Utilisateur:
Force visqueuse
Équation
Lorsqu'un liquide de viscosité $\eta$ s'écoule entre deux surfaces $S$ à une distance $dz$ avec une différence de vitesse $dv_x$, il subit une force de viscosité $F_v$ donnée par la loi de Newton de la viscosité:
 $ F_v =- S \eta \displaystyle\frac{ \Delta v }{ \Delta z }$ |
ID:(3622, 0)
Force visqueuse, carter de cylindre
Équation
Une force visqueuse ($F_v$) générée par un liquide avec viscosité ($\eta$) entre quelques surfaces parallèles ($S$) et une distance entre les surfaces ($\Delta z$), ainsi que une différence de vitesse entre les surfaces ($\Delta v$) et a vitesse dans un rayon du cylindre ($v$), est calculée comme suit :
| $ F_v =- S \eta \displaystyle\frac{ \Delta v }{ \Delta z }$ |
Dans le cas d'un cylindre, la surface est définie par longueur du tube ($\Delta L$), et par le périmètre de chacun des cylindres internes, qui est calculé en multipliant $2\pi$ par le rayon de position dans un tube ($r$). Avec cela, a force de résistance en cylindre ($F_v$) est calculée en utilisant a viscosité ($\eta$) et a variation de vitesse entre deux rayons ($dv$) pour la largeur du cylindre le variation de rayon dans un tube ($dr$), ce qui donne :
| $ F_v =-2 \pi r \Delta L \eta \displaystyle\frac{ dv }{ dr }$ |
En français, l'énoncé donné serait le suivant :
"Comme la force visqueuse est
| $ F_v =- S \eta \displaystyle\frac{ \Delta v }{ \Delta z }$ |
et la surface du cylindre est
$S=2\pi R L$
où $R$ est le rayon et $L$ est la longueur du canal, la force visqueuse peut être exprimée comme
| $ F_v =-2 \pi r \Delta L \eta \displaystyle\frac{ dv }{ dr }$ |
où $\eta$ représente la viscosité et $dv/dr$ est le gradient de vitesse entre la paroi et l'écoulement.
ID:(3623, 0)
Variation de longueur
Équation
Pour décrire l'écoulement, un système de coordonnées est défini dans lequel le liquide s'écoule de le positionner au début du tube ($L_i$) à Le positionner au bout du tube ($L_e$), ce qui signifie que la pression en a pression en position initiale ($p_i$) est supérieure à celle en a pression en position finale (e) ($p_e$). Ce mouvement dépend de le longueur du tube ($\Delta L$), qui est calculé comme suit :
| $ \Delta L = L_e - L_i $ |
ID:(3802, 0)
Profil de vitesse d'un écoulement à travers un cylindre
Équation
En résolvant l'équation de flux avec la condition aux limites, nous obtenons a vitesse dans un rayon du cylindre ($v$) comme une fonction de le rayon de courbure ($r$), représentée par une parabole centrée sur a vitesse maximal ($v_{max}$) et égale à zéro en le rayon du cylindre ($R$) :
| $ v = v_{max} \left(1-\displaystyle\frac{ r ^2}{ R ^2}\right)$ |
Quand une a différence de pression ($\Delta p$) agit sur une section avec une aire de $\pi R^2$, avec le rayon du cylindre ($R$) comme le rayon de courbure ($r$), elle génère une force représentée par :
$\pi r^2 \Delta p$
Cette force pousse le liquide contre la résistance visqueuse, donnée par :
En égalant ces deux forces, nous obtenons :
$\pi r^2 \Delta p = \eta 2\pi r \Delta L \displaystyle\frac{dv}{dr}$
Ce qui nous conduit à l'équation :
$\displaystyle\frac{dv}{dr} = \displaystyle\frac{1}{2\eta}\displaystyle\frac{\Delta p}{\Delta L} r$
Si nous intégrons cette équation d'une position définie par le rayon de courbure ($r$) jusqu'au bord où se trouve le rayon du cylindre ($R$) (en tenant compte que la vitesse au bord est nulle), nous pouvons obtenir a vitesse dans un rayon du cylindre ($v$) en fonction de le rayon de courbure ($r$) :
Où :
est a vitesse maximal ($v_{max}$) au centre de l'écoulement.
