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Estadística de Fotones

Storyboard

Un caso especial de la mecánica estadística de sistemas cuánticos es el de los fotones. A diferencia de otras partículas los fotones, que corresponde a bosones, se pueden crear aumentando la energía del sistema y no están limitados a un numero finito particulates. Por ello se les debe describir mediante la distribución canónica y no la gran canónica.

>Modelo

ID:(502, 0)

Bosones

Definición

Las partículas en mecánica cuántica tienen spin que puede tomar valores \pm n\hbar/2 donde \hbar es la constante de Planck y n es un numero entero.\\n\\nPartículas que tienen spin enteros se denominan Bosones. Se caracterizan porque las función de onda es simétrica, es decir es invariante ante la permutación entre dos partículas (posiciones y spin):\\n\\n

$\Psi(\ldots,q_i,\ldots,q_j,\ldots)=\Psi(\ldots,q_j,\ldots,q_i,\ldots)$

Bosones se describen por lo que se denomina estadísticas de Bose-Einstein.

ID:(704, 0)

Estadística de Fotones

Storyboard

Variables

Símbolo

Texto

Variable

Valor

Unidades

Calcule

Valor MKS

Unidades MKS

$k_i$

k_i

Componente

$i$ del vector de onda

1/m

$h$

Constante de Planck

J s

$\hbar$

hbar

Constante de Planck dividida por

$2\pi$

J s

$\epsilon(\nu)$

epsilon_nu

Densidad de energía en función de la frecuencia

1/m^3

$\epsilon(\omega)$

epsilon_omega

Densidad de energía en función de la frecuencia angular

1/m^3

$n(\omega)$

n_omega

Densidad de numero de estados en función de la frecuencia angular

1/m^3

$I(\nu)$

I_nu

Distribución de la intensidad de la luz en la frecuencia

W/m^2

$\epsilon_r$

epsilon_r

Energía del boson en el estado

$r$

$\epsilon$

epsilon

Energía del foton

$\epsilon_r$

epsilon_r

Energía del fotones en el estado

$r$

$\beta$

beta

Factor beta

1/J

$\nu$

Frecuencia

$\omega$

omega

Frecuencia angular

rad/s

$Z$

Función partición de los fotones

$Z_r$

Z_r

Función partición de los fotones en el estado r

$I$

Intensidad de la luz

W/m^2

$L$

Largo de la caja

$\ln Z_r$

ln Z_r

Logaritmo de la función partición de los fotones

$k$

Magnitud del vector de onda

1/m

$n$

Numero de estados

$n_r$

n_r

Numero de fotones en el estado

$r$

$n_i$

n_i

Numero de modos para la dirección

$i$

$\bar{n}_r$

mn_r

Numero medio de bosones en el estado

$r$

$\bar{n}_r$

mn_r

Numero medio de fermiones en el estado

$r$

$T$

Período

$c$

Velocidad de la luz

m/s

$V$

Volumen

m^3

Cálculos

Ecuación

Número

Primero, seleccione la ecuación:

, luego, seleccione la variable:

Símbolo

Ecuación

Resuelto

Traducido

Cálculos

Símbolo

Ecuación

Resuelto

Traducido

Variable

Dado

Calcule

Objetivo :

Ecuación

A utilizar

Ecuaciones

$Z =\displaystyle\frac{1}{1-e^{- \beta \epsilon_r }}$

Z =1/(1-exp(-beta * epsilon_r ))

$\bar{n}_r =\displaystyle\frac{1}{e^{ \beta \epsilon_r }-1}$

n_r =1/(exp( beta * e_r )-1)

$Z =\displaystyle\sum_{ n_r =0}^{\infty}e^{- \beta n_r \epsilon_r }$

Z =@SUM(exp(- beta * n_r * e_r , n_r , 0 , infty )

$\bar{n}_r =-\displaystyle\frac{1}{ \beta }\displaystyle\frac{\partial \ln Z_r }{\partial \epsilon_r }$

mn_r =-(1/ beta )*(d ln Z_r /d e_r )

