La funci n de Boltzmann describe el transporte de un sistema de part culas descrito por la funci n de distribuci n de velocidades:

equation

donde el termino C describe la interacci n (colisiones) entre estas.

Si los par metros se calculan con\\n\\n

$\chi = m c(\vec{x},t)$

y se promedia sobre la velocidad mediante

equation=9075

se obtiene mediante la masa la estimaci n de la densidad mediante:

equation

Si los par metros se calculan con\\n\\n

$\chi_k = v_k$

promediando sobre la velocidad mediante

equation=9075\\n\\ny con\\n\\n

$c(\vec{x},t)=\displaystyle\frac{1}{m}\rho(\vec{x},t)$

la velocidad del flujo se calcula integrando la funci n distribuci n de velocidad sobre todas las velocidades ponderando sobre las velocidades:

equation

Con el teorema de equipartici n en que\\n\\n

$\displaystyle\frac{1}{2}m\vec{v}\cdot\vec{v}=\displaystyle\frac{3}{2}k_B T$

\\n\\ncon el par metro se calculan con\\n\\n

$\chi = T = \displaystyle\frac{m\vec{v}\cdot\vec{v}}{3k_B}=\displaystyle\frac{\vec{v}\cdot\vec{v}}{3R}\displaystyle\frac{c(\vec{x},t)}{\rho(\vec{x},t)}$

y se promedia promediando sobre la velocidad mediante

equation=9075

y se considera el teorema de equipartici n, la temperatura se podr estimar integrando la energ a cin tica ponderada por la distribuci n de velocidad dividida por la constante de los gases:

equation

Si los par metros se calculan con\\n\\n

$\chi = m c(\vec{x},t)(v_i-u_i)(v_j-u_j)$

y se promedia sobre la velocidad mediante

equation=9075

el tensor del flujo se calcula integrando la funci n distribuci n de velocidad sobre todas las velocidades ponderando sobre las diferencias de velocidades:

equation

La problem tica con sistemas en escala macro que se basan en fen menos microsc picos es que

- los modelos macrosc picos son demasiado simples para reflejar correctamente la din mica

- los modelos microsc picos para describir la realidad macrosc pica no se pueden resolver anal tica y las soluciones num ricas son engorrosas (= exigen muchos recursos computacionales)

El m todo de celdas de Boltzmann busca un camino intermedio. Se basa en la ecuaci n de transporte de Boltzmann, rescata de la parte microsc pica v a el termino de colisiones e implementa una estructura simplificada para calcular los resultados macrosc picos. Hablamos de un enfoque mesoscopico en que podemos, seg n se requiera, reducir el esfuerzo microsc pico perdiendo precisi n pero ahorrando recursos o mejorando la precisi n invirtiendo mas recursos.

El modelo D2Q9 es un modelo bidimensional (D2) en que se se conecta el nodo (punto central) en nodos a lo largo de los ejes cartesianos\\n\\nen el origen\\n\\n

$\vec{e}_0=(0,0)$

\\n\\nen las esquinas\\n\\n

$\vec{e}_1=(1,0)$

(E),\\n

$\vec{e}_2=(0,1)$

(N), \\n

$\vec{e}_3=(-1,0)$

(W) y \\n

$\vec{e}_4=(0,-1)$

(S)\\n\\ny en las diagonales\\n\\n

$\vec{e}_5=(1,1)$

(NE), \\n

$\vec{e}_6=(-1,1)$

(SE), \\n

$\vec{e}_7=(-1,-1)$

(SW) y \\n

$\vec{e}_8=(1,-1)$

(NW)

lo que se representa en la siguiente gr fica:

image

El modelo D3Q15 es un modelo bidimensional (D3) en que se se conecta el nodo (punto central) en nodos a lo largo de los ejes cartesianos\\n\\n

$(1,0,0), (-1,0,0), (0,1,0), (0,-1,0), (0,0,1) y (0,0,-1)$

\\n\\ny en las esquinas del cubo\\n\\n

$(1,0,1), (-1,0,1), (0,1,1) , (0,-1,1), (1,0,-1), (-1,0,-1), (0,1,-1) , (0,-1,-1)$

lo que se representa en la siguiente gr fica:

image

Es facil que se pueden construir modelos del tipo D3Q19 (incluyendo las mitades de las aristas laterales) o D3Q27 (todos los puntos posibles).

