Calculo Microscópico
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En base a las funciones partición es posible calcular las propiedades macroscopicas que describen a los sistemas desde los modelos microscópicos.
ID:(176, 0)
Número de estados de un gas ideal
Ecuación
Para el calculo del numero de estados se integraba sobre el espacio de fase en el volumen y en el momento para las
$\Omega(E,V)=\displaystyle\int_V\prod_id^3q_i\int\prod_id^3p_i$
\\n\\nDe la integral de las posiciones se obtiene el volumen
$\sum_i\vec{p}_i^2=2mE$
Como esto corresponde a una esfera en el espacio
$ \Omega = B V ^ N E ^{3 N /2}$ |
con
ID:(3609, 0)
Número de estados en relación a la función partición
Ecuación
Como la entropía es proporcional al logaritmo del numero de estados con
$ S \equiv k_B \ln \Omega $ |
y su relación con la función partición es con
$ S = k_B ( \ln Z + \beta U )$ |
se tiene la relación entre número de estados
$\ln \Omega = \beta E +\ln Z $ |
ID:(3608, 0)
Función partición de un gas ideal por número de estados
Ecuación
Con la relación entre numero de estados y función partición con beta $1/J$, energía del sistema $J$, función partición $-$ y numero de estados $-$ es
$\ln \Omega = \beta E +\ln Z $ |
y la expresión para el numero de estados del gas ideal con constante de normalización $-$, energía del sistema $J$, numero de estados $-$, numero de partículas $-$ y volumen $m^3$
$ \Omega = B V ^ N E ^{3 N /2}$ |
se obtiene la expresión pata la función partición con constante de normalización $-$, energía del sistema $J$, numero de estados $-$, numero de partículas $-$ y volumen $m^3$
$\ln( Z ) =\ln( B V ^ N E ^{3 N /2})- \beta E $ |
ID:(3610, 0)
Función partición de un gas ideal mediante integración
Ecuación
Si se busca calcular la función de partición de un gas ideal se debe realizar la integración del exponencial de menos beta por la energías sobre el espacio de fase:\\n\\n
$Z(T,V)=\displaystyle\int\prod_id^3q_i\int\prod_id^3p_i e^{-\beta\sum_ip_i^2/2m}$
\\n\\nLa integral de la posición da el volumen mientras que la integral sobre la gaussiana da\\n\\n
$\displaystyle\int d^3p_i e^{-\beta p_i^2/2m}=\left(\displaystyle\frac{2\pi m}{\beta}\right)^{3/2}$
Con ello la función partición del gas ideal resulta con
$ Z = B V ^ N \left(\displaystyle\frac{2 \pi m }{ \beta }\right)^{3 N /2}$ |
con
ID:(7971, 0)
Relación energía de partícula y energía interna
Ecuación
La energía interna en función de la función partición es con
$U=-\displaystyle\frac{\partial\ln Z}{\partial\beta}$ |
y como la función partición es con beta $1/J$, constante de normalización $-$, energía del sistema $J$, función partición $-$, numero de partículas $-$ y volumen $m^3$
$\ln( Z ) =\ln( B V ^ N E ^{3 N /2})- \beta E $ |
se tiene que la energía interna es con beta $1/J$, constante de normalización $-$, energía del sistema $J$, función partición $-$, numero de partículas $-$ y volumen $m^3$ igual a la energía del sistema:
$ U = E $ |
ID:(3611, 0)
Energía interna de un gas ideal
Ecuación
Como la función partición de un gas ideal con beta $1/J$, constante de normalización $-$, función partición $-$, masa de la partícula $kg$, numero de partículas $-$, pi $rad$ y volumen $m^3$ es igual a
$ Z = B V ^ N \left(\displaystyle\frac{2 \pi m }{ \beta }\right)^{3 N /2}$ |
por lo que la energía interna, que se calcula con
$U=-\displaystyle\frac{\partial\ln Z}{\partial\beta}$ |
resulta con :
$ U =\displaystyle\frac{3}{2} N k_B T $ |
ID:(3615, 0)
Presión de un gas ideal
Ecuación
Como la presión en función de la función partición con es igual a
$\bar{p}=\displaystyle\frac{1}{\beta}\displaystyle\frac{\partial\ln Z}{\partial V}$ |
donde
Como la función partición de un gas ideal es con beta $1/J$, constante de normalización $-$, función partición $-$, masa de la partícula $kg$, numero de partículas $-$, pi $rad$ y volumen $m^3$
$ Z = B V ^ N \left(\displaystyle\frac{2 \pi m }{ \beta }\right)^{3 N /2}$ |
se tiene que la presión es con beta $1/J$, constante de normalización $-$, función partición $-$, masa de la partícula $kg$, numero de partículas $-$, pi $rad$ y volumen $m^3$
$ p =\displaystyle\frac{ N k_B T }{ V }$ |
que corresponde a la ecuación de los gases ideales.
