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Trägheitsmoment
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Das Trägheitsmoment ist der Drehfaktor, der der Masse in der Translation entspricht.
Das Trägheitsmoment kann empirisch bestimmt werden, indem ein Körper um eine Achse gedreht oder berechnet wird, wie sich die Masse um die Achse verteilt.
ID:(600, 0)
Trägheitsmoment eines Teilchens außerhalb der Achse
Gleichung
Eine einfache Anwendung des Steiner'schen Satzes ist eine Punktmasse $m$ in einem Abstand $L$ von einer Achse. Da eine Punktmasse keine Abmessungen hat, besitzt sie kein Trägheitsmoment bezüglich ihres Schwerpunkts. Jedoch, da der Schwerpunkt gemäß dem Steiner'schen Satz einen Abstand von $L$ zur Achse hat,
| $ I = I_{CM} + m d ^2$ |
wird ihr Trägheitsmoment sein:
 $ I = m L ^2$ |
.
ID:(9880, 0)
Berechnungsmethode für das Trägheitsmoment
Gleichung
Das Gesamtträgheitsmoment $I_t$ eines Objekts wird berechnet, indem die Trägheitsmomente seiner Komponenten summiert werden, die mit dem Trägheitsmoment einer einzelnen Teilchen vergleichbar sind,
| $ I = m r ^2$ |
was zu einem resultierenden Trägheitsmoment führt von
| $I_t=\sum_kI_k$ |
ID:(4438, 0)
Calculo del momento de inercia de un cuerpo
Gleichung
Si el eje no varia y la distribución de la masa no varia el momento de inercia es constante se tiene que es
| $ I =\displaystyle\int_V r ^2 \rho dV $ |
Para calcular el momento de inercia de un cuerpo se debe considerar este desglosado en pequeños volúmenes que se suman para obtener el momento de inercia total
| $I_t=\sum_kI_k$ |
Como los momentos de inercia de masas
| $ I = m r ^2$ |
\\n\\npor lo que si se define la masa como la densidad
$I=\displaystyle\sum_k I_k =\displaystyle\sum_k m_k r_k^2 = \displaystyle\sum_k \rho r_k^2 dV \rightarrow \displaystyle\int_V \rho r^2 dV$
por lo que
| $ I =\displaystyle\int_V r ^2 \rho dV $ |
ID:(10583, 0)
Balken, der sich um eine Achse $\perp$ dreht
Bild
Ein Balken mit Masse $m$ und Länge $l$, der um sein Zentrum rotiert, das mit dem Schwerpunkt übereinstimmt:
ID:(10962, 0)
Trägheitsmoment der Stablänge $l$ Achse $\perp$
Gleichung
Das Trägheitsmoment einer Stange, die sich um eine senkrechte ($\perp$) Achse dreht, die durch das Zentrum verläuft, wird ermittelt, indem der Körper in kleine Volumeneinheiten unterteilt und sie summiert werden:
| $ I =\displaystyle\int_V r ^2 \rho dV $ |
was zu folgendem Ergebnis führt:
| $ I_{CM} =\displaystyle\frac{1}{12} m l ^2$ |
.
ID:(4432, 0)
Zylinder, der sich um die Achse $\parallel$ dreht
Bild
Die Drehung eines Zylinders mit Masse $m$ und Radius $r$ um die Achse des Zylinders, wobei sich der Schwerpunkt (CM) in halber Höhe befindet:
ID:(10964, 0)
Zylinderträgheitsmoment, Achse $\parallel$
Gleichung
Das Trägheitsmoment eines Zylinders, der sich um eine zur Hauptachse parallele Achse ($\parallel$) dreht und die durch das Zentrum verläuft, wird ermittelt, indem der Körper in kleine Volumeneinheiten unterteilt und sie summiert werden:
| $ I =\displaystyle\int_V r ^2 \rho dV $ |
was zu folgendem Ergebnis führt:
| $ I_{CM} =\displaystyle\frac{1}{2} m r ^2$ |
.
ID:(4434, 0)
Zylinder, der sich um die Achse $\perp$ dreht
Bild
In dieser Situation rotiert ein Zylinder mit Masse $m$, Radius $r$ und Höhe $h$ um eine Achse, die senkrecht zu seiner eigenen Achse verläuft. Diese Achse verläuft durch den Mittelpunkt der Länge des Zylinders, wo sich der Schwerpunkt (CM) befindet:
ID:(10965, 0)
Zylinderträgheitsmoment, Achse $\perp$
Gleichung
Das Trägheitsmoment eines Zylinders, der sich um eine senkrechte ($\perp$) Achse dreht, die durch das Zentrum verläuft, wird ermittelt, indem der Körper in kleine Volumeneinheiten unterteilt und sie summiert werden:
| $ I =\displaystyle\int_V r ^2 \rho dV $ |
was zu folgendem Ergebnis führt:
| $ I_{CM} =\displaystyle\frac{1}{12} m ( h ^2+3 r ^2)$ |
.
ID:(4435, 0)
Regelmäßiges Parallelepiped-Trägheitsmoment
Bild
Ein rechtwinkliges Quader mit der Masse $m$ und den Seitenlängen $a$ und $b$, das senkrecht zur Rotationsachse steht, dreht sich um seinen Schwerpunkt, der sich im geometrischen Zentrum des Körpers befindet:
ID:(10973, 0)
Trägheitsmoment eines Parallelepipeds
Gleichung
Das Trägheitsmoment eines Quaders, der sich um eine Achse dreht, die durch sein Zentrum verläuft, wird ermittelt, indem der Körper in kleine Volumeneinheiten unterteilt und sie summiert werden:
| $ I =\displaystyle\int_V r ^2 \rho dV $ |
was zu folgendem Ergebnis führt:
| $ I_{CM} =\displaystyle\frac{1}{12} m ( a ^2+ b ^2)$ |
.
ID:(4433, 0)
Gerade parallelepiped
Bild
Im Fall eines rechtwinkligen Quaders mit Masse $m$ und Seitenlänge $a$ befindet sich der Schwerpunkt im geometrischen Zentrum:
ID:(10963, 0)
Momento de inercia de cubo recto
Gleichung
El momento de inercia de un cubo que rota en torno a un eje que pasa por el centro se obtiene segmentando el cuerpo en pequeños volúmenes sumando:
| $ I =\displaystyle\int_V r ^2 \rho dV $ |
resultando
| $ I_{CM} =\displaystyle\frac{1}{6} m a ^2$ |
ID:(10972, 0)
Trägheitsmoment einer Kugel
Gleichung
Das Trägheitsmoment einer Kugel, die sich um eine Achse dreht, die durch ihr Zentrum verläuft, wird durch die Segmentierung des Körpers in kleine Volumeneinheiten und deren Addition gewonnen:
| $ I =\displaystyle\int_V r ^2 \rho dV $ |
was zu folgendem Ergebnis führt:
| $ I_{CM} =\displaystyle\frac{2}{5} m r ^2$ |
.
ID:(4436, 0)
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Video
Video: Trägheitsmoment