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Calculo Microscópico
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En base a las funciones partición es posible calcular las propiedades macroscopicas que describen a los sistemas desde los modelos microscópicos.

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ID:(176, 0)


Calculo Microscópico
Descripción

En base a las funciones partición es posible calcular las propiedades macroscopicas que describen a los sistemas desde los modelos microscópicos.

Variables
Símbolo
Texto
Variable
Valor
Unidades
Calcule
Valor MKS
Unidades MKS
$\beta$
beta
Beta
1/J
$C_p$
C_p
Capacidad calorica a presión constante
J/K
$C_V$
C_V
Capacidad calorica a volumen constante
J/K
$k_p$
k_p
Compresibilidad isotermica
1/Pa
$k_B$
k_B
Constante de Boltzmann
J/K
$B$
B
Constante de normalización
-
$k_T$
k_T
Dilatación térmica
1/K
$E$
E
Energía del sistema
J
$U$
U
Energía interna
J
$Z$
Z
Función partición
-
$m$
m
Masa de la partícula
kg
$\Omega$
Omega
Numero de estados
-
$N$
N
Numero de partículas
-
$p$
p
Presión
Pa
$T$
T
Temperatura
K
$V$
V
Volumen
m^3

Cálculos

Primero, seleccione la ecuación:   a ,  luego, seleccione la variable:   a 
Símbolo
Ecuación
Resuelto
Traducido

Cálculos

Símbolo
Ecuación
Resuelto
Traducido

 Variable   Dado   Calcule   Objetivo :   Ecuación   A utilizar


Ecuaciones

Ejemplos

Para el calculo del numero de estados se integraba sobre el espacio de fase en el volumen y en el momento para las N part culas.\\n\\n

$\Omega(E,V)=\displaystyle\int_V\prod_id^3q_i\int\prod_id^3p_i$

\\n\\nDe la integral de las posiciones se obtiene el volumen V para cada part cula y V^N para el sistema. En el caso de la integral sobre el momento se debe considerar que la suma de todos los cuadrados de los momentos debe ser igual a 2mE\\n\\n

$\sum_i\vec{p}_i^2=2mE$



Como esto corresponde a una esfera en el espacio 3N dimensional la integral en el momento es igual al radio \sqrt{2mE} elevado a 3N-1\sim 3N por lo que el n mero de estados es con

$ \Omega = B V ^ N E ^{3 N /2}$

con B una constante propia de conversi n de pasar de contar estados discretos a la aproximaci n continua.

(ID 3609)

Como la entrop a es proporcional al logaritmo del numero de estados con

$ S \equiv k_B \ln \Omega $



y su relaci n con la funci n partici n es con

$ S = k_B ( \ln Z + \beta U )$



se tiene la relaci n entre n mero de estados \Omega y funci n partici n Z con

$\ln \Omega = \beta E +\ln Z $

(ID 3608)

Con la relaci n entre numero de estados y funci n partici n con beta $1/J$, energía del sistema $J$, función partición $-$ y numero de estados $-$ es

$\ln \Omega = \beta E +\ln Z $



y la expresi n para el numero de estados del gas ideal con constante de normalización $-$, energía del sistema $J$, numero de estados $-$, numero de partículas $-$ y volumen $m^3$

$ \Omega = B V ^ N E ^{3 N /2}$



se obtiene la expresi n pata la funci n partici n con constante de normalización $-$, energía del sistema $J$, numero de estados $-$, numero de partículas $-$ y volumen $m^3$

$\ln( Z ) =\ln( B V ^ N E ^{3 N /2})- \beta E $

(ID 3610)

Si se busca calcular la funci n de partici n de un gas ideal se debe realizar la integraci n del exponencial de menos beta por la energ as sobre el espacio de fase:\\n\\n

$Z(T,V)=\displaystyle\int\prod_id^3q_i\int\prod_id^3p_i e^{-\beta\sum_ip_i^2/2m}$

\\n\\nLa integral de la posici n da el volumen mientras que la integral sobre la gaussiana da\\n\\n

$\displaystyle\int d^3p_i e^{-\beta p_i^2/2m}=\left(\displaystyle\frac{2\pi m}{\beta}\right)^{3/2}$



Con ello la funci n partici n del gas ideal resulta con

$ Z = B V ^ N \left(\displaystyle\frac{2 \pi m }{ \beta }\right)^{3 N /2}$

con B una constante propia de conversi n de pasar de contar estados discretos a la aproximaci n continua.

(ID 7971)

La energ a interna en funci n de la funci n partici n es con

$U=-\displaystyle\frac{\partial\ln Z}{\partial\beta}$



y como la funci n partici n es con beta $1/J$, constante de normalización $-$, energía del sistema $J$, función partición $-$, numero de partículas $-$ y volumen $m^3$

$\ln( Z ) =\ln( B V ^ N E ^{3 N /2})- \beta E $



se tiene que la energ a interna es con beta $1/J$, constante de normalización $-$, energía del sistema $J$, función partición $-$, numero de partículas $-$ y volumen $m^3$ igual a la energ a del sistema:

$ U = E $

(ID 3611)

Como la funci n partici n de un gas ideal con beta $1/J$, constante de normalización $-$, función partición $-$, masa de la partícula $kg$, numero de partículas $-$ y volumen $m^3$ es igual a

$ Z = B V ^ N \left(\displaystyle\frac{2 \pi m }{ \beta }\right)^{3 N /2}$



por lo que la energ a interna, que se calcula con

$U=-\displaystyle\frac{\partial\ln Z}{\partial\beta}$



resulta con :

$ U =\displaystyle\frac{3}{2} N k_B T $

(ID 3615)

Como la presi n en funci n de la funci n partici n con es igual a

$\bar{p}=\displaystyle\frac{1}{\beta}\displaystyle\frac{\partial\ln Z}{\partial V}$



donde V es el volumen, Z es la funci n partici n y \beta es el inverso de la constante de Boltzman k y la temperatura T.

