Campton Scattering

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>Modelo

ID:(1074, 0)



Scattering de Compton

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El scattering de Compton ocurre entre un fotón y un electron de un atomo y lleva a la ionización de esta último:

ID:(8727, 0)



Reducción de Largo de Onda por Scattering de Compton

Ecuación

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Al sufrir un fotón de largo de onda $\lambda$ un scattering de Compton tiene un largo de onda $$\lambda'$ dado por

$\lambda'-\lambda=\lambda_c(1-\cos\theta)$

si el angulo de scattering es $\theta$ y $\lambda_c$ es el largo de onda de Compton que es del orden de 2.43E-12 m.

ID:(8734, 0)



Proceso de multiples Scattering

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Como el fotón pierde energía en el scattering de Compton es capaz de ionizar atomos con electrones superiores existiendo multiples scatterings:

ID:(8728, 0)



Experimento de Compton

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El fotón se genera con un tubo de rayos X, incide sobre el target a estudiar y los fotones que realizaron scattering. El haz de fotones que se originan por el scattering son reflectados sobre un cristal para así descomponer el haz según el largo de onda de los fotones. Finalmente se mide la intensidad del haz resultante con una cámara de ionización:

ID:(8729, 0)



Largo de Onda reducida de Compton

Ecuación

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El largo de onda reducido de Compton se define como

$\lambda_c=\displaystyle\frac{h}{m_ec}$

El largo de onda de Compton es del orden de 2.43E-12 m.

ID:(8724, 0)



Energía adquirida por el Electrón

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Como el largo de onda del fotón resultante del scattering es $\lambda'$ dado por

$\lambda'-\lambda=\lambda_c(1-\cos\theta)$



y la energía se puede calcular mediante

$E=\displaystyle\frac{hc}{\lambda}$

se puede ver que la energía por la energía en reposo del electron ganada por este es

$\Delta\epsilon_e=\epsilon\left(1-\displaystyle\frac{1}{1+\epsilon(1-\cos\theta)}\right)$



con

$\epsilon=\displaystyle\frac{E}{m_ec^2}$

ID:(8736, 0)



Factor de Energía

Ecuación

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Para simplificar las ecuaciones se puede introducir la relación entre la energía $E$ y la energía del electrón en reposo $m_ec^2$:

$\epsilon=\displaystyle\frac{E}{m_ec^2}$

ID:(8710, 0)



Sección eficaz según Klein–Nishina

Ecuación

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La sección eficaz del scattering de Comption para una energía del fotón $E$ y angulo de scattering $\theta$ es según Klein Nishina:

$\displaystyle\frac{d\sigma}{d\Omega}=\displaystyle\frac{1}{2}r_e^2P(\epsilon,\theta)^2[P(\epsilon,\theta)+P(\epsilon,\theta)^{-1}-1+\cos^2\theta]$



donde $r_e$ es el radio clásico del electrón (2.8179 fm), $\epsilon$ es la proporción de energía del fotón con respecto a la energía del electrón en reposo:

$\epsilon=\displaystyle\frac{E}{m_ec^2}$



y

$P(\epsilon,\theta)=\displaystyle\frac{1}{1+\epsilon(1-\cos\theta)}$

es la proporción de energía del fotón después y antes del scattering.

ID:(8709, 0)



Proporción de Energías en Scattering de Compton

Ecuación

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La proporción de la energía del fotón después y antes del scattering de Compton es

$P(\epsilon,\theta)=\displaystyle\frac{1}{1+\epsilon(1-\cos\theta)}$



donde $\epsilon$ es la energía inicial del fotón dividida por la masa en reposo del electrón

$\epsilon=\displaystyle\frac{E}{m_ec^2}$

ID:(8725, 0)



Sección Eficaz de Compton

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La sección eficaz del scattering de Compton según el modelo de Klein-Nishina se deja representar en función del angulo de scattering como se ve a continuación:

