Benützer:
Bosonen
Definition 
Las partículas en mecánica cuántica tienen spin que puede tomar valores
$\Psi(\ldots,q_i,\ldots,q_j,\ldots)=\Psi(\ldots,q_j,\ldots,q_i,\ldots)$
Bosones se describen por lo que se denomina estadísticas de Bose-Einstein.
ID:(704, 0)
Estadística de Fotones
Beschreibung
Variablen
Berechnungen
zu 
,
dann die Variable auswählen: 
zu 
Berechnungen
Variable
Gegeben
Berechnen
Ziel :
Gleichung
Zu verwenden
Gleichungen
(ID 12134)
Beispiele
Las part culas en mec nica cu ntica tienen spin que puede tomar valores
$\Psi(\ldots,q_i,\ldots,q_j,\ldots)=\Psi(\ldots,q_j,\ldots,q_i,\ldots)$
Bosones se describen por lo que se denomina estad sticas de Bose-Einstein.
(ID 704)
En el caso de los fot nes, estos corresponde a modos en una cavidad. Si el modo fundamental tiene una energ a
$E=n_r\epsilon_r$
Como el n mero de fot nes no es fijo, la funci n partici n con
| $Z=\displaystyle\sum_Re^{-\beta E_R}$ |
debe considerar que existen todos los posibles estados
| $ Z =\displaystyle\sum_{ n_r =0}^{\infty}e^{- \beta n_r \epsilon_r }$ |
(ID 9565)
La expresi n de la funci n partici n para fotones con energía del fotones en el estado $r$ $J$, factor beta $1/J$, función partición de los fotones $-$ und numero de fotones en el estado $r$ $-$
| $ Z =\displaystyle\sum_{ n_r =0}^{\infty}e^{- \beta n_r \epsilon_r }$ |
corresponde a suma es una serie geom trica, por lo que se obtiene con energía del fotones en el estado $r$ $J$, factor beta $1/J$, función partición de los fotones $-$ und numero de fotones en el estado $r$ $-$
| $ Z =\displaystyle\frac{1}{1-e^{- \beta \epsilon_r }}$ |
(ID 3668)
El numero medio de part culas se puede calcular ponderando el numero
$e^{-\beta n_r\epsilon_r}$
\\n\\no sea que\\n\\n
$\bar{n_r}=\displaystyle\frac{\displaystyle\sum_{n_r}n_re^{-\beta n_r\epsilon_r}}{\displaystyle\sum_{n_r}e^{-\beta n_r\epsilon_r}}$
lo que con la funci n partici n es con energía del fotones en el estado $r$ $J$, factor beta $1/J$, función partición de los fotones $-$ und numero de fotones en el estado $r$ $-$ igual a
| $ Z =\displaystyle\sum_{ n_r =0}^{\infty}e^{- \beta n_r \epsilon_r }$ |
se puede escribir con energía del fotones en el estado $r$ $J$, factor beta $1/J$, función partición de los fotones $-$ und numero de fotones en el estado $r$ $-$ como
| $ \bar{n}_r =-\displaystyle\frac{1}{ \beta }\displaystyle\frac{\partial \ln Z_r }{\partial \epsilon_r }$ |
(ID 9566)
Como funci n partici n de los fotones es con energía del boson en el estado $r$ $J$, factor beta $1/J$ und función partición de los fotones en el estado r $-$ igual a
| $ Z =\displaystyle\frac{1}{1-e^{- \beta \epsilon_r }}$ |
y el numero medio se calcula mediante de fotones en el estado
| $ \bar{n}_r =-\displaystyle\frac{1}{ \beta }\displaystyle\frac{\partial \ln Z_r }{\partial \epsilon_r }$ |
Calculando el n mero medio $\bar{n_r}$ se obtiene con energía del fotones en el estado $r$ $J$, factor beta $1/J$, logaritmo de la función partición de los fotones $-$ und numero medio de fermiones en el estado $r$ $-$ la llamada 'distribuci n de cuerpo negro':
| $ \bar{n}_r =\displaystyle\frac{1}{e^{ \beta \epsilon_r }-1}$ |
que corresponde a la distribuci n de Planck y describe el espectro de radiaciones.
(ID 3669)
Si se modelan los fotones como ondas estacionarias en una caja de largo
$\lambda =\displaystyle\frac{ L }{ n }$
donde
| $ k_i =\displaystyle\frac{2 \pi n_i }{ L }$ |
con
(ID 12126)
Como los modos en una caja son con componente $i$ del vector de onda $1/m$, largo de la caja $m$ und numero de modos para la dirección $i$ $-$
| $ k_i =\displaystyle\frac{2 \pi n_i }{ L }$ |
\\n\\nse tiene en una caja tridimensional que\\n\\n
$ dn_x dn_y dn_z = 4 \pi n^2 dn =\displaystyle\frac{ L^3}{(2 \pi )^3} dk_x, dk_y, dk_z=\displaystyle\frac{ L^3}{(2 \pi )^3} 4\pi k^2 dk =\displaystyle\frac{ V }{(2 \pi )^3} 4\pi k^2 dk$
en donde se supone que
| $ d^3n =\displaystyle\frac{ V }{(2 \pi )^3} 4\pi k ^2 dk $ |
(ID 12127)
La frecuencia angular de los fotones es proporcional al vector de onda siendo la constante de proporcionalidad la velocidad de la luz.
