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Estadística de Fotones
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Un caso especial de la mecánica estadística de sistemas cuánticos es el de los fotones. A diferencia de otras partículas los fotones, que corresponde a bosones, se pueden crear aumentando la energía del sistema y no están limitados a un numero finito particulates. Por ello se les debe describir mediante la distribución canónica y no la gran canónica.

>Modelo

ID:(502, 0)


Bosones
Descripción

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Las partículas en mecánica cuántica tienen spin que puede tomar valores \pm n\hbar/2 donde \hbar es la constante de Planck y n es un numero entero.\\n\\nPartículas que tienen spin enteros se denominan Bosones. Se caracterizan porque las función de onda es simétrica, es decir es invariante ante la permutación entre dos partículas (posiciones y spin):\\n\\n

$\Psi(\ldots,q_i,\ldots,q_j,\ldots)=\Psi(\ldots,q_j,\ldots,q_i,\ldots)$

Bosones se describen por lo que se denomina estadísticas de Bose-Einstein.

ID:(704, 0)


Función partición para un numero indefinido de partículas
Ecuación

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En el caso de los fotónes, estos corresponde a modos en una cavidad. Si el modo fundamental tiene una energía \epsilon_r y su numero no esta limitado. Si existen n_r fotónes de dicha energía, la energía total será\\n\\n

$E=n_r\epsilon_r$



Como el número de fotónes no es fijo, la función partición con

$Z=\displaystyle\sum_Re^{-\beta E_R}$



debe considerar que existen todos los posibles estados n_r=0,1,2,\ldots por lo que se deben sumar las distintas alternativas con

$ Z =\displaystyle\sum_{ n_r =0}^{\infty}e^{- \beta n_r \epsilon_r }$

ID:(9565, 0)


Función partición de fotones
Ecuación

>Top, >Modelo


La expresión de la función partición para fotones con energía del fotones en el estado $r$ $J$, factor beta $1/J$, función partición de los fotones $-$ y numero de fotones en el estado $r$ $-$

$ Z =\displaystyle\sum_{ n_r =0}^{\infty}e^{- \beta n_r \epsilon_r }$



corresponde a suma es una serie geométrica, por lo que se obtiene con energía del fotones en el estado $r$ $J$, factor beta $1/J$, función partición de los fotones $-$ y numero de fotones en el estado $r$ $-$

$ Z =\displaystyle\frac{1}{1-e^{- \beta \epsilon_r }}$

ID:(3668, 0)


Numero de fotones
Ecuación

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El numero medio de partículas se puede calcular ponderando el numero n_r con la probabilidad de existencia de n_r partículas dado por la distribución canónica:\\n\\n

$e^{-\beta n_r\epsilon_r}$

\\n\\no sea que\\n\\n

$\bar{n_r}=\displaystyle\frac{\displaystyle\sum_{n_r}n_re^{-\beta n_r\epsilon_r}}{\displaystyle\sum_{n_r}e^{-\beta n_r\epsilon_r}}$



lo que con la función partición es con energía del fotones en el estado $r$ $J$, factor beta $1/J$, función partición de los fotones $-$ y numero de fotones en el estado $r$ $-$ igual a

$ Z =\displaystyle\sum_{ n_r =0}^{\infty}e^{- \beta n_r \epsilon_r }$



se puede escribir con energía del fotones en el estado $r$ $J$, factor beta $1/J$, función partición de los fotones $-$ y numero de fotones en el estado $r$ $-$ como

$ \bar{n}_r =-\displaystyle\frac{1}{ \beta }\displaystyle\frac{\partial \ln Z_r }{\partial \epsilon_r }$

ID:(9566, 0)


Estadística de fotones
Ecuación

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Como función partición de los fotones es con energía del boson en el estado $r$ $J$, factor beta $1/J$ y función partición de los fotones en el estado r $-$ igual a

$ Z =\displaystyle\frac{1}{1-e^{- \beta \epsilon_r }}$



y el numero medio se calcula mediante de fotones en el estado r es con energía del fotones en el estado $r$ $J$, factor beta $1/J$, logaritmo de la función partición de los fotones $-$ y numero medio de fermiones en el estado $r$ $-$

$ \bar{n}_r =-\displaystyle\frac{1}{ \beta }\displaystyle\frac{\partial \ln Z_r }{\partial \epsilon_r }$



Calculando el número medio $\bar{n_r}$ se obtiene con energía del fotones en el estado $r$ $J$, factor beta $1/J$, logaritmo de la función partición de los fotones $-$ y numero medio de fermiones en el estado $r$ $-$ la llamada 'distribución de cuerpo negro':

$ \bar{n}_r =\displaystyle\frac{1}{e^{ \beta \epsilon_r }-1}$

que corresponde a la distribución de Planck y describe el espectro de radiaciones.