$\epsilon(\omega) d\omega = \displaystyle\frac{ 4 \pi }{(2 \pi c )^3}\displaystyle\frac{ \hbar \omega ^3 d\omega }{ e^{ \beta \hbar \omega } - 1}$

epsilon(omega) * domega = 4* pi * hbar * omega ^3 * domega /((2* pi * c )^3 * (exp( beta * hbar * omega ) - 1))

$I(\nu) d\nu = \displaystyle\frac{ 2 h \nu ^3 }{ c ^2}\displaystyle\frac{ d\nu }{ e^{ \beta h \nu } - 1}$

I(nu) * dnu = 2* h * nu ^3 * dnu /( c ^2 * (exp( beta * h * nu ) - 1))

$k_i =\displaystyle\frac{2 \pi n_i }{ L }$

k_i = 2* pi * n_i / L_i

$d^3n =\displaystyle\frac{ V }{(2 \pi )^3} 4\pi k ^2 dk$

d^3n = V *4* pi * k ^2 * dk / (2* pi )^3

$\omega = c \mid\vec{k}\mid$

omega = c *| &k |

$n(\omega) d\omega = \displaystyle\frac{ 4 \pi }{(2 \pi c )^3}\displaystyle\frac{ \omega ^2 d\omega }{ e^{ \beta \hbar \omega } - 1}$

n(omega) * domega = 4* pi * omega ^2 * domega /((2* pi * c )^3 * (exp( beta * hbar * omega ) - 1))

$d^3n =\displaystyle\frac{ V }{(2 \pi c )^3} 4\pi \omega ^2 d\omega$

d^3n = V *4* pi * omega ^2 * domega / (2* pi * c )^3

$\epsilon = \hbar \omega$

epsilon = hbar * omega

$\epsilon(\nu) d\nu = \displaystyle\frac{ 2 h \nu ^3 }{ c ^3}\displaystyle\frac{ d\nu }{ e^{ \beta h \nu } - 1}$

epsilon(nu) * dnu = 2* h * nu ^3 * dnu /( c ^3 * (exp( beta * h * nu ) - 1))

$I = c \epsilon$

I = c * epsilon

$\omega = \displaystyle\frac{2 \pi }{ T }$

omega = 2* pi / T

Ejemplos

Bosones

Las part culas en mec nica cu ntica tienen spin que puede tomar valores \pm n\hbar/2 donde \hbar es la constante de Planck y n es un numero entero.\\n\\nPart culas que tienen spin enteros se denominan Bosones. Se caracterizan porque las funci n de onda es sim trica, es decir es invariante ante la permutaci n entre dos part culas (posiciones y spin):\\n\\n

$\Psi(\ldots,q_i,\ldots,q_j,\ldots)=\Psi(\ldots,q_j,\ldots,q_i,\ldots)$

Bosones se describen por lo que se denomina estad sticas de Bose-Einstein.

Funci n partici n para un numero indefinido de part culas

En el caso de los fot nes, estos corresponde a modos en una cavidad. Si el modo fundamental tiene una energ a \epsilon_r y su numero no esta limitado. Si existen n_r fot nes de dicha energ a, la energ a total ser \\n\\n

$E=n_r\epsilon_r$

Como el n mero de fot nes no es fijo, la funci n partici n con list=3527

equation=3527

debe considerar que existen todos los posibles estados n_r=0,1,2,\ldots por lo que se deben sumar las distintas alternativas con list

equation

Funci n partici n de fotones

La expresi n de la funci n partici n para fotones con list=9565

equation=9565

corresponde a suma es una serie geom trica, por lo que se obtiene con list

equation

Numero de fotones

El numero medio de part culas se puede calcular ponderando el numero n_r con la probabilidad de existencia de n_r part culas dado por la distribuci n can nica:\\n\\n