ID:(3614, 0)
Regla de derivación
Ecuación
En la mecánica estadística es frecuente de que se tenga que drivar respecto a la temperatura
$ k_B T \equiv\displaystyle\frac{1}{ \beta }$ |
\\n\\nComo\\n\\n
$\displaystyle\frac{\partial}{\partial T}=\displaystyle\frac{\partial\beta}{\partial T}\displaystyle\frac{\partial}{\partial\beta}=-k\beta^2\displaystyle\frac{\partial}{\partial\beta}$
se tiene que con
$\displaystyle\frac{ \partial }{ \partial T }=- k_B \beta ^2\displaystyle\frac{ \partial }{ \partial \beta }$ |
ID:(1385, 0)
Capacidad calórica a volumen constante
Ecuación
Como la capacidad calórica a volumen constante se define con como
$ C_V = \left(\displaystyle\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V $ |
y la energía interna
$U=-\displaystyle\frac{\partial\ln Z}{\partial\beta}$ |
con beta $1/J$, constante de Boltzmann $J/K$ y temperatura $K$
$\displaystyle\frac{ \partial }{ \partial T }=- k_B \beta ^2\displaystyle\frac{ \partial }{ \partial \beta }$ |
se tiene que beta $1/J$, constante de Boltzmann $J/K$ y temperatura $K$
$ C_V = k_B \beta ^2\displaystyle\frac{\partial^2\ln Z }{\partial \beta ^2}$ |
ID:(4760, 0)
Compresibilidad y la función partición
Ecuación
Como la compresibilidad es con igual a
$ \kappa \equiv-\displaystyle\frac{1}{ V }\left(\displaystyle\frac{\partial V }{\partial p }\right)_ T $ |
y la presión se calcula de la función partición con mediante
$\bar{p}=\displaystyle\frac{1}{\beta}\displaystyle\frac{\partial\ln Z}{\partial V}$ |
se tiene que la compresibilidad es con igual a
$\displaystyle\frac{1}{ k_p }=-\displaystyle\frac{ V }{ \beta }\frac{\partial^2\ln Z }{\partial V ^2}$ |
ID:(4761, 0)
Dilatación termica y la función partición
Ecuación
Con la definición de la dilatación térmica con
$ k_T \equiv \displaystyle\frac{1}{ V } \left(\displaystyle\frac{\partial V }{\partial T }\right)_ p $ |
Para calcular la variación de la presión con el volumen se puede empelar la compresibilidad que con es
$ \kappa \equiv-\displaystyle\frac{1}{ V }\left(\displaystyle\frac{\partial V }{\partial p }\right)_ T $ |
se puede escribir con beta $1/J$, constante de Boltzmann $J/K$ y temperatura $K$
$\displaystyle\frac{ \partial }{ \partial T }=- k_B \beta ^2\displaystyle\frac{ \partial }{ \partial \beta }$ |
\\n\\ncomo\\n\\n
$k_T=\displaystyle\frac{1}{V}\left(\displaystyle\frac{\partial V}{\partial T}\right)_T=\displaystyle\frac{1}{V}\left(\displaystyle\frac{\partial V}{\partial p}\right)_T\left(\displaystyle\frac{\partial p}{\partial T}\right)_V=-k_p\left(\displaystyle\frac{\partial p}{\partial T}\right)_V=k_pk_B\beta^2\left(\displaystyle\frac{\partial p}{\partial\beta}\right)_V$
Como con la presión es igual a
$\bar{p}=\displaystyle\frac{1}{\beta}\displaystyle\frac{\partial\ln Z}{\partial V}$ |
se tiene que con
$ k_T = k_p k_B \left(\beta\displaystyle\frac{\partial^2\ln Z }{\partial \beta \partial V }-\displaystyle\frac{\partial \ln Z }{ \partial V }\right)$ |
ID:(4764, 0)
Capacidad calórica a presión constante
Ecuación
Como la relación entre las capacidades clórica se tiene que esta se puede calcular de la entalpia con mediante
$ C_p = \left(\displaystyle\frac{\partial H }{\partial T }\right)_ p $ |
Como la entalpia se puede calcular con de la función partición mediante
$ H =-\displaystyle\frac{\partial \ln Z }{\partial \beta }+\displaystyle\frac{ V }{ \beta }\displaystyle\frac{\partial \ln Z }{\partial V }$ |
se tiene que con beta $1/J$, constante de Boltzmann $J/K$ y temperatura $K$
$\displaystyle\frac{ \partial }{ \partial T }=- k_B \beta ^2\displaystyle\frac{ \partial }{ \partial \beta }$ |
es con beta $1/J$, constante de Boltzmann $J/K$ y temperatura $K$
$ C_p = k_B \beta ^2\displaystyle\frac{ \partial^2 \ln Z }{ \partial \beta ^2}+ k_B V \left(\displaystyle\frac{\partial \ln Z }{ \partial V }-\beta \displaystyle\frac{\partial^2 \ln Z }{\partial \beta \partial V }\right)$ |
ID:(4765, 0)
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