ID:(3669, 0)


Modos de fotones en una caja
Ecuación

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Si se modelan los fotones como ondas estacionarias en una caja de largo L los largos de onda posibles son aquellos que son fracciones de esta\\n\\n

$\lambda =\displaystyle\frac{ L }{ n }$



donde n es un numero entero y señala el estado. Por ello con tenemos que vector de onda tiene que ser

$ k_i =\displaystyle\frac{2 \pi n_i }{ L }$

con i el eje correspondiente (x,y,z).

ID:(12126, 0)


Numero de modos en función del vector de onda
Ecuación

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Como los modos en una caja son con componente $i$ del vector de onda $1/m$, largo de la caja $m$, numero de modos para la dirección $i$ $-$ y pi $rad$

$ k_i =\displaystyle\frac{2 \pi n_i }{ L }$

\\n\\nse tiene en una caja tridimensional que\\n\\n

$ dn_x dn_y dn_z = 4 \pi n^2 dn =\displaystyle\frac{ L^3}{(2 \pi )^3} dk_x, dk_y, dk_z=\displaystyle\frac{ L^3}{(2 \pi )^3} 4\pi k^2 dk =\displaystyle\frac{ V }{(2 \pi )^3} 4\pi k^2 dk$



en donde se supone que L^3 es el volumen V. Por ello que con componente $i$ del vector de onda $1/m$, largo de la caja $m$, numero de modos para la dirección $i$ $-$ y pi $rad$ es

$ d^3n =\displaystyle\frac{ V }{(2 \pi )^3} 4\pi k ^2 dk $

ID:(12127, 0)


Frecuencia angular en función del vector de onda
Ecuación

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La frecuencia angular de los fotones es proporcional al vector de onda siendo la constante de proporcionalidad la velocidad de la luz.

Con es por ello

$ \omega = c \mid\vec{k}\mid$

ID:(12128, 0)


Numero de modos en función de la frecuencia angular
Ecuación

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El numero de modos en función del vector de onda es con magnitud del vector de onda $1/m$, numero de estados $-$, pi $rad$ y volumen $m^3$ es

$ d^3n =\displaystyle\frac{ V }{(2 \pi )^3} 4\pi k ^2 dk $



Con la relación entre la frecuencia angular y el vector de onda que con frecuencia angular $rad/s$, magnitud del vector de onda $1/m$ y velocidad de la luz $m/s$ es

$ \omega = c \mid\vec{k}\mid$



con lo que se deduce que con frecuencia angular $rad/s$, magnitud del vector de onda $1/m$ y velocidad de la luz $m/s$ se tiene que el numero de modos en función de la frecuencia angular es

$ d^3n =\displaystyle\frac{ V }{(2 \pi c )^3} 4\pi \omega ^2 d\omega $

ID:(12130, 0)


Energía del foton
Ecuación

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La energía del foton es proporcional a la frecuencia angular siendo la constante de proporcionalidad igual a la constante de Planck dividida por 2\pi.

Por ello con es

$ \epsilon = \hbar \omega $

ID:(12131, 0)


Densidad de la distribución de frecuencia angular
Ecuación

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Como la energía del foton definida con constante de Planck dividida por $2\pi$ $J s$, energía del foton $J$ y frecuencia angular $rad/s$ como

$ \epsilon = \hbar \omega $



y el numero de estados es con frecuencia angular $rad/s$, numero de estados $-$, pi $rad$, velocidad de la luz $m/s$ y volumen $m^3$ igual a

$ d^3n =\displaystyle\frac{ V }{(2 \pi c )^3} 4\pi \omega ^2 d\omega $



por lo que la distribución con energía del boson en el estado $r$ $J$, factor beta $1/J$ y numero medio de bosones en el estado $r$ $-$

$ \bar{n}_r =\displaystyle\frac{1}{e^{ \beta \epsilon_r }-1}$



por lo que si dividimos el resultado por el volumen obtenemos la densidad de la distribución que con energía del boson en el estado $r$ $J$, factor beta $1/J$ y numero medio de bosones en el estado $r$ $-$ es por ello

$ n(\omega) d\omega = \displaystyle\frac{ 4 \pi }{(2 \pi c )^3}\displaystyle\frac{ \omega ^2 d\omega }{ e^{ \beta \hbar \omega } - 1}$

ID:(12129, 0)


