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Gases Reales
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ID:(518, 0)


Kinetic Energy of a Real Gas
Equation

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En el caso no relativista clásico la energía cinética de un gas de N partículas de masa m se puede calcular simplemente sumando sobre las energías cinéticas de cada partícula con :

$ K =\displaystyle\frac{1}{2 m }\sum_ i ^ N \vec{p} _ i ^2$

ID:(3806, 0)


Potential Energy of a Real Gas
Equation

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La energía potencial U de un gas de N partículas se puede calar sumando sobre todas las energías potenciales u_{ij} para los pares de partículas i y j. Si se suma sobre ambos indices solo eliminando los casos en que ambos índices son iguales debemos incluir un factor 1/2 dado que cada dupla se esta contando dos veces.

Por ello la energía potencial total será con :

$U=\displaystyle\frac{1}{2}\sum_{i,j,i\neq j}u_{ij}$

ID:(3807, 0)


Example of Potential Energy: Lennard-Jones
Equation

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Un ejemplo de potencial entre dos partículas es el potencial de Lennard Jones que cuenta con una sección que repele que ambas partículas se superpongan pero tiene un ámbito más lejano en que se atraen con .

$ u(r) =4 u_0 \left[\left(\displaystyle\frac{ a }{ r }\right)^{12}-\left(\displaystyle\frac{ a }{ r }\right)^6\right]$

En este caso u_0 es el mínimo del potencial y a la distancia en que este es nulo. El mínimo se encuentra en este caso en 2^{1/6}a.

Los altos exponentes, 12 para la parte repelente y 6 para la atractiva, hace que el núcleo sea difícil de penetrar y la atracción se corto alcance.

Valore típicos de los parámetros son para u_0\sim 10^{-21}J y a\sim 0.3\times 10^{-9}m.

ID:(3808, 0)


Partition Function Potential Energy Equation
Equation

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Para poder calcular la función partición del potencial Z_U se puede trabajar primero sobre la energía potencial promedio que se puede calcular empleando la distribución canónica:\\n\\n

$\bar{U}=\displaystyle\frac{\displaystyle\int\prod_i d^3q_i Ue^{-\beta U}}{\displaystyle\int\prod_i d^3q_i e^{-\beta U}}$



Como esta expresión se deja escribir como la derivada parcial de la función partición del potencial respecto del factor beta con

$U=-\displaystyle\frac{\partial\ln Z}{\partial\beta}$

\\n\\nse tiene la ecuación diferencial de primer orden\\n\\n

$\bar{U}=-\displaystyle\frac{\partial}{\partial\beta}\ln Z_U$

\\n\\nen \beta. Si se integra esta expresión y se recuerda que en el límite \beta\rightarrow 0 el potencial no tiene relevancia siendo\\n\\n

$Z_U=\displaystyle\int\prod_i^Nd^3q_ie^{-\beta U}\sim\int\prod_i^Nd^3q_i=V^N$



se obtiene la expresión con

$ \ln Z_U = N \ln V -\displaystyle\int_0^{ \beta } \bar{U}( \beta_h )d \beta_h $

ID:(3813, 0)


Potential Energy Particle Pairs
Equation

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El problema es que el promedio de la energía potencial con potencial de interacción por pares $J$ and potencial de interacción total $J$

$U=\displaystyle\frac{1}{2}\sum_{i,j,i\neq j}u_{ij}$



es la suma sobre los promedios de todas las interacciones entre pares de partículas \bar{u}. Como cada una de las N partículas tiene N-1 partículas con que interactúa, existen N(N-1)/2 interacciones. El factor 2 se debe a que cada par es contado doble. Como el numero N es muy grande N-1\sim N y el promedio de la energía potencial es con potencial de interacción por pares $J$ and potencial de interacción total $J$

$\bar{U}=\displaystyle\frac{1}{2}N^2\bar{u}$

ID:(3814, 0)


Potential Energy Particle Pairs Density
Equation

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En general V es mucho mas grande que I por lo que la energía potencial media entre dos partículas es\\n\\n

$\bar{u}=-\displaystyle\frac{\partial}{\partial\beta}\ln\int e^{-\beta u(q)}d^3q$

\\n\\nque con\\n\\n

$\displaystyle\int d^3q e^{-\beta u(q)}=V+I(\beta)$



y V\gg \bar{u} se obtiene que con

$\bar{u}=-\displaystyle\frac{1}{V}\displaystyle\frac{\partial I}{\partial\beta}$

ID:(3817, 0)


Total Potential Energy
Equation

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Con la expresión de la energía potencial media entre dos partículas con beta $1/J$, función $I$ $J$, potencial de interacción por pares promedio $J$ and volumen $m^3$

$\bar{u}=-\displaystyle\frac{1}{V}\displaystyle\frac{\partial I}{\partial\beta}$



y la relación con numero de partículas $-$, potencial de interacción por pares promedio $J$ and potencial de interacción total promedio $J$

$\bar{U}=\displaystyle\frac{1}{2}N^2\bar{u}$



se obtiene con numero de partículas $-$, potencial de interacción por pares promedio $J$ and potencial de interacción total promedio $J$

$\bar{U}=-\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\frac{N^2}{V}\displaystyle\frac{\partial I}{\partial\beta}$

ID:(3815, 0)


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Video: Energía de un Gas Real