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Calculo Microscópico

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En base a las funciones partición es posible calcular las propiedades macroscopicas que describen a los sistemas desde los modelos microscópicos.

>Modelo

ID:(176, 0)

Calculo Microscópico

Descripción

En base a las funciones partición es posible calcular las propiedades macroscopicas que describen a los sistemas desde los modelos microscópicos.

Variables

Símbolo

Texto

Variable

Valor

Unidades

Calcule

Valor MKS

Unidades MKS

$\beta$

beta

Beta

1/J

$C_p$

C_p

Capacidad calorica a presión constante

J/K

$C_V$

C_V

Capacidad calorica a volumen constante

J/K

$k_p$

k_p

Compresibilidad isotermica

1/Pa

$k_B$

k_B

Constante de Boltzmann

J/K

$B$

Constante de normalización

$k_T$

k_T

Dilatación térmica

1/K

$E$

Energía del sistema

$U$

Energía interna

$Z$

Función partición

$m$

Masa de la partícula

$\Omega$

Omega

Numero de estados

$N$

Numero de partículas

$p$

Presión

$T$

Temperatura

$V$

Volumen

m^3

Cálculos

Ecuación

Número

Primero, seleccione la ecuación:

, luego, seleccione la variable:

Símbolo

Ecuación

Resuelto

Traducido

Cálculos

Símbolo

Ecuación

Resuelto

Traducido

Variable

Dado

Calcule

Objetivo :

Ecuación

A utilizar

Ecuaciones

$\displaystyle\frac{ \partial }{ \partial T }=- k_B \beta ^2\displaystyle\frac{ \partial }{ \partial \beta }$

d / dT =- k_B * beta ^2* d / dbeta

(ID 1385)

$\ln \Omega = \beta E +\ln Z$

ln( Omega ) = beta * E + ln( Z )

(ID 3608)

$\Omega = B V ^ N E ^{3 N /2}$

Omega = B * V ^ N * E ^(3* N /2)

(ID 3609)

$\ln( Z ) =\ln( B V ^ N E ^{3 N /2})- \beta E$

ln( Z ) = ln( B * V ^ N * E ^(3* N /2) ) - beta * E

(ID 3610)

$U = E$

U = E

(ID 3611)

$p =\displaystyle\frac{ N k_B T }{ V }$

p = N * k_B * T / V

(ID 3614)

$U =\displaystyle\frac{3}{2} N k_B T$

U =3* N * k_B * T / 2

(ID 3615)

$C_V = k_B \beta ^2\displaystyle\frac{\partial^2\ln Z }{\partial \beta ^2}$

C_V = k_B * beta ^2* d2Z / dbeta2

(ID 4760)

$\displaystyle\frac{1}{ k_p }=-\displaystyle\frac{ V }{ \beta }\frac{\partial^2\ln Z }{\partial V ^2}$

k_p =-1/( V *@DIFF( ln( Z ), V , 2 ) / beta )

(ID 4761)

$k_T = k_p k_B \left(\beta\displaystyle\frac{\partial^2\ln Z }{\partial \beta \partial V }-\displaystyle\frac{\partial \ln Z }{ \partial V }\right)$

k_T = k_p * k_B *(beta *diff(ln( Z ), V ,2) - diff(ln( Z ), V ))

(ID 4764)

$C_p = k_B \beta ^2\displaystyle\frac{ \partial^2 \ln Z }{ \partial \beta ^2}+ k_B V \left(\displaystyle\frac{\partial \ln Z }{ \partial V }-\beta \displaystyle\frac{\partial^2 \ln Z }{\partial \beta \partial V }\right)$

C_p = k_B *beta ^2*diff( ln( Z ), beta ,2)+ k_B * V *(diff(ln( Z ), V )- beta *diff(diff(ln( Z ), beta ), V ))

(ID 4765)

$Z = B V ^ N \left(\displaystyle\frac{2 \pi m }{ \beta }\right)^{3 N /2}$

Z = B * V ^ N *(2* pi * m / beta )^3* N /2

(ID 7971)

Ejemplos

N mero de estados de un gas ideal

Para el calculo del numero de estados se integraba sobre el espacio de fase en el volumen y en el momento para las N part culas.\\n\\n

$\Omega(E,V)=\displaystyle\int_V\prod_id^3q_i\int\prod_id^3p_i$

\\n\\nDe la integral de las posiciones se obtiene el volumen V para cada part cula y V^N para el sistema. En el caso de la integral sobre el momento se debe considerar que la suma de todos los cuadrados de los momentos debe ser igual a 2mE\\n\\n

$\sum_i\vec{p}_i^2=2mE$

Como esto corresponde a una esfera en el espacio 3N dimensional la integral en el momento es igual al radio \sqrt{2mE} elevado a 3N-1\sim 3N por lo que el n mero de estados es con

$\Omega = B V ^ N E ^{3 N /2}$

con B una constante propia de conversi n de pasar de contar estados discretos a la aproximaci n continua.

