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Microscopic Calculation
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Based on the partition functions, it is possible to calculate the macroscopic properties that describe the systems from the microscopic models.

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ID:(176, 0)


Microscopic Calculation
Description

Based on the partition functions, it is possible to calculate the macroscopic properties that describe the systems from the microscopic models.

Variables
Symbol
Text
Variable
Value
Units
Calculate
MKS Value
MKS Units
$\beta$
beta
Beta
1/J
$C_p$
C_p
Capacidad calorica a presión constante
J/K
$C_V$
C_V
Capacidad calorica a volumen constante
J/K
$k_p$
k_p
Compresibilidad isotermica
1/Pa
$k_B$
k_B
Constante de Boltzmann
J/K
$B$
B
Constante de normalización
-
$k_T$
k_T
Dilatación térmica
1/K
$E$
E
Energía del sistema
J
$U$
U
Energía interna
J
$Z$
Z
Función partición
-
$m$
m
Masa de la partícula
kg
$\Omega$
Omega
Numero de estados
-
$N$
N
Numero de partículas
-
$p$
p
Presión
Pa
$T$
T
Temperatura
K
$V$
V
Volumen
m^3

Calculations

First, select the equation:   to ,  then, select the variable:   to 
Symbol
Equation
Solved
Translated

Calculations

Symbol
Equation
Solved
Translated

 Variable   Given   Calculate   Target :   Equation   To be used


Equations

Examples

Para el calculo del numero de estados se integraba sobre el espacio de fase en el volumen y en el momento para las N part culas.\\n\\n

$\Omega(E,V)=\displaystyle\int_V\prod_id^3q_i\int\prod_id^3p_i$

\\n\\nDe la integral de las posiciones se obtiene el volumen V para cada part cula y V^N para el sistema. En el caso de la integral sobre el momento se debe considerar que la suma de todos los cuadrados de los momentos debe ser igual a 2mE\\n\\n

$\sum_i\vec{p}_i^2=2mE$



Como esto corresponde a una esfera en el espacio 3N dimensional la integral en el momento es igual al radio \sqrt{2mE} elevado a 3N-1\sim 3N por lo que el n mero de estados es con

$ \Omega = B V ^ N E ^{3 N /2}$

con B una constante propia de conversi n de pasar de contar estados discretos a la aproximaci n continua.

(ID 3609)

Como la entrop a es proporcional al logaritmo del numero de estados con

$ S \equiv k_B \ln \Omega $



y su relaci n con la funci n partici n es con

$ S = k_B ( \ln Z + \beta U )$



se tiene la relaci n entre n mero de estados \Omega y funci n partici n Z con

$\ln \Omega = \beta E +\ln Z $

(ID 3608)

Con la relaci n entre numero de estados y funci n partici n con beta $1/J$, energía del sistema $J$, función partición $-$ and numero de estados $-$ es

$\ln \Omega = \beta E +\ln Z $



y la expresi n para el numero de estados del gas ideal con constante de normalización $-$, energía del sistema $J$, numero de estados $-$, numero de partículas $-$ and volumen $m^3$

$ \Omega = B V ^ N E ^{3 N /2}$



se obtiene la expresi n pata la funci n partici n con constante de normalización $-$, energía del sistema $J$, numero de estados $-$, numero de partículas $-$ and volumen $m^3$

$\ln( Z ) =\ln( B V ^ N E ^{3 N /2})- \beta E $

(ID 3610)

Si se busca calcular la funci n de partici n de un gas ideal se debe realizar la integraci n del exponencial de menos beta por la energ as sobre el espacio de fase:\\n\\n

$Z(T,V)=\displaystyle\int\prod_id^3q_i\int\prod_id^3p_i e^{-\beta\sum_ip_i^2/2m}$

\\n\\nLa integral de la posici n da el volumen mientras que la integral sobre la gaussiana da\\n\\n

$\displaystyle\int d^3p_i e^{-\beta p_i^2/2m}=\left(\displaystyle\frac{2\pi m}{\beta}\right)^{3/2}$



Con ello la funci n partici n del gas ideal resulta con

$ Z = B V ^ N \left(\displaystyle\frac{2 \pi m }{ \beta }\right)^{3 N /2}$

con B una constante propia de conversi n de pasar de contar estados discretos a la aproximaci n continua.

(ID 7971)

La energ a interna en funci n de la funci n partici n es con

$U=-\displaystyle\frac{\partial\ln Z}{\partial\beta}$



y como la funci n partici n es con beta $1/J$, constante de normalización $-$, energía del sistema $J$, función partición $-$, numero de partículas $-$ and volumen $m^3$

$\ln( Z ) =\ln( B V ^ N E ^{3 N /2})- \beta E $



se tiene que la energ a interna es con beta $1/J$, constante de normalización $-$, energía del sistema $J$, función partición $-$, numero de partículas $-$ and volumen $m^3$ igual a la energ a del sistema:

$ U = E $

(ID 3611)

Como la funci n partici n de un gas ideal con beta $1/J$, constante de normalización $-$, función partición $-$, masa de la partícula $kg$, numero de partículas $-$ and volumen $m^3$ es igual a

$ Z = B V ^ N \left(\displaystyle\frac{2 \pi m }{ \beta }\right)^{3 N /2}$



por lo que la energ a interna, que se calcula con

$U=-\displaystyle\frac{\partial\ln Z}{\partial\beta}$



resulta con :

$ U =\displaystyle\frac{3}{2} N k_B T $

(ID 3615)

Como la presi n en funci n de la funci n partici n con es igual a

$\bar{p}=\displaystyle\frac{1}{\beta}\displaystyle\frac{\partial\ln Z}{\partial V}$



donde V es el volumen, Z es la funci n partici n y \beta es el inverso de la constante de Boltzman k y la temperatura T.

