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Ondas longitudinales
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La fuerza elástica ($F_k$) es una funci n que depende de el módulo de Elasticidad ($E$), la sección del elemento ($S$), la elongación ($u$) y el largo del cuerpo ($L$).
Esta funci n se puede expresar mediante la definici n de la tensión ($\sigma$)
y la definici n de la deformación ($\epsilon$)
resultando en
Ejemplos
En el caso de la onda longitudinal la deformaci n es en la direcci n de la propagaci n:
Esto aplica ara s lidos pero tambi n para l quidos y gases. En el ultimo caso no hablamos de tensi n si no que de presi n.
La soluci n a la ecuaci n de onda
es de la forma
pero debe cumplir las condiciones de borde libre o fijo. En el caso de borde
- libre la onda se puede desplazar pero no tiene apoyo por lo que la tensi n y con ello la deformaci n deben ser nulas.
- fijo la onda no se puede desplazar pero si puede generar tensi n y con ello deformaci n
En forma gr fica se tiene
La fuerza elástica ($F_k$) es una funci n que depende de el módulo de Elasticidad ($E$), la sección del elemento ($S$), la elongación ($u$) y el largo del cuerpo ($L$).
Esta funci n puede ser reescrita utilizando las definiciones de la tensión ($\sigma$) y la deformación ($\epsilon$), lo que nos lleva a la versi n continua de la Ley de Hooke:
Si se analiza la ecuaci n de movimiento
se descubre que una deformaci n general del tipo
$u = f(x - \sqrt{\displaystyle\frac{E}{\rho}}t)$
por lo que se concluye que el factor
$\sqrt{\displaystyle\frac{E}{\rho}}$
corresponde a la velocidad de propagaci n que llamamos la velocidad del sonido
La ecuaci n de movimiento
con la relaci n
representa la ecuaci n de onda del solido
Como la onda viaja a una velocidad constante, la posici n del m ximo se puede calcular directamente de esta y el tiempo transcurrido. Por ello con
La soluci n general de la ecuaci n de onda
se puede escribir en el espacio complejo como
En el caso de borde fijo el sistema no se puede desplazar por lo que la soluci n
debe ser para todo tiempo y en la coordenadas en que est el borde debe ser nula. Esto es
En el caso de borde libre el sistema no puede generar tensi n por lo que no existe deformaci n ya que
Como la deformaci n es igual a la derivada
se tiene que la derivada de
para todo tiempo y en la coordenadas en que est el borde debe ser nula. Esto es
Como el largo de onda es
y la frecuencia es
se tiene que las frecuencias propia y sus arm nicos son
En el caso de la oscilaci n con bordes libres y fijo o fijos y libre se tiene que el largo de onda debe ser igual a cuatro veces el largo de la cavidad
En el caso de la oscilaci n con bordes libres y fijo o fijos y libre se tiene que el largo de onda debe ser igual a cuatro veces el largo de la cavidad
En el caso de la oscilaci n con ambos bordes libres o ambos fijos se tiene que el largo de onda debe ser un m ltiplo de la mitad del largo
ID:(1885, 0)