(ID 3609)

N mero de estados en relaci n a la funci n partici n

Como la entrop a es proporcional al logaritmo del numero de estados con

$S \equiv k_B \ln \Omega$

y su relaci n con la funci n partici n es con

$S = k_B ( \ln Z + \beta U )$

se tiene la relaci n entre n mero de estados \Omega y funci n partici n Z con

$\ln \Omega = \beta E +\ln Z$

(ID 3608)

Funci n partici n de un gas ideal por n mero de estados

Con la relaci n entre numero de estados y funci n partici n con beta $1/J$ , energía del sistema $J$ , función partición $-$ y numero de estados $-$ es

$\ln \Omega = \beta E +\ln Z$

y la expresi n para el numero de estados del gas ideal con constante de normalización $-$ , energía del sistema $J$ , numero de estados $-$ , numero de partículas $-$ y volumen $m^3$

$\Omega = B V ^ N E ^{3 N /2}$

se obtiene la expresi n pata la funci n partici n con constante de normalización $-$ , energía del sistema $J$ , numero de estados $-$ , numero de partículas $-$ y volumen $m^3$

$\ln( Z ) =\ln( B V ^ N E ^{3 N /2})- \beta E$

(ID 3610)

Funci n partici n de un gas ideal mediante integraci n

Si se busca calcular la funci n de partici n de un gas ideal se debe realizar la integraci n del exponencial de menos beta por la energ as sobre el espacio de fase:\\n\\n

$Z(T,V)=\displaystyle\int\prod_id^3q_i\int\prod_id^3p_i e^{-\beta\sum_ip_i^2/2m}$

\\n\\nLa integral de la posici n da el volumen mientras que la integral sobre la gaussiana da\\n\\n

$\displaystyle\int d^3p_i e^{-\beta p_i^2/2m}=\left(\displaystyle\frac{2\pi m}{\beta}\right)^{3/2}$

Con ello la funci n partici n del gas ideal resulta con

$Z = B V ^ N \left(\displaystyle\frac{2 \pi m }{ \beta }\right)^{3 N /2}$

con B una constante propia de conversi n de pasar de contar estados discretos a la aproximaci n continua.

(ID 7971)

Relaci n energ a de part cula y energ a interna

La energ a interna en funci n de la funci n partici n es con

$U=-\displaystyle\frac{\partial\ln Z}{\partial\beta}$

y como la funci n partici n es con beta $1/J$ , constante de normalización $-$ , energía del sistema $J$ , función partición $-$ , numero de partículas $-$ y volumen $m^3$

$\ln( Z ) =\ln( B V ^ N E ^{3 N /2})- \beta E$

se tiene que la energ a interna es con beta $1/J$ , constante de normalización $-$ , energía del sistema $J$ , función partición $-$ , numero de partículas $-$ y volumen $m^3$ igual a la energ a del sistema:

$U = E$

(ID 3611)

Energ a interna de un gas ideal

Como la funci n partici n de un gas ideal con beta $1/J$ , constante de normalización $-$ , función partición $-$ , masa de la partícula $kg$ , numero de partículas $-$ y volumen $m^3$ es igual a

$Z = B V ^ N \left(\displaystyle\frac{2 \pi m }{ \beta }\right)^{3 N /2}$

por lo que la energ a interna, que se calcula con

$U=-\displaystyle\frac{\partial\ln Z}{\partial\beta}$

resulta con :

$U =\displaystyle\frac{3}{2} N k_B T$

(ID 3615)

Presi n de un gas ideal

Como la presi n en funci n de la funci n partici n con es igual a

$\bar{p}=\displaystyle\frac{1}{\beta}\displaystyle\frac{\partial\ln Z}{\partial V}$

donde V es el volumen, Z es la funci n partici n y \beta es el inverso de la constante de Boltzman k y la temperatura T.

Como la funci n partici n de un gas ideal es con beta $1/J$ , constante de normalización $-$ , función partición $-$ , masa de la partícula $kg$ , numero de partículas $-$ y volumen $m^3$

$Z = B V ^ N \left(\displaystyle\frac{2 \pi m }{ \beta }\right)^{3 N /2}$

se tiene que la presi n es con beta $1/J$ , constante de normalización $-$ , función partición $-$ , masa de la partícula $kg$ , numero de partículas $-$ y volumen $m^3$

$p =\displaystyle\frac{ N k_B T }{ V }$

que corresponde a la ecuaci n de los gases ideales.

