Storyboard

El momento de inercia es el factor en rotación que equivale a la masa en la traslación.

El momento de inercia se puede determinar empíricamente haciendo rotar un cuerpo en torno a un eje o calculando como se distribuye la masa en torno al eje.

>Modelo

ID:(600, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

Una aplicación simple del teorema de Steiner es una masa puntual $m$ a una distancia $L$ del eje. Dado que una masa puntual no tiene dimensiones, no tiene momento de inercia con respecto a su centro de masa. Sin embargo, como el centro de masa está a una distancia de $L$ del eje según el teorema de Steiner,

su momento de inercia será

$ I = m L ^2$

Condiciones

Variables

$L$

Largo del péndulo

$m$

$m$

Masa puntual

$kg$

$I$

Momento de inercia de un péndulo matemático

$kg m^2$

Relación

.

ID:(9880, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

El momento de inercia total $I_t$ de un objeto se calcula sumando los momentos de inercia de sus componentes que son comparables al momento de inercia de una partícula individual,

lo que nos lleva a un momento de inercia resultante de

$I_t=\sum_kI_k$

Condiciones

Variables

$I_k$

Momento de Inercia del k-esimo Elemento

$kg m^2$

$I_t$

Momento de Inercia Total

$kg m^2$

Relación

.

ID:(4438, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

Si el eje no varia y la distribución de la masa no varia el momento de inercia es constante se tiene que es

$ I =\displaystyle\int_V r ^2 \rho dV $

Condiciones

Variables

$I$

Momento de inercia constante

$kg m^2$

$I_0$

Momento de inercia inicial

$kg m^2$

Relación

Desarrollo

Para calcular el momento de inercia de un cuerpo se debe considerar este desglosado en pequeños volúmenes que se suman para obtener el momento de inercia total

$I_t=\sum_kI_k$

Como los momentos de inercia de masas m a una distancia r del eje son

$ I = m r ^2$

\\n\\npor lo que si se define la masa como la densidad \rho por el volumen dV se tiene que el momento de inercia es\\n\\n

$I=\displaystyle\sum_k I_k =\displaystyle\sum_k m_k r_k^2 = \displaystyle\sum_k \rho r_k^2 dV \rightarrow \displaystyle\int_V \rho r^2 dV$

por lo que

$ I =\displaystyle\int_V r ^2 \rho dV $

ID:(10583, 0)

Imagen

>Top

Una barra de masa $m$ y longitud $l$ que gira alrededor de su centro, que coincide con el centro de masa:

ID:(10962, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

El momento de inercia de una barra en rotación alrededor de un eje perpendicular ($\perp$) que pasa por el centro se obtiene al dividir el cuerpo en pequeños volúmenes y sumarlos:

lo que resulta en

$ I_{CM} =\displaystyle\frac{1}{12} m l ^2$

Condiciones

Variables

$l$

Largo de barra delgada

$m$

$m$

Masa del objeto

$kg$

$I_{CM}$

Momento de Inercia CM de una Barra delgada, eje perpendicular

$kg m^2$

Relación

.

ID:(4432, 0)

Imagen

>Top

Una rotación de un cilindro con masa $m$ y radio $r$ alrededor del eje del cilindro, donde el centro de masa (CM) se encuentra a media altura:

ID:(10964, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

El momento de inercia de un cilindro que rota alrededor de un eje paralelo ($\parallel$) que pasa por el centro se calcula al dividir el cuerpo en pequeños volúmenes y sumarlos:

lo que resulta en

$ I_{CM} =\displaystyle\frac{1}{2} m r ^2$

Condiciones

Variables

$m$

Masa del objeto

$kg$

$I_{CM}$

Momento de Inercia CM de un Cilindro, eje paralelo a eje cilindro

$kg m^2$

$r$

Radio de la forma geométrica

$m$

Relación

.

ID:(4434, 0)

Imagen

>Top

En esta situación, un cilindro con masa $m$, radio $r$ y altura $h$ está girando alrededor de un eje que es perpendicular a su propio eje. Este eje pasa por el punto medio de la longitud del cilindro, donde se localiza el centro de masa (CM):

ID:(10965, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

El momento de inercia de un cilindro que gira alrededor de un eje perpendicular ($\perp$) que pasa por el centro se calcula al dividir el cuerpo en pequeños volúmenes y sumarlos:

lo que resulta en

$ I_{CM} =\displaystyle\frac{1}{12} m ( h ^2+3 r ^2)$

Condiciones

Variables

$h$

Altura de cilindro

$m$

$m$

Masa del objeto

$kg$

$I_{CM}$

Momento de Inercia CM de un Cilindro, eje perpendicular a eje cilindro

$kg m^2$

$r$

Radio de la forma geométrica

$m$

Relación

.

ID:(4435, 0)

Imagen

>Top

Un paralelepípedo rectángulo con masa $m$, lados $a$ y $b$, y perpendicular al eje de rotación, está girando alrededor de su centro de masa, que se encuentra en el centro geométrico del cuerpo:

ID:(10973, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

El momento de inercia de un paralelepípedo en rotación alrededor de un eje que pasa por el centro se obtiene al dividir el cuerpo en pequeños volúmenes y luego sumarlos:

esto da como resultado

$ I_{CM} =\displaystyle\frac{1}{12} m ( a ^2+ b ^2)$

Condiciones

Variables

$b$

Ancho de la arista de un paralelepípedo recto

$m$

$a$

Largo de la arista de un paralelepípedo recto

$m$

$m$

Masa del objeto

$kg$

$I_{CM}$

Momento de Inercia CM de un Paralelepípedo, Eje centro de Cara

$kg m^2$

Relación

.

ID:(4433, 0)

Imagen

>Top

Para un paralelepípedo recto con masa $m$ y lado $a$, el centro de masa se encuentra en el centro geométrico:

ID:(10963, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

El momento de inercia de un cubo que rota en torno a un eje que pasa por el centro se obtiene segmentando el cuerpo en pequeños volúmenes sumando:

resultando

$ I_{CM} =\displaystyle\frac{1}{6} m a ^2$

Condiciones

Variables

$a$

Largo de la arista de un paralelepípedo recto

$m$

$m$

Masa del objeto

$kg$

$I_{CM}$

Momento de Inercia CM de un Paralelepípedo, Eje centro de Cara

$kg m^2$

Relación

ID:(10972, 0)

Imagen

>Top

Una esfera con masa $m$ y radio $r$ está girando alrededor de su centro de masa, el cual se encuentra en el centro de la esfera:

ID:(10490, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

El momento de inercia de una esfera en rotación alrededor de un eje que atraviesa su centro se obtiene mediante la segmentación del cuerpo en pequeños volúmenes y sumando:

lo que resulta en

$ I_{CM} =\displaystyle\frac{2}{5} m r ^2$

Condiciones

Variables

$m$

Masa del objeto

$kg$

$I_{CM}$

Momento de Inercia CM de una Esfera

$kg m^2$

$r$

Radio de la forma geométrica

$m$

Relación

.

ID:(4436, 0)

0

Video

Video: Momento de inercia