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Trayectoria balística
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Si se arroja o dispara un objeto en un campo gravitacional, este realizará dos tipos de movimiento:
• En el eje vertical, se desplazará debido al efecto de la gravedad, lo que significa que estará sometido a la aceleración gravitacional. Para trayectorias de baja altura, esta aceleración puede considerarse constante.
• En el eje horizontal, siempre y cuando se ignore la resistencia del aire, el objeto se desplazará a una velocidad constante, ya que no existe una fuerza que lo acelere o frene.
El resultado es lo que se conoce como una trayectoria balística, que alcanza su distancia máxima cuando se arroja o dispara bajo un ángulo de 45 grados.
ID:(1446, 0)
Visión en la edad media
Concepto
Durante la Edad Media, al observar el vuelo de una bola de cañón, se dibujaba una curva que mostraba una subida pronunciada seguida de una caída casi vertical, como se puede ver en la imagen:
Sin embargo, al analizar las ecuaciones de la cinemática, se sabe que la trayectoria real de la bola de cañón es muy diferente. De hecho, se trata de una parábola que se produce por la combinación del movimiento vertical, causado por la gravedad, y del movimiento horizontal, que es constante.
En otras palabras, el tiempo que la bola permanece en el aire está determinado por su movimiento vertical, mientras que la distancia recorrida en dirección horizontal está determinada por su velocidad horizontal.
ID:(13996, 0)
La trayectoria balística
Concepto
La trayectoria balística suele adoptar la forma de una parábola invertida con un punto de altura máxima alcanzada ($y_{max}$) y un distancia máxima alcanzada ($x_{imp}$) con la tiempo de máxima altura ($t_{max}$) y la tiempo para impacto ($t_{imp}$):
Nota: En rigor estricto, las componentes deben estimarse en función de sus valores al nivel del suelo para determinar con precisión los parámetros de la altura máxima y el punto de impacto.
ID:(12536, 0)
Modelo
Concepto
Variables
Parámetros
Parámetro seleccionado
Cálculos
Ecuación
$ t_{imp} =\displaystyle\frac{ v_0 \sin \phi }{ g }\left(1+\sqrt{1+\displaystyle\frac{ 2 g h }{ v_0 ^2 \sin^2 \phi }}\right)$
t_imp = v_0 *sin( phi )*(1+sqrt(1+2* g * h /(v_0 ^2*sin( phi )^2)))/ g
$ t_{max} =\displaystyle\frac{ v_0 }{ g }\sin \phi $
t_max = v_0 *sin( phi )/ g
$ v_{0x} = v_0 \cos \phi $
v_0x = v_0 *cos( phi )
$ v_{0y} = v_0 \sin \phi $
v_0y = v_0 *sin( phi )
$ x = v_{0x} t $
x = v_0x * t
$ x_{imp} =\displaystyle\frac{ v_0 ^2\sin \phi \cos \phi }{ g }\left(1 + \sqrt{1 + \displaystyle\frac{2 g h }{ v_0 ^2\sin^2 \phi }}\right) $
x_imp = v_0 ^2*sin( phi )*cos( phi )*(1+sqrt(1+2* g * h /( v_0 ^2*sin( phi )^2)))/ g
$ y = h + v_{0y} t -\displaystyle\frac{1}{2} g t ^2$
y = h + v_0y * t - g * t ^2/2
$ y_{max} = h + \displaystyle\frac{ v_0 ^2}{2 g }\sin^2 \phi $
y_max = h + v_0 ^2*sin( phi )^2/(2* g )
ID:(15407, 0)
Velocidad horizontal
Ecuación
Si una masa puntual se mueve con una velocidad inicial ($v_0$) y se dispara bajo un angulo en que se dispara ($\phi$) con respecto a la superficie, entonces su velocidad horizontal inicial ($v_{0x}$) será igual a:
 $ v_{0x} = v_0 \cos \phi $ |
ID:(10932, 0)
Velocidad vertical
Ecuación
Si una masa puntual se mueve con una velocidad inicial ($v_0$) y se dispara bajo un angulo en que se dispara ($\phi$) con respecto a la superficie, entonces su velocidad vertical inicial ($v_{0y}$) será igual a:
| $ v_{0y} = v_0 \sin \phi $ |
ID:(10933, 0)
Distancia horizontal recorrida
Ecuación
El objeto recorre en un tiempo ($t$) a una velocidad horizontal inicial ($v_{0x}$) Una posición en el eje x ($x$) igual a
| $ x = v_{0x} t $ |
La posición ($s$) recorrido con velocidad constante ($v_0$) con la posición inicial ($s_0$), el tiempo ($t$) y el tiempo inicial ($t_0$) es
| $ s = s_0 + v_0 ( t - t_0 )$ |
Por lo tanto, si el movimiento se inicia en el origen ($s_0=0$) al comienzo del tiempo ($t_0=0$), el movimiento se describe con $x=s$ y $v_0=v_{0x}$.