.
ID:(3627, 0)
Vitesse maximale d'écoulement à travers un cylindre
Équation
La valeur de a vitesse maximal ($v_{max}$) au centre d'un cylindre dépend de a viscosité ($\eta$), le rayon du cylindre ($R$) et du gradient créé par a différence de pression ($\Delta p$) et le longueur du tube ($\Delta L$), comme représenté ci-dessous :
| $ v_{max} =-\displaystyle\frac{ R ^2}{4 \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }$ |
Le signe négatif indique que le flux s'effectue toujours dans la direction opposée au gradient, c'est-à-dire, de la zone de plus haute pression vers la zone de plus basse pression.
ID:(3628, 0)
Loi de Hagen Poiseuille
Équation
Si nous examinons le profil de a vitesse dans un rayon du cylindre ($v$) pour un fluide dans un canal cylindrique de rayon rayon du cylindre ($R$), dans lequel a vitesse dans un rayon du cylindre ($v$) varie en fonction de ($$), nous pouvons l'intégrer sur toute la section transversale du canal :
$J_V= \pi \displaystyle\int_0^Rdr r v(r)$
Cela conduit à la loi de Hagen-Poiseuille avec les paramètres le volumique flux ($J_V$), a viscosité ($\eta$), a différence de pression ($\Delta p$) et le longueur du tube ($\Delta L$) :
| $ J_V =-\displaystyle\frac{ \pi R ^4}{8 \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }$ |
Si nous examinons le profil de vitesse dans un rayon du cylindre ($v$) pour un fluide dans un canal cylindrique, où A vitesse dans un rayon du cylindre ($v$) varie en fonction de rayon de position dans un tube ($r$) selon l'expression suivante :
| $ v = v_{max} \left(1-\displaystyle\frac{ r ^2}{ R ^2}\right)$ |
avec le rayon du cylindre ($R$) et a vitesse maximal ($v_{max}$). Nous pouvons calculer a vitesse maximal ($v_{max}$) en utilisant a viscosité ($\eta$), a différence de pression ($\Delta p$), et le longueur du tube ($\Delta L$) comme suit :
| $ v_{max} =-\displaystyle\frac{ R ^2}{4 \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }$ |
Si nous intégrons la vitesse sur toute la section transversale du canal, nous obtenons le volumique flux ($J_V$), défini comme l'intégrale de $\pi r v(r)$ par rapport à rayon de position dans un tube ($r$) de $0$ à rayon du cylindre ($R$). Cette intégrale peut être simplifiée comme suit :
$J_V=-\displaystyle\int_0^Rdr \pi r v(r)=-\displaystyle\frac{R^2}{4\eta}\displaystyle\frac{\Delta p}{\Delta L}\displaystyle\int_0^Rdr \pi r \left(1-\displaystyle\frac{r^2}{R^2}\right)$
L'intégration donne la loi de Hagen-Poiseuille résultante :
| $ J_V =-\displaystyle\frac{ \pi R ^4}{8 \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }$ |
Les articles originaux qui ont donné naissance à cette loi avec un nom combiné étaient:
• Gotthilf Hagen : "Ueber die Gesetze, welche des der Strom des Wassers in röhrenförmigen Gefässen bestimmen" (Sur les lois régissant l'écoulement de l'eau dans des récipients cylindriques), Annalen der Physik und Chemie 46:423442 (1839).
• Jean-Louis-Marie Poiseuille : "Recherches expérimentales sur le mouvement des liquides dans les tubes de très-petits diamètres", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences 9:433544 (1840).
ID:(3178, 0)