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Ejemplo de partículas libres
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Una vez que hemos establecido cómo contar estados y estimar probabilidades en situaciones de interés, podemos explorar cómo se comporta un sistema de muchas partículas libres.
ID:(435, 0)
Caso Mecánica Clásica
Definición
En la mecánica clásica, un sistema se describe mediante las coordenadas $q_1, q_2, \ldots, q_f$ y los momentos $p_1, p_2, \ldots, p_f$, donde $f$ representa el número de grados de libertad. El estado del sistema se representa como un punto en el espacio de fase, dado por $(q_1, q_2, \ldos, q_f, p_1, p_2, \ldos, p_f)$.
En el caso de un sistema compuesto por $N$ partículas libres, que se describen utilizando un total de $3N$ coordenadas, el número de grados de libertad se define como $f = 3N$.
ID:(524, 0)
Caso Mecánica Cuántica
Imagen
En la mecánica cuántica, el estado se describe mediante la función de onda $\psi$, que depende de las variables $q_1, q_2, \ldos, q_f$, donde $f$ representa el número de grados de libertad del sistema.
La función de onda es una solución, en el caso no relativista y para partículas sin espín, de la ecuación de Schrödinger. A las funciones de onda se les asocian valores propios que típicamente son números enteros. Estos números representan los posibles estados del sistema, los cuales están limitados por la energía del sistema.
ID:(523, 0)
Calculo del número de estados
Nota
En la mecánica clásica, un sistema se describe mediante las coordenadas $q_1, q_2, \ldots, q_f$ y los momentos $p_1, p_2, \ldots, p_f$, donde $f$ representa el número de grados de libertad. El estado del sistema se representa como un punto en el espacio de fase, dado por $(q_1, q_2, \ldots, q_f, p_1, p_2, \ldos, p_f)$.
En el caso de un sistema compuesto por $N$ partículas libres, que se describen utilizando un total de $3N$ coordenadas, el número de grados de libertad se define como $f = 3N$.
ID:(10580, 0)
Ejemplo de partículas libres
Descripción
Una vez que hemos establecido cómo contar estados y estimar probabilidades en situaciones de interés, podemos explorar cómo se comporta un sistema de muchas partículas libres.
Variables
Cálculos
a 
,
luego, seleccione la variable: 
a 
Cálculos
Variable
Dado
Calcule
Objetivo :
Ecuación
A utilizar
Ecuaciones
Ejemplos
Para poder calcular probabilidades debemos contabilizar las veces que una situaci n se da. En este caso podemos discretizar el espacio de fase en intervalos de largo
Cada una de estas celdas es de un 'volumen'
Por ello con se tiene que
| $\Delta p\Delta q \sim h$ |
Surge asi una red de puntos discretos en el espacio de fase. Cada sistema esta en un estado que corresponde a uno de estos puntos.
La probabilidad de que el sistema se encuentre en un punto en particular se determina contabilizando los sistemas del ensamble que cumplen esta condici n dividido por todos los posibles estados.
(ID 527)
En la mec nica cl sica, un sistema se describe mediante las coordenadas $q_1, q_2, \ldots, q_f$ y los momentos $p_1, p_2, \ldots, p_f$, donde $f$ representa el n mero de grados de libertad. El estado del sistema se representa como un punto en el espacio de fase, dado por $(q_1, q_2, \ldos, q_f, p_1, p_2, \ldos, p_f)$.
En el caso de un sistema compuesto por $N$ part culas libres, que se describen utilizando un total de $3N$ coordenadas, el n mero de grados de libertad se define como $f = 3N$.
(ID 524)
En la mec nica cu ntica, el estado se describe mediante la funci n de onda $\psi$, que depende de las variables $q_1, q_2, \ldos, q_f$, donde $f$ representa el n mero de grados de libertad del sistema.