(ID 3614)

Regla de derivaci n

En la mec nica estad stica es frecuente de que se tenga que drivar respecto a la temperatura T una funci n que se ha expresado en funci n de \beta con

$k_B T \equiv\displaystyle\frac{1}{ \beta }$

\\n\\nComo\\n\\n

$\displaystyle\frac{\partial}{\partial T}=\displaystyle\frac{\partial\beta}{\partial T}\displaystyle\frac{\partial}{\partial\beta}=-k\beta^2\displaystyle\frac{\partial}{\partial\beta}$

se tiene que con

$\displaystyle\frac{ \partial }{ \partial T }=- k_B \beta ^2\displaystyle\frac{ \partial }{ \partial \beta }$

(ID 1385)

Capacidad cal rica a volumen constante

Como la capacidad cal rica a volumen constante se define con como

$C_V = \left(\displaystyle\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V$

y la energ a interna U es con

$U=-\displaystyle\frac{\partial\ln Z}{\partial\beta}$

con beta $1/J$ , constante de Boltzmann $J/K$ y temperatura $K$

$\displaystyle\frac{ \partial }{ \partial T }=- k_B \beta ^2\displaystyle\frac{ \partial }{ \partial \beta }$

se tiene que beta $1/J$ , constante de Boltzmann $J/K$ y temperatura $K$

$C_V = k_B \beta ^2\displaystyle\frac{\partial^2\ln Z }{\partial \beta ^2}$

(ID 4760)

Compresibilidad y la funci n partici n

Como la compresibilidad es con igual a

$\kappa \equiv-\displaystyle\frac{1}{ V }\left(\displaystyle\frac{\partial V }{\partial p }\right)_ T$

y la presi n se calcula de la funci n partici n con mediante

$\bar{p}=\displaystyle\frac{1}{\beta}\displaystyle\frac{\partial\ln Z}{\partial V}$

se tiene que la compresibilidad es con igual a

$\displaystyle\frac{1}{ k_p }=-\displaystyle\frac{ V }{ \beta }\frac{\partial^2\ln Z }{\partial V ^2}$

(ID 4761)

Dilataci n termica y la funci n partici n

Con la definici n de la dilataci n t rmica con

$k_T \equiv \displaystyle\frac{1}{ V } \left(\displaystyle\frac{\partial V }{\partial T }\right)_ p$

Para calcular la variaci n de la presi n con el volumen se puede empelar la compresibilidad que con es

$\kappa \equiv-\displaystyle\frac{1}{ V }\left(\displaystyle\frac{\partial V }{\partial p }\right)_ T$

se puede escribir con beta $1/J$ , constante de Boltzmann $J/K$ y temperatura $K$

$\displaystyle\frac{ \partial }{ \partial T }=- k_B \beta ^2\displaystyle\frac{ \partial }{ \partial \beta }$

\\n\\ncomo\\n\\n

$k_T=\displaystyle\frac{1}{V}\left(\displaystyle\frac{\partial V}{\partial T}\right)_T=\displaystyle\frac{1}{V}\left(\displaystyle\frac{\partial V}{\partial p}\right)_T\left(\displaystyle\frac{\partial p}{\partial T}\right)_V=-k_p\left(\displaystyle\frac{\partial p}{\partial T}\right)_V=k_pk_B\beta^2\left(\displaystyle\frac{\partial p}{\partial\beta}\right)_V$

Como con la presi n es igual a

$\bar{p}=\displaystyle\frac{1}{\beta}\displaystyle\frac{\partial\ln Z}{\partial V}$

se tiene que con

$k_T = k_p k_B \left(\beta\displaystyle\frac{\partial^2\ln Z }{\partial \beta \partial V }-\displaystyle\frac{\partial \ln Z }{ \partial V }\right)$

(ID 4764)

Capacidad cal rica a presi n constante

Como la relaci n entre las capacidades cl rica se tiene que esta se puede calcular de la entalpia con mediante

$C_p = \left(\displaystyle\frac{\partial H }{\partial T }\right)_ p$

Como la entalpia se puede calcular con de la funci n partici n mediante

$H =-\displaystyle\frac{\partial \ln Z }{\partial \beta }+\displaystyle\frac{ V }{ \beta }\displaystyle\frac{\partial \ln Z }{\partial V }$

se tiene que con beta $1/J$ , constante de Boltzmann $J/K$ y temperatura $K$

$\displaystyle\frac{ \partial }{ \partial T }=- k_B \beta ^2\displaystyle\frac{ \partial }{ \partial \beta }$

es con beta $1/J$ , constante de Boltzmann $J/K$ y temperatura $K$

(ID 4765)

ID:(176, 0)