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Mikroskopische Berechnung

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Basierend auf den Partitionsfunktionen ist es möglich, die makroskopischen Eigenschaften, die die Systeme beschreiben, aus den mikroskopischen Modellen zu berechnen.

>Modell

ID:(176, 0)

Mikroskopische Berechnung

Beschreibung

Basierend auf den Partitionsfunktionen ist es möglich, die makroskopischen Eigenschaften, die die Systeme beschreiben, aus den mikroskopischen Modellen zu berechnen.

Variablen

Symbol

Text

Variable

Wert

Einheiten

Berechnen

MKS-Wert

MKS-Einheiten

$\beta$

beta

Beta

1/J

$C_p$

C_p

Capacidad calorica a presión constante

J/K

$C_V$

C_V

Capacidad calorica a volumen constante

J/K

$k_p$

k_p

Compresibilidad isotermica

1/Pa

$k_B$

k_B

Constante de Boltzmann

J/K

$B$

Constante de normalización

$k_T$

k_T

Dilatación térmica

1/K

$E$

Energía del sistema

$U$

Energía interna

$Z$

Función partición

$m$

Masa de la partícula

$\Omega$

Omega

Numero de estados

$N$

Numero de partículas

$p$

Presión

$T$

Temperatura

$V$

Volumen

m^3

Berechnungen

Gleichung

Zahl

Zuerst die Gleichung auswählen:

, dann die Variable auswählen:

Symbol

Gleichung

Gelöst

Übersetzt

Berechnungen

Symbol

Gleichung

Gelöst

Übersetzt

Variable

Gegeben

Berechnen

Ziel :

Gleichung

Zu verwenden

Gleichungen

$\displaystyle\frac{ \partial }{ \partial T }=- k_B \beta ^2\displaystyle\frac{ \partial }{ \partial \beta }$

d / dT =- k_B * beta ^2* d / dbeta

(ID 1385)

$\ln \Omega = \beta E +\ln Z$

ln( Omega ) = beta * E + ln( Z )

(ID 3608)

$\Omega = B V ^ N E ^{3 N /2}$

Omega = B * V ^ N * E ^(3* N /2)

(ID 3609)

$\ln( Z ) =\ln( B V ^ N E ^{3 N /2})- \beta E$

ln( Z ) = ln( B * V ^ N * E ^(3* N /2) ) - beta * E

(ID 3610)

$U = E$

U = E

(ID 3611)

$p =\displaystyle\frac{ N k_B T }{ V }$

p = N * k_B * T / V

(ID 3614)

$U =\displaystyle\frac{3}{2} N k_B T$

U =3* N * k_B * T / 2

(ID 3615)

$C_V = k_B \beta ^2\displaystyle\frac{\partial^2\ln Z }{\partial \beta ^2}$

C_V = k_B * beta ^2* d2Z / dbeta2

(ID 4760)

$\displaystyle\frac{1}{ k_p }=-\displaystyle\frac{ V }{ \beta }\frac{\partial^2\ln Z }{\partial V ^2}$

k_p =-1/( V *@DIFF( ln( Z ), V , 2 ) / beta )

(ID 4761)

$k_T = k_p k_B \left(\beta\displaystyle\frac{\partial^2\ln Z }{\partial \beta \partial V }-\displaystyle\frac{\partial \ln Z }{ \partial V }\right)$

k_T = k_p * k_B *(beta *diff(ln( Z ), V ,2) - diff(ln( Z ), V ))

(ID 4764)

$C_p = k_B \beta ^2\displaystyle\frac{ \partial^2 \ln Z }{ \partial \beta ^2}+ k_B V \left(\displaystyle\frac{\partial \ln Z }{ \partial V }-\beta \displaystyle\frac{\partial^2 \ln Z }{\partial \beta \partial V }\right)$

C_p = k_B *beta ^2*diff( ln( Z ), beta ,2)+ k_B * V *(diff(ln( Z ), V )- beta *diff(diff(ln( Z ), beta ), V ))

(ID 4765)

$Z = B V ^ N \left(\displaystyle\frac{2 \pi m }{ \beta }\right)^{3 N /2}$

Z = B * V ^ N *(2* pi * m / beta )^3* N /2

(ID 7971)

Beispiele

Anzahl der Zust nde eines Idealen Gases

Para el calculo del numero de estados se integraba sobre el espacio de fase en el volumen y en el momento para las N part culas.\\n\\n

$\Omega(E,V)=\displaystyle\int_V\prod_id^3q_i\int\prod_id^3p_i$

\\n\\nDe la integral de las posiciones se obtiene el volumen V para cada part cula y V^N para el sistema. En el caso de la integral sobre el momento se debe considerar que la suma de todos los cuadrados de los momentos debe ser igual a 2mE\\n\\n

$\sum_i\vec{p}_i^2=2mE$

Como esto corresponde a una esfera en el espacio 3N dimensional la integral en el momento es igual al radio \sqrt{2mE} elevado a 3N-1\sim 3N por lo que el n mero de estados es con

$\Omega = B V ^ N E ^{3 N /2}$

con B una constante propia de conversi n de pasar de contar estados discretos a la aproximaci n continua.