En el caso de la discretizaci n en los modelos LBM se trabaja no con funciones de la velocidad si no que con componentes discretas. De esta forma se define la componente i mediante:

equation

en donde w_i es el peso relativo.

En el proceso de streaming se desplazan las part culas seg n sus direcciones de velocidades a las celdas vecinas

equation

donde \vec{x} es la posici n, t el tiempo, \delta t el incremento en el tiempo, \vec{e}_i la direcci n de la grilla y c la velocidad.

Si el choque no ocurre en el punto de la red si no que a una distancia \Delta:

image\\n\\nentonces la funci n debe considerar el desfase ponderando las contribuciones\\n\\n

$f_i(x_f,t+\delta t)=\displaystyle\frac{(1-\Delta)f_{-i}(x_f,t)+\Delta(f_{-i}(x_b,t)+f_{-i}(x_{f2},t)}{1+\Delta}$

Si la pared muestra una inclinaci n respecto de la red debe ser modelada en una forma mas compleja:

image

Borde mas general

Primero debe ser definida una frontera aproximada que permita establecer las ecuaciones de borde necesarias. Luego deben ser aplicadas en el proceso de steraming.

En el caso de un sistema D2Q9 se tienen los 9 valores f_i que hemos acotado como O, N, E, S, W, NE, SE, SW, NW. Si el numero de part culas en la posici n (n,m) se denota como f_i(j.k) se tiene que las ecuaciones son

```

N[x,y] = N[x,y-1]

NW[x,y] = NW[x+1,y-1]

E[x,y] = E[x-1,y]

NE[x,y] = NE[x-1,y-1]

S[x,y] = S[x,y+1]

SE[x,y] = SE[x-1,y+1]

W[x,y] = W[x+1,y]

SW[x,y] = SW[x+1,y+1]

```

En la aproximaci n de relajaci n se supone que la distribuci n f_i(\vec{x},t) tiende a relajarse en un tiempo \tau a una distribuci n en equilibrio f_i^{eq}(\vec{x},t) seg n la ecuaci n\\n\\n

$\displaystyle\frac{df_i}{dt}=-\displaystyle\frac{f_i-f_i^{eq}}{\tau}$

que tiene en la aproximaci n discreta la ecuaci n

equation

donde el termino de las diferencias en las funciones distribuci n representa las colisiones.

En el caso D2Q9 el termino colision se calcula sumando los distintos factores

equation=9084\\n\\npor lo que se tiene para cada celda\\n\\n

$O = O+w(4rho/9)(1-3u2/2) - O)$

\\n

$E = E+w(rho/9)(1+u_x/3+5u_x^2-3u2/2)-E)$

\\n

$W = W+w(rho/9)(1-u_x/3+5u_x^2-3u2/2)-W)$

\\n

$N = N+w(rho/9)(1+u_y/3+5u_y^2-3u2/2)-N)$

\\n

$S = S+w(rho/9)(1-u_y/3+5u_y^2-3u2/2)-S)$

\\n

$NE = NE+w(rho/36)(1+u_x/3+u_y/3+5(u2+2u_xu_y)/2-3u2/2)-NE)$

\\n

$SE = SE+w(rho/36)(1+u_x/3-u_y/3+5(u2-2u_xu_y)/2-3u2/2)-SE)$

\\n

$NW = NW+w(rho/36)(1-u_x/3+u_y/3+5(u2-2u_xu_y)/2-3u2/2)-NW)$

\\n

$SW = SW+w(rho/36)(1-u_x/3-u_y/3+5(u2+2u_xu_y)/2-3u2/2)-SW)$

\\n\\ncon\\n\\n

$u2 = u_x^2+u_y^2$

La distribuci n en equilibrio se puede aproximar por una distribuci n de Maxwell Boltzmann

equation

en donde m es la masa de la part cula, T la temperatura del sistema y k la constante de Boltzmann.

En la aproximaci n Bhatnagar-Gross-Krook la distribuci n en equilibrio se asume como la de un gas de part culas sin interacci n

equation=9082

con \vec{u} la velocidad del flujo, k la constante de Boltzmann, T la temperatura y m la masa de la particula. Si se desarrolla esta expresi n en el limite de velocidades \vec{u} comparada con la velocidad de las moleculas c\hat{e}_i se tiene que

equation

con \omega_i los pesos dados por

que se determinan asegurando que la distribuci n equilibrio cumpla las leyes de conservaci n.

En el caso de part culas de un liquido el m todo LBM permite desarrollar simuladores como se muestra en el ejemplo:

(html file)