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Función Partición del Gas Real
Description

Variables
Symbol
Text
Variable
Value
Units
Calculate
MKS Value
MKS Units
\beta
beta
Beta
1/J
h
h
Constante de Planck
J s
K
K
Energía cinética
J
I
I
Función I
J
Z
Z
Función partición
-
Z_K
Z_K
Función partición de la energía cinética
J
Z_U
Z_U
Función partición del potencial
-
m
m
Masa de las partículas
kg
\vec{p}_i
&p_i
Momento de la partícula i
kg m/s
N
N
Numero de partículas
-
\vec{q}_i
&q_i
Posición de la partícula i
m
u
u
Potencial de interacción
J
U
U
Potencial de interacción total
J
V
V
Volumen
m^3

Calculations

First, select the equation:   to ,  then, select the variable:   to 
Z=\displaystyle\frac{1}{N!}\int\displaystyle\frac{\prod_i^Nd^3p_i\prod_i^Nd^3q_i}{h^{3N}}e^{-\beta(K+U)}Z_K=\displaystyle\frac{1}{N!h^{3N}}\displaystyle\int\prod_i^Nd^3p_ie^{-\beta K} Z_K =( 2* pi * m /( h ^2* beta )^(3* N /2)/factor( N )Z_U=\displaystyle\int\prod_i^Nd^3q_ie^{-\beta U}I(\beta)\equiv\displaystyle\int_0^{\infty}(e^{-\beta u(r)}-1)4\pi r^2dr lnZ_U = N *ln( V )+ N ^2*I( beta )/(2* V )betahKIZZ_KZ_Um&p_iN&q_iuUV
Symbol
Equation
Solved
Translated

Calculations

Symbol
Equation
Solved
Translated

 Variable   Given   Calculate   Target :   Equation   To be used
Z=\displaystyle\frac{1}{N!}\int\displaystyle\frac{\prod_i^Nd^3p_i\prod_i^Nd^3q_i}{h^{3N}}e^{-\beta(K+U)}Z_K=\displaystyle\frac{1}{N!h^{3N}}\displaystyle\int\prod_i^Nd^3p_ie^{-\beta K} Z_K =( 2* pi * m /( h ^2* beta )^(3* N /2)/factor( N )Z_U=\displaystyle\int\prod_i^Nd^3q_ie^{-\beta U}I(\beta)\equiv\displaystyle\int_0^{\infty}(e^{-\beta u(r)}-1)4\pi r^2dr lnZ_U = N *ln( V )+ N ^2*I( beta )/(2* V )betahKIZZ_KZ_Um&p_iN&q_iuUV


Equations

Examples

En el caso de la funci n partici n cl sica debemos contabilizar los estados y recordar que por la paradoja de Gibbs se debe incluir un factor N! por la indistingibilidad de las part culas.

Para facilitar la suma se puede pasar a una aproximaci n continua en que la suma se reduce a una integral en el espacio de fase. En dicho caso los vol menes d^3pd^3q deben ser normados con h^3 donde h es la constante de Planck.

Con ello la funci n partici n de un gas real cl sico no relativista se puede estimar con

Z=\displaystyle\frac{1}{N!}\int\displaystyle\frac{\prod_i^Nd^3p_i\prod_i^Nd^3q_i}{h^{3N}}e^{-\beta(K+U)}

(ID 3809)

El promedio de la energ a potencial entre dos part culas se puede calcular empleando la distribuci n can nica\\n\\n

\bar{u}=\displaystyle\frac{\displaystyle\int d^3q u(q)e^{-\beta u(q)}}{\displaystyle\int d^3q e^{-\beta u(q)}}

\\n\\nEsta expresi n tambi n se puede generar si se deriva el logaritmo de la integral sobre el exponencial de beta y la funci n potencial\\n\\n

\bar{u}=-\displaystyle\frac{\partial}{\partial\beta}\ln\int e^{-\beta u(q)}d^3q

\\n\\nSi escribimos\\n\\n

\displaystyle\int d^3q e^{-\beta u(q)}=\displaystyle\int [1+(e^{-\beta u(q)}-1)]d^3q=V+I(\beta)



con la funci n con

I(\beta)\equiv\displaystyle\int_0^{\infty}(e^{-\beta u(r)}-1)4\pi r^2dr

y V es el volumen.

(ID 3816)

La expresi n de la funci n partici n de la energ a cient fica\\n\\n

Z_K=\displaystyle\frac{1}{N!h^{3N}}\displaystyle\int\prod_i^Nd^3p_ie^{-\beta K}



se puede integrar en forma exacta obteni ndose con

Z_K =\displaystyle\frac{1}{ N !}\left(\displaystyle\frac{2 \pi m }{ h ^2 \beta }\right)^{3 N /2}

(ID 3811)

Si se supone que el potencial solo depende de la posici n la funci n partici n se puede separar en una parte propia de la energ a cin tica Z_K y en una propia de la energ a potencial Z_U.\\n\\n

Z=\displaystyle\frac{1}{N!h^{3N}}\int\prod_i^Nd^3p_ie^{-\beta K}\prod_i^Nd^3q_ie^{-\beta U}



La funci n partici n de N part culas de masa m para la energ a cin tica K es igual a aquella que se da si no existe interacci n entre las part culas por lo que se puede escribir con :

Z_K=\displaystyle\frac{1}{N!h^{3N}}\displaystyle\int\prod_i^Nd^3p_ie^{-\beta K}

(ID 3810)

Si se toma la relaci n con

\ln Z_U = N \ln V -\displaystyle\int_0^{ \beta } \bar{U}( \beta_h )d \beta_h



y se empela la relaci n con

\bar{U}=-\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\frac{N^2}{V}\displaystyle\frac{\partial I}{\partial\beta}



tras integrar se obtiene con

\ln Z_U = N \ln V +\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\frac{ N ^2}{ V } I( \beta )

(ID 3818)

Respecto de la energ a potencial U, la funci n partici n asociada a esta se puede describir mediante con

Z_U=\displaystyle\int\prod_i^Nd^3q_ie^{-\beta U}

donde se integran las posiciones \vec{q}_i sobre todo el volumen y \beta es el inverso de la constante de Boltzmann k y la temperatura absoluta T.

(ID 3812)

ID:(520, 0)