(ID 3609)

Anzahl Zust nde als Partition Funktion

Como la entrop a es proporcional al logaritmo del numero de estados con

$S \equiv k_B \ln \Omega$

y su relaci n con la funci n partici n es con

$S = k_B ( \ln Z + \beta U )$

se tiene la relaci n entre n mero de estados \Omega y funci n partici n Z con

$\ln \Omega = \beta E +\ln Z$

(ID 3608)

Aufteilungsfunktion eines idealen Gases nach Anzahl der Zust nde

Con la relaci n entre numero de estados y funci n partici n con beta $1/J$ , energía del sistema $J$ , función partición $-$ und numero de estados $-$ es

$\ln \Omega = \beta E +\ln Z$

y la expresi n para el numero de estados del gas ideal con constante de normalización $-$ , energía del sistema $J$ , numero de estados $-$ , numero de partículas $-$ und volumen $m^3$

$\Omega = B V ^ N E ^{3 N /2}$

se obtiene la expresi n pata la funci n partici n con constante de normalización $-$ , energía del sistema $J$ , numero de estados $-$ , numero de partículas $-$ und volumen $m^3$

$\ln( Z ) =\ln( B V ^ N E ^{3 N /2})- \beta E$

(ID 3610)

Verteilungsfunktion eines idealen Gases durch Integration

Si se busca calcular la funci n de partici n de un gas ideal se debe realizar la integraci n del exponencial de menos beta por la energ as sobre el espacio de fase:\\n\\n

$Z(T,V)=\displaystyle\int\prod_id^3q_i\int\prod_id^3p_i e^{-\beta\sum_ip_i^2/2m}$

\\n\\nLa integral de la posici n da el volumen mientras que la integral sobre la gaussiana da\\n\\n

$\displaystyle\int d^3p_i e^{-\beta p_i^2/2m}=\left(\displaystyle\frac{2\pi m}{\beta}\right)^{3/2}$

Con ello la funci n partici n del gas ideal resulta con

$Z = B V ^ N \left(\displaystyle\frac{2 \pi m }{ \beta }\right)^{3 N /2}$

con B una constante propia de conversi n de pasar de contar estados discretos a la aproximaci n continua.

(ID 7971)

Innere Energie eines Ideal Gas

La energ a interna en funci n de la funci n partici n es con

$U=-\displaystyle\frac{\partial\ln Z}{\partial\beta}$

y como la funci n partici n es con beta $1/J$ , constante de normalización $-$ , energía del sistema $J$ , función partición $-$ , numero de partículas $-$ und volumen $m^3$

$\ln( Z ) =\ln( B V ^ N E ^{3 N /2})- \beta E$

se tiene que la energ a interna es con beta $1/J$ , constante de normalización $-$ , energía del sistema $J$ , función partición $-$ , numero de partículas $-$ und volumen $m^3$ igual a la energ a del sistema:

$U = E$

(ID 3611)

Energie eines Idealen Gases

Como la funci n partici n de un gas ideal con beta $1/J$ , constante de normalización $-$ , función partición $-$ , masa de la partícula $kg$ , numero de partículas $-$ und volumen $m^3$ es igual a

$Z = B V ^ N \left(\displaystyle\frac{2 \pi m }{ \beta }\right)^{3 N /2}$

por lo que la energ a interna, que se calcula con

$U=-\displaystyle\frac{\partial\ln Z}{\partial\beta}$

resulta con :

$U =\displaystyle\frac{3}{2} N k_B T$

(ID 3615)

Druck eines Idealen Gases

Como la presi n en funci n de la funci n partici n con es igual a

$\bar{p}=\displaystyle\frac{1}{\beta}\displaystyle\frac{\partial\ln Z}{\partial V}$

donde V es el volumen, Z es la funci n partici n y \beta es el inverso de la constante de Boltzman k y la temperatura T.

Como la funci n partici n de un gas ideal es con beta $1/J$ , constante de normalización $-$ , función partición $-$ , masa de la partícula $kg$ , numero de partículas $-$ und volumen $m^3$

$Z = B V ^ N \left(\displaystyle\frac{2 \pi m }{ \beta }\right)^{3 N /2}$

se tiene que la presi n es con beta $1/J$ , constante de normalización $-$ , función partición $-$ , masa de la partícula $kg$ , numero de partículas $-$ und volumen $m^3$

$p =\displaystyle\frac{ N k_B T }{ V }$

que corresponde a la ecuaci n de los gases ideales.

