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Ideal Gas Model

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Based on the state count, some of the thermodynamic properties of an ideal gas can be calculated.

>Model

ID:(446, 0)



Ideal Gas Model

Description

Based on the state count, some of the thermodynamic properties of an ideal gas can be calculated.

Variables

Symbol
Text
Variable
Value
Units
Calculate
MKS Value
MKS Units
T
T
Absolute temperature
K
k_B
k_B
Constante de Boltzmann
J/K
C
C
Constante de Normalización
-
S
S
Entropia
J/K
S
S
Entropy
J/K
\gamma
gamma
Entropy Constant
-
U
U
Internal energy
J
U
U
Internal Energy
J
M
M
Mass
kg
N
N
Number of particles
-
n
n
Número de Moles
-
N
N
Número de Particulas
-
N
N
Numero de Partículas
-
h
h
Planck constant
Js
p
p
Pressure
Pa
V
V
Volume
m^3
V
V
Volumen
m^3

Calculations


First, select the equation:   to ,  then, select the variable:   to 
mp = N * k_B * T / V p * V = n * R_C * T R_C = N_A * k_B S = N * k_B *((3/2)*log( U / N )+ log( V / N )+ log( g )) g = B *(2* m / h ^2)^3/2 S = N * k_B *ln(( U / N )^(3/2)*( V / N )* gamma )Tk_BCSSgammaUUMNnNNhpVV

Symbol
Equation
Solved
Translated

Calculations

Symbol
Equation
Solved
Translated

 Variable   Given   Calculate   Target :   Equation   To be used
mp = N * k_B * T / V p * V = n * R_C * T R_C = N_A * k_B S = N * k_B *((3/2)*log( U / N )+ log( V / N )+ log( g )) g = B *(2* m / h ^2)^3/2 S = N * k_B *ln(( U / N )^(3/2)*( V / N )* gamma )Tk_BCSSgammaUUMNnNNhpVV



Equations


Examples

Si empleamos el numero de estados para el caso de un gas ideal tendremos que el numero de estados es con

\Omega = \Omega_0 \left(\displaystyle\frac{2 m }{ h ^2}\right)^{3 N /2} V ^ N E ^{3N/2}

\\n\\ncon N el numero de part culas, V el volumen, E la energ a, m la masa de la part cula y h la constante de Planck.\\n\\nSi calculamos el logaritmo del numero de estados y luego diferenciamos se obtiene\\n\\n

\displaystyle\frac{\partial \ln\Omega}{\partial V}=\displaystyle\frac{N}{V}



por lo que se obtiene con :

\bar{p} =\displaystyle\frac{ N }{ V } k_B T

(ID 3447)

La constante de Boltzmann k_B representa un tipo de capacidad cal rica microsc pica. Su s mil macrosc pico es la constante universal de los gases R que considera el n mero de part culas contenidas en un mol. Por ello la relaci n entre la constante universal de los gases, el n mero de Avogadro y la constante de Boltzmann esta dado por:

R_C = N_A k_B

(ID 3747)

Para la presi n p la ecuaci n de los gases se escribe con absolute temperature K, numero de Partículas -, pressure Pa and volume m^3 como

\bar{p} =\displaystyle\frac{ N }{ V } k_B T

\\n\\nEl n mero de part culas puede ser escrito en funci n del n mero de moles mediante\\n\\n

N=nN_A



donde N_A es el n mero de Avogadro. Con la definici n de la constante universal de los gases con

R_C = N_A k_B



se obtiene la forma tradicional de la ecuaci n de los gases con

p V = n R_C T

(ID 3745)

Como la entrop a S se define como la constante de Boltzmann k_B por el logaritmo natural del n mero de estados se tiene con

S \equiv k_B \ln \Omega

\\n\\nse puede estimar para un gas ideal su entrop a. Como el n mero de estados de un gas ideal es\\n\\n

\Omega(E)=\left(B\left(\displaystyle\frac{2m}{h^2}\right)^{3/2}V E^{3/2}\right)^N



con V el volumen, E la energ a y N el n mero de part culas se tiene que con

S = N k_B \left(\displaystyle\frac{3}{2}\ln\displaystyle\frac{ U }{ N }+\ln\displaystyle\frac{ V }{ N }+ \ln \gamma \right)

donde \gamma es una constante asociada a la normalizaci n de la funci n de n mero de estados.

Nota: la entrop a ha sido corregida en la energ a y en el volumen por un factor 1/N de modo que esta sea extensible. Dicho factor se puede obtener directamente del n mero de estados \Omega en la medida que se asume que las part culas son indistinguibles y se requiere incluir todas las permutaciones posibles. Para mayores detalles puede consultarse la llamada paradoja de Gibbs.

(ID 3751)

La constante \gamma corresponde al factor de normalizaci n que permite transformar el espacio de fase en numero de estados. En este caso se tiene con que

\gamma = B \left(\displaystyle\frac{2 m }{ h ^2}\right)^{3/2}

(ID 3752)

La expresi n de la entrop a del gas ideal con entropy J/K, entropy Constant -, internal energy J, number of particles - and volume m^3

S = N k_B \left(\displaystyle\frac{3}{2}\ln\displaystyle\frac{ U }{ N }+\ln\displaystyle\frac{ V }{ N }+ \ln \gamma \right)



con lo que constante se puede reescribir con entropy J/K, entropy Constant -, internal energy J, number of particles - and volume m^3 como

S = N k_B \ln\left(\left(\displaystyle\frac{ U }{ N }\right)^{3/2}\displaystyle\frac{ V }{ N } \gamma \right)

(ID 4807)


ID:(446, 0)