$e^{-\beta n_r\epsilon_r}$

\\n\\no sea que\\n\\n

$\bar{n_r}=\displaystyle\frac{\displaystyle\sum_{n_r}n_re^{-\beta n_r\epsilon_r}}{\displaystyle\sum_{n_r}e^{-\beta n_r\epsilon_r}}$

lo que con la funci n partici n es con list=9565 igual a

equation=9565

se puede escribir con list como

equation

Estad stica de fotones

Como funci n partici n de los fotones es con list=3668 igual a

equation=3668

y el numero medio se calcula mediante de fotones en el estado r es con list=9566

equation=9566

Calculando el n mero medio $\bar{n_r}$ se obtiene con list la llamada 'distribuci n de cuerpo negro':

equation

que corresponde a la distribuci n de Planck y describe el espectro de radiaciones.

Modos de fotones en una caja

Si se modelan los fotones como ondas estacionarias en una caja de largo L los largos de onda posibles son aquellos que son fracciones de esta\\n\\n

$\lambda =\displaystyle\frac{ L }{ n }$

donde n es un numero entero y se ala el estado. Por ello con list tenemos que vector de onda tiene que ser

equation

con i el eje correspondiente (x,y,z).

Numero de modos en funci n del vector de onda

Como los modos en una caja son con list=12126

equation=12126\\n\\nse tiene en una caja tridimensional que\\n\\n

$dn_x dn_y dn_z = 4 \pi n^2 dn =\displaystyle\frac{ L^3}{(2 \pi )^3} dk_x, dk_y, dk_z=\displaystyle\frac{ L^3}{(2 \pi )^3} 4\pi k^2 dk =\displaystyle\frac{ V }{(2 \pi )^3} 4\pi k^2 dk$

en donde se supone que L^3 es el volumen V. Por ello que con list es

equation

Frecuencia angular en funci n del vector de onda

La frecuencia angular de los fotones es proporcional al vector de onda siendo la constante de proporcionalidad la velocidad de la luz.

Con list es por ello

equation

Numero de modos en funci n de la frecuencia angular

El numero de modos en funci n del vector de onda es con list=12127 es

equation=12127

Con la relaci n entre la frecuencia angular y el vector de onda que con list=12128 es

equation=12128

con lo que se deduce que con list se tiene que el numero de modos en funci n de la frecuencia angular es

equation

Energ a del foton

La energ a del foton es proporcional a la frecuencia angular siendo la constante de proporcionalidad igual a la constante de Planck dividida por 2\pi.

Por ello con list es

equation

Densidad de la distribuci n de frecuencia angular

Como la energ a del foton definida con list=12131 como

equation=12131

y el numero de estados es con list=12130 igual a

equation=12130

por lo que la distribuci n con list=3669

equation=3669

por lo que si dividimos el resultado por el volumen obtenemos la densidad de la distribuci n que con list es por ello

equation

Espectro de cuerpo negro en funci n de la frecuencia angular

Como la energ a es con list=12131 igual a

equation=12131

y la distribuci n de modos con list=12129 es

equation=12129

por lo que la distribuci n de energ a es con list igual a

equation

Frecuencia angular

La frecuencia angular ( $\omega$ ) es con la período ( $T$ ) igual a

kyon

Espectro de cuerpo negro en funci n de la frecuencia

Con list=12124 el espectro del cuerpo negro en funci n de la frecuencia angular es

equation=12124

por lo que con list=12132 es

equation=12131

por lo que recordando que la constante de Planck es h = 2\pi\hbar el espectro del cuerpo negro con list igual a

equation

Intensidad de la luz

La intensidad de la luz es proporcional a la densidad de energ a siendo la constante de proporcionalidad igual a la velocidad de la luz.

Por ello con list la intensidad es igual a

equation

Intensidad del cuerpo negro

Con list=12134 la intensidad de la luz es

equation=12134

y como la densidad espectral es con list=12133

equation=12133

se tiene que la distribuci n de la intensidad es con list igual a

equation

Esta es la forma cl sica de la intensidad irradiada por un cuerpo negro y se cumple en buena medida por ejemplo por nuestro sol.

>Modelo

ID:(502, 0)