Como la funci n partici n de un gas ideal es con beta $1/J$, constante de normalización $-$, función partición $-$, masa de la partícula $kg$, numero de partículas $-$ y volumen $m^3$

$ Z = B V ^ N \left(\displaystyle\frac{2 \pi m }{ \beta }\right)^{3 N /2}$



se tiene que la presi n es con beta $1/J$, constante de normalización $-$, función partición $-$, masa de la partícula $kg$, numero de partículas $-$ y volumen $m^3$

$ p =\displaystyle\frac{ N k_B T }{ V }$

que corresponde a la ecuaci n de los gases ideales.

(ID 3614)

En la mec nica estad stica es frecuente de que se tenga que drivar respecto a la temperatura T una funci n que se ha expresado en funci n de \beta con

$ k_B T \equiv\displaystyle\frac{1}{ \beta }$

\\n\\nComo\\n\\n

$\displaystyle\frac{\partial}{\partial T}=\displaystyle\frac{\partial\beta}{\partial T}\displaystyle\frac{\partial}{\partial\beta}=-k\beta^2\displaystyle\frac{\partial}{\partial\beta}$



se tiene que con

$\displaystyle\frac{ \partial }{ \partial T }=- k_B \beta ^2\displaystyle\frac{ \partial }{ \partial \beta }$

(ID 1385)

Como la capacidad cal rica a volumen constante se define con como

$ C_V = \left(\displaystyle\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V $



y la energ a interna U es con

$U=-\displaystyle\frac{\partial\ln Z}{\partial\beta}$



con beta $1/J$, constante de Boltzmann $J/K$ y temperatura $K$

$\displaystyle\frac{ \partial }{ \partial T }=- k_B \beta ^2\displaystyle\frac{ \partial }{ \partial \beta }$



se tiene que beta $1/J$, constante de Boltzmann $J/K$ y temperatura $K$

$ C_V = k_B \beta ^2\displaystyle\frac{\partial^2\ln Z }{\partial \beta ^2}$

(ID 4760)

Como la compresibilidad es con igual a

$ \kappa \equiv-\displaystyle\frac{1}{ V }\left(\displaystyle\frac{\partial V }{\partial p }\right)_ T $



y la presi n se calcula de la funci n partici n con mediante

$\bar{p}=\displaystyle\frac{1}{\beta}\displaystyle\frac{\partial\ln Z}{\partial V}$



se tiene que la compresibilidad es con igual a

$\displaystyle\frac{1}{ k_p }=-\displaystyle\frac{ V }{ \beta }\frac{\partial^2\ln Z }{\partial V ^2}$

(ID 4761)

Con la definici n de la dilataci n t rmica con

$ k_T \equiv \displaystyle\frac{1}{ V } \left(\displaystyle\frac{\partial V }{\partial T }\right)_ p $



Para calcular la variaci n de la presi n con el volumen se puede empelar la compresibilidad que con es

$ \kappa \equiv-\displaystyle\frac{1}{ V }\left(\displaystyle\frac{\partial V }{\partial p }\right)_ T $



se puede escribir con beta $1/J$, constante de Boltzmann $J/K$ y temperatura $K$

$\displaystyle\frac{ \partial }{ \partial T }=- k_B \beta ^2\displaystyle\frac{ \partial }{ \partial \beta }$

\\n\\ncomo\\n\\n

$k_T=\displaystyle\frac{1}{V}\left(\displaystyle\frac{\partial V}{\partial T}\right)_T=\displaystyle\frac{1}{V}\left(\displaystyle\frac{\partial V}{\partial p}\right)_T\left(\displaystyle\frac{\partial p}{\partial T}\right)_V=-k_p\left(\displaystyle\frac{\partial p}{\partial T}\right)_V=k_pk_B\beta^2\left(\displaystyle\frac{\partial p}{\partial\beta}\right)_V$



Como con la presi n es igual a

$\bar{p}=\displaystyle\frac{1}{\beta}\displaystyle\frac{\partial\ln Z}{\partial V}$



se tiene que con

$ k_T = k_p k_B \left(\beta\displaystyle\frac{\partial^2\ln Z }{\partial \beta \partial V }-\displaystyle\frac{\partial \ln Z }{ \partial V }\right)$

(ID 4764)

Como la relaci n entre las capacidades cl rica se tiene que esta se puede calcular de la entalpia con mediante

$ C_p = \left(\displaystyle\frac{\partial H }{\partial T }\right)_ p $



Como la entalpia se puede calcular con de la funci n partici n mediante

$ H =-\displaystyle\frac{\partial \ln Z }{\partial \beta }+\displaystyle\frac{ V }{ \beta }\displaystyle\frac{\partial \ln Z }{\partial V }$



se tiene que con beta $1/J$, constante de Boltzmann $J/K$ y temperatura $K$

$\displaystyle\frac{ \partial }{ \partial T }=- k_B \beta ^2\displaystyle\frac{ \partial }{ \partial \beta }$



es con beta $1/J$, constante de Boltzmann $J/K$ y temperatura $K$

$ C_p = k_B \beta ^2\displaystyle\frac{ \partial^2 \ln Z }{ \partial \beta ^2}+ k_B V \left(\displaystyle\frac{\partial \ln Z }{ \partial V }-\beta \displaystyle\frac{\partial^2 \ln Z }{\partial \beta \partial V }\right)$

(ID 4765)

ID:(176, 0)