Como la funci n partici n de un gas ideal es con beta $1/J$, constante de normalización $-$, función partición $-$, masa de la partícula $kg$, numero de partículas $-$ and volumen $m^3$

$ Z = B V ^ N \left(\displaystyle\frac{2 \pi m }{ \beta }\right)^{3 N /2}$



se tiene que la presi n es con beta $1/J$, constante de normalización $-$, función partición $-$, masa de la partícula $kg$, numero de partículas $-$ and volumen $m^3$

$ p =\displaystyle\frac{ N k_B T }{ V }$

que corresponde a la ecuaci n de los gases ideales.

(ID 3614)

En la mec nica estad stica es frecuente de que se tenga que drivar respecto a la temperatura T una funci n que se ha expresado en funci n de \beta con

$ k_B T \equiv\displaystyle\frac{1}{ \beta }$

\\n\\nComo\\n\\n

$\displaystyle\frac{\partial}{\partial T}=\displaystyle\frac{\partial\beta}{\partial T}\displaystyle\frac{\partial}{\partial\beta}=-k\beta^2\displaystyle\frac{\partial}{\partial\beta}$



se tiene que con

$\displaystyle\frac{ \partial }{ \partial T }=- k_B \beta ^2\displaystyle\frac{ \partial }{ \partial \beta }$

(ID 1385)

Como la capacidad cal rica a volumen constante se define con como

$ C_V = \left(\displaystyle\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V $



y la energ a interna U es con

$U=-\displaystyle\frac{\partial\ln Z}{\partial\beta}$



con beta $1/J$, constante de Boltzmann $J/K$ and temperatura $K$

$\displaystyle\frac{ \partial }{ \partial T }=- k_B \beta ^2\displaystyle\frac{ \partial }{ \partial \beta }$



se tiene que beta $1/J$, constante de Boltzmann $J/K$ and temperatura $K$

$ C_V = k_B \beta ^2\displaystyle\frac{\partial^2\ln Z }{\partial \beta ^2}$

(ID 4760)

Como la compresibilidad es con igual a

$ \kappa \equiv-\displaystyle\frac{1}{ V }\left(\displaystyle\frac{\partial V }{\partial p }\right)_ T $



y la presi n se calcula de la funci n partici n con mediante

$\bar{p}=\displaystyle\frac{1}{\beta}\displaystyle\frac{\partial\ln Z}{\partial V}$



se tiene que la compresibilidad es con igual a

$\displaystyle\frac{1}{ k_p }=-\displaystyle\frac{ V }{ \beta }\frac{\partial^2\ln Z }{\partial V ^2}$

(ID 4761)

Con la definici n de la dilataci n t rmica con

$ k_T \equiv \displaystyle\frac{1}{ V } \left(\displaystyle\frac{\partial V }{\partial T }\right)_ p $



Para calcular la variaci n de la presi n con el volumen se puede empelar la compresibilidad que con es

$ \kappa \equiv-\displaystyle\frac{1}{ V }\left(\displaystyle\frac{\partial V }{\partial p }\right)_ T $



se puede escribir con beta $1/J$, constante de Boltzmann $J/K$ and temperatura $K$

$\displaystyle\frac{ \partial }{ \partial T }=- k_B \beta ^2\displaystyle\frac{ \partial }{ \partial \beta }$

\\n\\ncomo\\n\\n

$k_T=\displaystyle\frac{1}{V}\left(\displaystyle\frac{\partial V}{\partial T}\right)_T=\displaystyle\frac{1}{V}\left(\displaystyle\frac{\partial V}{\partial p}\right)_T\left(\displaystyle\frac{\partial p}{\partial T}\right)_V=-k_p\left(\displaystyle\frac{\partial p}{\partial T}\right)_V=k_pk_B\beta^2\left(\displaystyle\frac{\partial p}{\partial\beta}\right)_V$



Como con la presi n es igual a

$\bar{p}=\displaystyle\frac{1}{\beta}\displaystyle\frac{\partial\ln Z}{\partial V}$



se tiene que con

$ k_T = k_p k_B \left(\beta\displaystyle\frac{\partial^2\ln Z }{\partial \beta \partial V }-\displaystyle\frac{\partial \ln Z }{ \partial V }\right)$

(ID 4764)

Como la relaci n entre las capacidades cl rica se tiene que esta se puede calcular de la entalpia con mediante

$ C_p = \left(\displaystyle\frac{\partial H }{\partial T }\right)_ p $



Como la entalpia se puede calcular con de la funci n partici n mediante

$ H =-\displaystyle\frac{\partial \ln Z }{\partial \beta }+\displaystyle\frac{ V }{ \beta }\displaystyle\frac{\partial \ln Z }{\partial V }$



se tiene que con beta $1/J$, constante de Boltzmann $J/K$ and temperatura $K$

$\displaystyle\frac{ \partial }{ \partial T }=- k_B \beta ^2\displaystyle\frac{ \partial }{ \partial \beta }$



es con beta $1/J$, constante de Boltzmann $J/K$ and temperatura $K$

$ C_p = k_B \beta ^2\displaystyle\frac{ \partial^2 \ln Z }{ \partial \beta ^2}+ k_B V \left(\displaystyle\frac{\partial \ln Z }{ \partial V }-\beta \displaystyle\frac{\partial^2 \ln Z }{\partial \beta \partial V }\right)$

(ID 4765)

ID:(176, 0)