ID:(8723, 0)



Sección eficaz total según Klein–Nishina

Ecuación

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La sección eficaz total del scattering de Comption se puede calcular de la sección eficaz es según Klein Nishina:

$\displaystyle\frac{d\sigma}{d\Omega}=\displaystyle\frac{1}{2}r_e^2P(\epsilon,\theta)^2[P(\epsilon,\theta)+P(\epsilon,\theta)^{-1}-1+\cos^2\theta]$



integrando en el angulo solido obteniéndose

$\sigma=2\pi r_0^2\left(\displaystyle\frac{1+\epsilon}{\epsilon}\left[\displaystyle\frac{2(1+\epsilon)}{1+2\epsilon}-\displaystyle\frac{1}{\epsilon}\ln(1+2\epsilon)\right]+\displaystyle\frac{1}{2\epsilon}\ln(1+2\epsilon)-\displaystyle\frac{1+3\epsilon}{(1+2\epsilon)^2}\right)$



con

$\epsilon=\displaystyle\frac{E}{m_ec^2}$

el factor de energía y $r_e$ el radio clasico del electrón (2.817E-15 m).

ID:(8726, 0)



Sección eficaz total en función de la Energía

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A medida que la energía del fotón decrece aumenta la sección eficaz total hasta que decrece abruptamente y ya no ocurren scattering de Compton:

ID:(8733, 0)



Codigo

Concepto

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Si un foton sufre scattering de Compton, su largo de onda original \lambda pasara a tener un valor de \lambda'segun el angulo \theta en que se desvía, según:

\lambda' -\lambda=\displaystyle\frac{h}{m_ec}(1-\cos\theta)

Si se despeja \cos\theta se obtiene

\cos\theta=1+\displaystyle\frac{m_ec}{h}(\lambda -\lambda')

Como la energía del foton es

E=h

u=\displaystyle\frac{hc}{\lambda}

se puede expresar el largo de onda como

\lambda=\displaystyle\frac{hc}{E}

Si se discretiza la energía en intervalos \Delta E se tiene que

E=n\Delta E

Como el coseno del ángulo es

\cos\theta=1+\displaystyle\frac{m_ec}{h}(\displaystyle\frac{hc}{E} -\displaystyle\frac{hc}{E'})

en la aproximación discreta se tendrá

\cos\theta=1+\displaystyle\frac{m_ec^2}{\Delta E}(\displaystyle\frac{1}{n} -\displaystyle\frac{1}{n'})

Si se introduce la variable

f\equiv \displaystyle\frac{m_ec^2}{\Delta E}

y un contador que tiene valores entre 0 y Ne. Como los indice n y n' comienzan en cero y el primer intervalo tiene una energía \Delta E se tiene que a los indices a usar se le debe sumar uno.

De esta forma se obtiene que el coseno es

```

cs = 1+f*(1/(in_e+1)-1/(out_e+1));

```

Con la sección eficaz de Klein-Nishina

\displaystyle\frac{d\sigma}{d\Omega}=\displaystyle\frac{1}{2}\alpha^2r_c^2P^2\left[P+\displaystyle\frac{1}{P}-\sin^2\theta\right]

el angulo solido

d\Omega=\sin\theta d\theta d\phi

y el factor P

P=\displaystyle\frac{\lambda}{\lambda'}=\displaystyle\frac{E'}{E}=\displaystyle\frac{n'}{n}

que se puede calcular como

```

P=(out_e+1)/(in_e+1)

```

se tiene que la suma de la sección eficaz sobre \theta (sin la constante ya que se normaliza al final)

```

dataKNSec[in_e][out_e] = Math.pow(P,2)*(P+1/P-Math.pow(se,2))*se;

```

Finalmente se puede normalizar esta expresión y multiplicar con el factor

\displaystyle\frac{1}{2}\alpha^2r_c^2\pi=\pi\alpha^2r_c^2

ID:(9775, 0)