Espectro de cuerpo negro en función de la frecuencia angular
Ecuación

>Top, >Modelo


Como la energía es con constante de Planck dividida por $2\pi$ $J s$, energía del foton $J$ y frecuencia angular $rad/s$ igual a

$ \epsilon = \hbar \omega $



y la distribución de modos con constante de Planck dividida por $2\pi$ $J s$, densidad de numero de estados en función de la frecuencia angular $1/m^3$, factor beta $1/J$, frecuencia angular $rad/s$, pi $rad$ y velocidad de la luz $m/s$ es

$ n(\omega) d\omega = \displaystyle\frac{ 4 \pi }{(2 \pi c )^3}\displaystyle\frac{ \omega ^2 d\omega }{ e^{ \beta \hbar \omega } - 1}$



por lo que la distribución de energía es con constante de Planck dividida por $2\pi$ $J s$, densidad de numero de estados en función de la frecuencia angular $1/m^3$, factor beta $1/J$, frecuencia angular $rad/s$, pi $rad$ y velocidad de la luz $m/s$ igual a

$ \epsilon(\omega) d\omega = \displaystyle\frac{ 4 \pi }{(2 \pi c )^3}\displaystyle\frac{ \hbar \omega ^3 d\omega }{ e^{ \beta \hbar \omega } - 1}$

ID:(12124, 0)


Frecuencia angular
Ecuación

>Top, >Modelo


Si se recuerda que la velocidad angular era el angulo recorrido en el tiempo se puede ver que la expresión\\n\\n

$\displaystyle\frac{2\pi}{T}$



corresponde a una vuelta completa (2\pi) dividido por el periodo que es el tiempo que se requiere para un ciclo. Por ello se define la frecuencia angular con como

$ \omega = \displaystyle\frac{2 \pi }{ T }$

$\omega$
Frecuencia angular
$rad/s$
$T$
Período
$s$
$\pi$
Pi
3.1415927
$rad$

ID:(12335, 0)


Espectro de cuerpo negro en función de la frecuencia
Ecuación

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Con constante de Planck dividida por $2\pi$ $J s$, densidad de energía en función de la frecuencia angular $1/m^3$, factor beta $1/J$, frecuencia angular $rad/s$, pi $rad$ y velocidad de la luz $m/s$ el espectro del cuerpo negro en función de la frecuencia angular es

$ \epsilon(\omega) d\omega = \displaystyle\frac{ 4 \pi }{(2 \pi c )^3}\displaystyle\frac{ \hbar \omega ^3 d\omega }{ e^{ \beta \hbar \omega } - 1}$



por lo que con es

$ \epsilon = \hbar \omega $



por lo que recordando que la constante de Planck es h = 2\pi\hbar el espectro del cuerpo negro con constante de Planck dividida por $2\pi$ $J s$, densidad de energía en función de la frecuencia angular $1/m^3$, factor beta $1/J$, frecuencia angular $rad/s$, pi $rad$ y velocidad de la luz $m/s$ igual a

$ \epsilon(\nu) d\nu = \displaystyle\frac{ 2 h \nu ^3 }{ c ^3}\displaystyle\frac{ d\nu }{ e^{ \beta h \nu } - 1}$

ID:(12133, 0)


Intensidad de la luz
Ecuación

>Top, >Modelo


La intensidad de la luz es proporcional a la densidad de energía siendo la constante de proporcionalidad igual a la velocidad de la luz.

Por ello con la intensidad es igual a

$ I = c \epsilon $

ID:(12134, 0)


Intensidad del cuerpo negro
Ecuación

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Con energía del foton $J$, intensidad de la luz $W/m^2$ y velocidad de la luz $m/s$ la intensidad de la luz es

$ I = c \epsilon $



y como la densidad espectral es con constante de Planck $J s$, densidad de energía en función de la frecuencia $1/m^3$, factor beta $1/J$, frecuencia $Hz$ y velocidad de la luz $m/s$

$ \epsilon(\nu) d\nu = \displaystyle\frac{ 2 h \nu ^3 }{ c ^3}\displaystyle\frac{ d\nu }{ e^{ \beta h \nu } - 1}$



se tiene que la distribución de la intensidad es con constante de Planck $J s$, densidad de energía en función de la frecuencia $1/m^3$, factor beta $1/J$, frecuencia $Hz$ y velocidad de la luz $m/s$ igual a

$ I(\nu) d\nu = \displaystyle\frac{ 2 h \nu ^3 }{ c ^2}\displaystyle\frac{ d\nu }{ e^{ \beta h \nu } - 1}$

Esta es la forma clásica de la intensidad irradiada por un cuerpo negro y se cumple en buena medida por ejemplo por nuestro sol.

ID:(12125, 0)


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