La funci n de onda es una soluci n, en el caso no relativista y para part culas sin esp n, de la ecuaci n de Schr dinger. A las funciones de onda se les asocian valores propios que t picamente son n meros enteros. Estos n meros representan los posibles estados del sistema, los cuales est n limitados por la energ a del sistema.
(ID 523)
En el caso de part culas libres, no existe dependencia de la posici n, y al calcular el espacio de fase, es necesario realizar la suma o la integraci n sobre todas las posiciones.
Por lo tanto, utilizando la notaci n de , obtenemos:
| $V=\displaystyle\int_V d^3q$ |
(ID 522)
En la mec nica cl sica, un sistema se describe mediante las coordenadas $q_1, q_2, \ldots, q_f$ y los momentos $p_1, p_2, \ldots, p_f$, donde $f$ representa el n mero de grados de libertad. El estado del sistema se representa como un punto en el espacio de fase, dado por $(q_1, q_2, \ldots, q_f, p_1, p_2, \ldos, p_f)$.
En el caso de un sistema compuesto por $N$ part culas libres, que se describen utilizando un total de $3N$ coordenadas, el n mero de grados de libertad se define como $f = 3N$.
(ID 10580)
En el caso de $N$ part culas libres en la aproximaci n cl sica, debemos realizar una integraci n en el espacio de fase con la restricci n que describe el sistema.
Dado que se trata de un gas de part culas libres, la restricci n se limita nicamente a la energ a y no depende de la posici n. Por lo tanto, podemos expresar la energ a como:
$E=\displaystyle\frac{1}{2m}\displaystyle\sum_i^N\vec{p}_i^2$
Esta expresi n se puede simplificar usando notaci n matem tica como:
| $2mE=\displaystyle\sum_i^N\vec{p}_i^2$ |
Esta f rmula representa una "esfera de radio" de $\sqrt{2mE}$ en un "espacio de fase" de $3N$ dimensiones.
(ID 528)
La integral sobre el espacio de estados se calcula con posición $m$ y volumen $m^3$ mediante
| $V=\displaystyle\int_V d^3q$ |
con la condici n para la energ a que con energía del sistema $J$, masa de la partícula $kg$, momento de la i-esima partícula $J$ y numero de Partículas $-$ es
| $2mE=\displaystyle\sum_i^N\vec{p}_i^2$ |
\\n\\nse deja integrar en forma simple en las coordenadas espaciales. Cada integral es igual al volumen
$3N-1\sim 3N$
Por ello se puede estimar con energía del sistema $J$, masa de la partícula $kg$, momento de la i-esima partícula $J$ y numero de Partículas $-$
| $\Omega(E,N)=\Omega_0\left(\displaystyle\frac{V}{\Delta q^3}\right)^N\left(\displaystyle\frac{2mE}{\Delta p^2}\right)^{3N/2}$ |
(ID 3433)
En el calculo del n mero de estados se obtiene el n mero de estados con energía del sistema $J$, factor de normalización $-$, incerteza en el momento $kg m/s$, incerteza en la posición $m$, masa de la partícula $kg$, numero de estados para energía y partículas dadas $-$, numero de Partículas $-$ y volumen $m^3$ son
| $\Omega(E,N)=\Omega_0\left(\displaystyle\frac{V}{\Delta q^3}\right)^N\left(\displaystyle\frac{2mE}{\Delta p^2}\right)^{3N/2}$ |
Como el elemento de volumen del espacio de fase es con constante de Planck $J s$, incerteza en el momento $kg m/s$ y incerteza en la posición $m$ igual a
| $\Delta p\Delta q \sim h$ |
por lo que el n mero de estados se deja simplificar con constante de Planck $J s$, incerteza en el momento $kg m/s$ y incerteza en la posición $m$ a
| $ \Omega = \Omega_0 \left(\displaystyle\frac{2 m }{ h ^2}\right)^{3 N /2} V ^ N E ^{3N/2}$ |
(ID 4805)
ID:(435, 0)