(ID 3614)

Ableitungsregel

En la mec nica estad stica es frecuente de que se tenga que drivar respecto a la temperatura T una funci n que se ha expresado en funci n de \beta con

$k_B T \equiv\displaystyle\frac{1}{ \beta }$

\\n\\nComo\\n\\n

$\displaystyle\frac{\partial}{\partial T}=\displaystyle\frac{\partial\beta}{\partial T}\displaystyle\frac{\partial}{\partial\beta}=-k\beta^2\displaystyle\frac{\partial}{\partial\beta}$

se tiene que con

$\displaystyle\frac{ \partial }{ \partial T }=- k_B \beta ^2\displaystyle\frac{ \partial }{ \partial \beta }$

(ID 1385)

W rmekapazit t bei konstantem Volumen

Como la capacidad cal rica a volumen constante se define con como

$C_V = \left(\displaystyle\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V$

y la energ a interna U es con

$U=-\displaystyle\frac{\partial\ln Z}{\partial\beta}$

con beta $1/J$ , constante de Boltzmann $J/K$ und temperatura $K$

$\displaystyle\frac{ \partial }{ \partial T }=- k_B \beta ^2\displaystyle\frac{ \partial }{ \partial \beta }$

se tiene que beta $1/J$ , constante de Boltzmann $J/K$ und temperatura $K$

$C_V = k_B \beta ^2\displaystyle\frac{\partial^2\ln Z }{\partial \beta ^2}$

(ID 4760)

Compresibilidad de un Gas Ideal

Como la compresibilidad es con igual a

$\kappa \equiv-\displaystyle\frac{1}{ V }\left(\displaystyle\frac{\partial V }{\partial p }\right)_ T$

y la presi n se calcula de la funci n partici n con mediante

$\bar{p}=\displaystyle\frac{1}{\beta}\displaystyle\frac{\partial\ln Z}{\partial V}$

se tiene que la compresibilidad es con igual a

$\displaystyle\frac{1}{ k_p }=-\displaystyle\frac{ V }{ \beta }\frac{\partial^2\ln Z }{\partial V ^2}$

(ID 4761)

W rmeausdehnung und Trennwandfunktion

Con la definici n de la dilataci n t rmica con

$k_T \equiv \displaystyle\frac{1}{ V } \left(\displaystyle\frac{\partial V }{\partial T }\right)_ p$

Para calcular la variaci n de la presi n con el volumen se puede empelar la compresibilidad que con es

$\kappa \equiv-\displaystyle\frac{1}{ V }\left(\displaystyle\frac{\partial V }{\partial p }\right)_ T$

se puede escribir con beta $1/J$ , constante de Boltzmann $J/K$ und temperatura $K$

$\displaystyle\frac{ \partial }{ \partial T }=- k_B \beta ^2\displaystyle\frac{ \partial }{ \partial \beta }$

\\n\\ncomo\\n\\n

$k_T=\displaystyle\frac{1}{V}\left(\displaystyle\frac{\partial V}{\partial T}\right)_T=\displaystyle\frac{1}{V}\left(\displaystyle\frac{\partial V}{\partial p}\right)_T\left(\displaystyle\frac{\partial p}{\partial T}\right)_V=-k_p\left(\displaystyle\frac{\partial p}{\partial T}\right)_V=k_pk_B\beta^2\left(\displaystyle\frac{\partial p}{\partial\beta}\right)_V$

Como con la presi n es igual a

$\bar{p}=\displaystyle\frac{1}{\beta}\displaystyle\frac{\partial\ln Z}{\partial V}$

se tiene que con

$k_T = k_p k_B \left(\beta\displaystyle\frac{\partial^2\ln Z }{\partial \beta \partial V }-\displaystyle\frac{\partial \ln Z }{ \partial V }\right)$

(ID 4764)

W rmekapazit t bei konstantem Druck

Como la relaci n entre las capacidades cl rica se tiene que esta se puede calcular de la entalpia con mediante

$C_p = \left(\displaystyle\frac{\partial H }{\partial T }\right)_ p$

Como la entalpia se puede calcular con de la funci n partici n mediante

$H =-\displaystyle\frac{\partial \ln Z }{\partial \beta }+\displaystyle\frac{ V }{ \beta }\displaystyle\frac{\partial \ln Z }{\partial V }$

se tiene que con beta $1/J$ , constante de Boltzmann $J/K$ und temperatura $K$

$\displaystyle\frac{ \partial }{ \partial T }=- k_B \beta ^2\displaystyle\frac{ \partial }{ \partial \beta }$

es con beta $1/J$ , constante de Boltzmann $J/K$ und temperatura $K$

(ID 4765)

ID:(176, 0)