Con es por ello
| $ \omega = c \mid\vec{k}\mid$ |
(ID 12128)
El numero de modos en funci n del vector de onda es con magnitud del vector de onda $1/m$, numero de estados $-$ und volumen $m^3$ es
| $ d^3n =\displaystyle\frac{ V }{(2 \pi )^3} 4\pi k ^2 dk $ |
Con la relaci n entre la frecuencia angular y el vector de onda que con magnitud del vector de onda $1/m$, velocidad de la luz $m/s$ und winkelfrequenz $rad/s$ es
| $ \omega = c \mid\vec{k}\mid$ |
con lo que se deduce que con magnitud del vector de onda $1/m$, velocidad de la luz $m/s$ und winkelfrequenz $rad/s$ se tiene que el numero de modos en funci n de la frecuencia angular es
| $ d^3n =\displaystyle\frac{ V }{(2 \pi c )^3} 4\pi \omega ^2 d\omega $ |
(ID 12130)
La energ a del foton es proporcional a la frecuencia angular siendo la constante de proporcionalidad igual a la constante de Planck dividida por
Por ello con es
| $ \epsilon = \hbar \omega $ |
(ID 12131)
Como la energ a del foton definida con constante de Planck dividida por $2\pi$ $J s$, energía del foton $J$ und winkelfrequenz $rad/s$ como
| $ \epsilon = \hbar \omega $ |
y el numero de estados es con numero de estados $-$, velocidad de la luz $m/s$, volumen $m^3$ und winkelfrequenz $rad/s$ igual a
| $ d^3n =\displaystyle\frac{ V }{(2 \pi c )^3} 4\pi \omega ^2 d\omega $ |
por lo que la distribuci n con energía del boson en el estado $r$ $J$, factor beta $1/J$ und numero medio de bosones en el estado $r$ $-$
| $ \bar{n}_r =\displaystyle\frac{1}{e^{ \beta \epsilon_r }-1}$ |
por lo que si dividimos el resultado por el volumen obtenemos la densidad de la distribuci n que con energía del boson en el estado $r$ $J$, factor beta $1/J$ und numero medio de bosones en el estado $r$ $-$ es por ello
| $ n(\omega) d\omega = \displaystyle\frac{ 4 \pi }{(2 \pi c )^3}\displaystyle\frac{ \omega ^2 d\omega }{ e^{ \beta \hbar \omega } - 1}$ |
(ID 12129)
Como la energ a es con constante de Planck dividida por $2\pi$ $J s$, energía del foton $J$ und winkelfrequenz $rad/s$ igual a
| $ \epsilon = \hbar \omega $ |
y la distribuci n de modos con constante de Planck dividida por $2\pi$ $J s$, densidad de numero de estados en función de la frecuencia angular $1/m^3$, factor beta $1/J$, velocidad de la luz $m/s$ und winkelfrequenz $rad/s$ es
| $ n(\omega) d\omega = \displaystyle\frac{ 4 \pi }{(2 \pi c )^3}\displaystyle\frac{ \omega ^2 d\omega }{ e^{ \beta \hbar \omega } - 1}$ |
por lo que la distribuci n de energ a es con constante de Planck dividida por $2\pi$ $J s$, densidad de numero de estados en función de la frecuencia angular $1/m^3$, factor beta $1/J$, velocidad de la luz $m/s$ und winkelfrequenz $rad/s$ igual a
| $ \epsilon(\omega) d\omega = \displaystyle\frac{ 4 \pi }{(2 \pi c )^3}\displaystyle\frac{ \hbar \omega ^3 d\omega }{ e^{ \beta \hbar \omega } - 1}$ |
(ID 12124)
Die Winkelfrequenz ($\omega$) ist mit die Zeit ($T$) gleich
| $ \omega = \displaystyle\frac{2 \pi }{ T }$ |
(ID 12335)
Con constante de Planck dividida por $2\pi$ $J s$, densidad de energía en función de la frecuencia angular $1/m^3$, factor beta $1/J$, velocidad de la luz $m/s$ und winkelfrequenz $rad/s$ el espectro del cuerpo negro en funci n de la frecuencia angular es
| $ \epsilon(\omega) d\omega = \displaystyle\frac{ 4 \pi }{(2 \pi c )^3}\displaystyle\frac{ \hbar \omega ^3 d\omega }{ e^{ \beta \hbar \omega } - 1}$ |
por lo que con es
| $ \epsilon = \hbar \omega $ |
por lo que recordando que la constante de Planck es
| $ \epsilon(\nu) d\nu = \displaystyle\frac{ 2 h \nu ^3 }{ c ^3}\displaystyle\frac{ d\nu }{ e^{ \beta h \nu } - 1}$ |
(ID 12133)
La intensidad de la luz es proporcional a la densidad de energ a siendo la constante de proporcionalidad igual a la velocidad de la luz.
Por ello con la intensidad es igual a
| $ I = c \epsilon $ |
(ID 12134)
Con energía del foton $J$, intensidad de la luz $W/m^2$ und velocidad de la luz $m/s$ la intensidad de la luz es
| $ I = c \epsilon $ |
y como la densidad espectral es con constante de Planck $J s$, densidad de energía en función de la frecuencia $1/m^3$, factor beta $1/J$, frecuencia $Hz$ und velocidad de la luz $m/s$
| $ \epsilon(\nu) d\nu = \displaystyle\frac{ 2 h \nu ^3 }{ c ^3}\displaystyle\frac{ d\nu }{ e^{ \beta h \nu } - 1}$ |
se tiene que la distribuci n de la intensidad es con constante de Planck $J s$, densidad de energía en función de la frecuencia $1/m^3$, factor beta $1/J$, frecuencia $Hz$ und velocidad de la luz $m/s$ igual a
| $ I(\nu) d\nu = \displaystyle\frac{ 2 h \nu ^3 }{ c ^2}\displaystyle\frac{ d\nu }{ e^{ \beta h \nu } - 1}$ |
Esta es la forma cl sica de la intensidad irradiada por un cuerpo negro y se cumple en buena medida por ejemplo por nuestro sol.
(ID 12125)
ID:(502, 0)