_0S_4)S_0-(\gamma+\delta)(2S_3+S_0S_5)}{S_6+S_0S_4+(\gamma+\delta)(S_5+2S_0S_2)}$

(ID 8242)

El presente simulador contiene los datos de la epidemia de SARS para el caso de Hong Kong y permite buscar los par metros de un modelo SEIR ajustando las curvas a los valores reales:

(ID 9659)

ID:(891, 0)