| $ x = v_{0x} t $ |
ID:(10930, 0)
Altura vertical alcanzada
Ecuación
Un objeto despega en el campo terrestre con una velocidad inicial de la aceleración gravitacional ($g$), a una elevación de una altura en que se dispara ($h$) y un ángulo de una velocidad vertical inicial ($v_{0y}$). Alcanzará su objetivo en un tiempo ($t$) con una altura de una posición en el eje y ($y$).
| $ y = h + v_{0y} t -\displaystyle\frac{1}{2} g t ^2$ |
Para el caso en el que aceleración constante ($a_0$) sea igual a la aceleración gravitacional ($a_0=-g$), la trayectoria vertical se puede calcular utilizando la ecuación para la posición ($s$) con la posición inicial ($s_0$), la velocidad inicial ($v_0$), el tiempo ($t$) y el tiempo inicial ($t_0$):
| $ s = s_0 + v_0 ( t - t_0 )+\displaystyle\frac{1}{2} a_0 ( t - t_0 )^2$ |
En el caso en que el movimiento comience en la altura en que se dispara ($h$) ($s_0=h$), el tiempo inicial ($t_0$) ($t_0=0$) y la velocidad vertical inicial ($v_{0y}$) ($v_0=v_{0y}$) estén dados, el movimiento se puede describir mediante la fórmula:
| $ y = h + v_{0y} t -\displaystyle\frac{1}{2} g t ^2$ |
Nota: Si se desea que el blanco esté en un punto más alto que el cañón, se debe emplear una elevación una altura en que se dispara ($h$) negativa.
ID:(10931, 0)
Tiempo de impacto
Ecuación
Si un objeto se mueve con una velocidad de una velocidad inicial ($v_0$) y es disparado con un ángulo de un angulo en que se dispara ($\phi$) respecto a la superficie, la tiempo para impacto ($t_{imp}$) puede ser calculado usando la aceleración gravitacional ($g$) y la altura en que se dispara ($h$):
| $ t_{imp} =\displaystyle\frac{ v_0 \sin \phi }{ g }\left(1+\sqrt{1+\displaystyle\frac{ 2 g h }{ v_0 ^2 \sin^2 \phi }}\right)$ |
Para determinar el tiempo de impacto, podemos utilizar la ecuación de la posición en el eje y ($y$), que depende de la altura en que se dispara ($h$), la velocidad vertical inicial ($v_{0y}$), la aceleración gravitacional ($g$) y el tiempo ($t$), donde la altura es nula:
| $ y = h + v_{0y} t -\displaystyle\frac{1}{2} g t ^2$ |
Esto resulta en un tiempo:
$t=\displaystyle\frac{ v_{y0} +\sqrt{ v_{0y} ^2 + 2 g h }}{g}$
Con la velocidad inicial ($v_0$) y el angulo en que se dispara ($\phi$):
| $ v_{0y} = v_0 \sin \phi $ |
la tiempo para impacto ($t_{imp}$) es:
| $ t_{imp} =\displaystyle\frac{ v_0 \sin \phi }{ g }\left(1+\sqrt{1+\displaystyle\frac{ 2 g h }{ v_0 ^2 \sin^2 \phi }}\right)$ |
ID:(10934, 0)
Distancia de impacto
Ecuación
Si un objeto se mueve con una velocidad inicial ($v_0$) y es disparado a un angulo en que se dispara ($\phi$) respecto a la superficie, la aceleración gravitacional ($g$) y la altura en que se dispara ($h$) se pueden calcular con la siguiente fórmula:
| $ x_{imp} =\displaystyle\frac{ v_0 ^2\sin \phi \cos \phi }{ g }\left(1 + \sqrt{1 + \displaystyle\frac{2 g h }{ v_0 ^2\sin^2 \phi }}\right) $ |
Dado que la tiempo para impacto ($t_{imp}$) con la velocidad inicial ($v_0$), el angulo en que se dispara ($\phi$), la aceleración gravitacional ($g$) y la altura en que se dispara ($h$) es
| $ t_{imp} =\displaystyle\frac{ v_0 \sin \phi }{ g }\left(1+\sqrt{1+\displaystyle\frac{ 2 g h }{ v_0 ^2 \sin^2 \phi }}\right)$ |
entonces la posición en el eje x ($x$) con la velocidad horizontal inicial ($v_{0x}$) y el tiempo ($t$)
| $ x = v_{0x} t $ |
y la velocidad horizontal inicial ($v_{0x}$) con la velocidad inicial ($v_0$) y el angulo en que se dispara ($\phi$)
| $ v_{0x} = v_0 \cos \phi $ |
por lo tanto, obtenemos
| $ x_{imp} =\displaystyle\frac{ v_0 ^2\sin \phi \cos \phi }{ g }\left(1 + \sqrt{1 + \displaystyle\frac{2 g h }{ v_0 ^2\sin^2 \phi }}\right) $ |
ID:(10935, 0)
Tiempo de máxima altura
Ecuación
Si un objeto se mueve con una velocidad de la velocidad inicial ($v_0$) y es disparado con un ángulo de elevación de un angulo en que se dispara ($\phi$) con respecto a la superficie, la altura en la que alcanzará su objetivo, altura máxima alcanzada ($y_{max}$), se puede calcular de la siguiente manera:
| $ t_{max} =\displaystyle\frac{ v_0 }{ g }\sin \phi $ |
La tiempo de máxima altura ($t_{max}$) se alcanza cuando la posición en el eje y ($y$) alcanza un valor máximo. Esta altura puede calcularse con la altura en que se dispara ($h$), la velocidad vertical inicial ($v_{0y}$), la aceleración gravitacional ($g$) y el tiempo ($t$),
| $ y = h + v_{0y} t -\displaystyle\frac{1}{2} g t ^2$ |
cuya derivada respecto al tiempo es nula en el máximo, lo que implica:
$\displaystyle\frac{dy}{dt}=v_{0,y}-gt=0$
Por lo tanto, con la expresión para la velocidad inicial ($v_0$),
| $ v_{0y} = v_0 \sin \phi $ |
tenemos que
| $ t_{max} =\displaystyle\frac{ v_0 }{ g }\sin \phi $ |
ID:(10936, 0)
Máxima altura
Ecuación
Si el objetivo se encuentra a una distancia de la velocidad inicial ($v_0$) y se dispara desde una altura de un angulo en que se dispara ($\phi$) con respecto a la superficie, con una velocidad inicial de la aceleración gravitacional ($g$), entonces la altura que alcanzará El altura máxima alcanzada ($y_{max}$) puede calcularse como:
| $ y_{max} = h + \displaystyle\frac{ v_0 ^2}{2 g }\sin^2 \phi $ |
El altura máxima alcanzada ($y_{max}$) se alcanza en una tiempo de máxima altura ($t_{max}$) con el angulo en que se dispara ($\phi$), la velocidad constante ($v_0$) y la aceleración gravitacional ($g$),
| $ t_{max} =\displaystyle\frac{ v_0 }{ g }\sin \phi $ |
con lo que se puede determinar la posición en el eje y ($y$) con la altura en que se dispara ($h$), la velocidad vertical inicial ($v_{0y}$) y el tiempo ($t$) mediante la ecuación
| $ y = h + v_{0y} t -\displaystyle\frac{1}{2} g t ^2$ |
De este modo, con la velocidad vertical inicial ($v_{0y}$),
| $ v_{0y} = v_0 \sin \phi $ |
en el altura máxima alcanzada ($y_{max}$) es
| $ y_{max} = h + \displaystyle\frac{ v_0 ^2}{2 g }\sin^2 \phi $ |
ID:(10937, 0)