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Compresibilidad de solidos
Ecuación

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La compresibilidad de un material esta definida con list=12039 por

$ \kappa \equiv-\displaystyle\frac{1}{ V }\left(\displaystyle\frac{\partial V }{\partial p }\right)_ T $



lo que en este caso se puede aproximar con como

$ k_p = -\displaystyle\frac{1}{ V }\displaystyle\frac{ \Delta V }{ \sigma }$

ID:(8098, 0)


Deformación
Ecuación

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La deformación se define como la variación del largo de un canto del volumen.

Con es

$ \epsilon = \displaystyle\frac{ \Delta u }{ L }$

ID:(8099, 0)


Ley de Hooke en el limite continuo
Ecuación

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La fuerza elástica ($F$) es una función que depende de el módulo de Elasticidad ($E$), sección del elemento ($S$), la elongación ($u$) y el largo del cuerpo ($L$).

$ F =\displaystyle\frac{ E S }{ L } u $



Esta función puede ser reescrita utilizando las definiciones de la tensión ($\sigma$) y la deformación ($\epsilon$), lo que nos lleva a la versión continua de la Ley de Hooke:

$ \sigma = E \epsilon $

$\epsilon$
Deformación
$-$
$E$
Modulo de elasticidad
$Pa$
$\sigma$
Tensión
$Pa$

La fuerza elástica ($F$) es una función que depende de el módulo de Elasticidad ($E$), sección del elemento ($S$), la elongación ($u$) y el largo del cuerpo ($L$).

$ F =\displaystyle\frac{ E S }{ L } u $



Esta función se puede expresar mediante la definición de la tensión ($\sigma$)

$ \sigma =\displaystyle\frac{ F }{ S }$



y la definición de la deformación ($\epsilon$)

$ \epsilon =\displaystyle\frac{ u }{ L }$



resultando en

$ \sigma = E \epsilon $

ID:(8100, 0)


Volumen infinitesimal
Ecuación

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Si se considera un cubo de largo, ancho y alto L el volumen será igual a L^3. Si se aplica una tensión sobre dos caras opuestas se tiene que se deformara en \epsilon en la dirección de la tensión siendo con deformación $-$, modulo de elasticidad $Pa$ y tensión $Pa$

$ \sigma = E \epsilon $



con E el modulo de elasticidad. Mientras se deforme en \epsilon lateralmente lo hará en \epsilon_{\perp} de modo que con

$ \epsilon_{\perp} = - \nu \epsilon_{\parallel} $

\\n\\nComo el largo en la dirección de la tensión pasara de L a L(1+\epsilon) y en la dirección perpendicular a L(1-\nu\epsilon) con \nu el modulo de Poisson.\\n\\nPor ello al aplicar la tensión \sigma el volumen pasara a ser\\n\\n

$L(1+\epsilon)L(1-\nu\epsilon)L(1-\nu\epsilon)=L^3(1-\nu\epsilon-\nu^2\epsilon^2+\nu^3\epsilon^3)$

\\n\\nSi se introduce el volumen V_0 y se supone pequeñas deformaciones (\epsilon\ll 1) se obtiene\\n\\n

$V_0+dV=V_0(1+\epsilon-2\nu\epsilon)$



o en la aproximación de pequeñas deformaciones con

$ \Delta V = V (1-2 \nu ) \epsilon $

ID:(8102, 0)


Compresibilidad y modulo de elasticidad
Ecuación

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Como el volumen deformado es con coeficiente de Poisson $-$, deformación $-$, variación del volumen del cuerpo $m^3$ y volumen del cuerpo $m^3$

$ \Delta V = V (1-2 \nu ) \epsilon $

\\n\\ny la tensión es\\n\\n

$\sigma = E\epsilon$

\\n\\ncon E el modulo de elasticidad. Como la variación de la presión es igual a el promedio de las tensiones en las tres direcciones\\n\\n

$\Delta p=-\displaystyle\frac{1}{2}(\sigma_1+\sigma_2+\sigma_3)$

\\n\\nEn el caso de que solo se tiene tensión en un eje\\n\\n

$\sigma_1=\sigma,,\sigma_2=\sigma_3=0$



se tiene que con compresibilidad del material $1/Pa$, tensión $Pa$, variación del volumen del cuerpo $m^3$ y volumen del cuerpo $m^3$

$ k_p = -\displaystyle\frac{1}{ V }\displaystyle\frac{ \Delta V }{ \sigma }$



por lo que se puede reescribir con compresibilidad del material $1/Pa$, tensión $Pa$, variación del volumen del cuerpo $m^3$ y volumen del cuerpo $m^3$ con

$ k_p = \displaystyle\frac{3(1-2 \nu )}{ E }$

ID:(8103, 0)


Densidad de energía potencial
Ecuación

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La energía de deformación ($W$) en función de el volumen ($V$), el módulo de Elasticidad ($E$) y la deformación ($\epsilon$) es igual a

$ W =\displaystyle\frac{1}{2} V E \epsilon ^2$



Así que si dividimos por el volumen ($V$), obtenemos la densidad de energía de deformación ($w$), que se define como

$ U =\displaystyle\frac{1}{2} E \epsilon ^2$

$\epsilon$
Deformación
$-$
$U$
Densidad de energía elástica
$Pa$
$E$
Modulo de elasticidad
$Pa$

La energía de deformación ($W$) se expresa en función de el volumen ($V$), el módulo de Elasticidad ($E$) y la deformación ($\epsilon$) de la siguiente manera:

$ W =\displaystyle\frac{1}{2} V E \epsilon ^2$



Y con la densidad de energía de deformación ($w$) definido como:

$ w =\displaystyle\frac{ W }{ V }$



Obtenemos:

$ U =\displaystyle\frac{1}{2} E \epsilon ^2$

ID:(8104, 0)


Energía Potencial en función del Volumen
Ecuación

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Como la energía potencial es con deformación $-$, densidad de energía elástica $Pa$ y modulo de elasticidad $Pa$

$ U =\displaystyle\frac{1}{2} E \epsilon ^2$



y la deformación es con coeficiente de Poisson $-$, deformación $-$, variación del volumen del cuerpo $m^3$ y volumen del cuerpo $m^3$

$ \Delta V = V (1-2 \nu ) \epsilon $

\\n\\nse tiene que la energía potencial se puede escribir como\\n\\n

$U=\displaystyle\frac{E}{2(1-2\nu)^2}\displaystyle\frac{\Delta V^2}{V^2}$



Con la compresibilidad con coeficiente de Poisson $-$, compresibilidad del material $1/Pa$ y modulo de elasticidad $Pa$

$ k_p = \displaystyle\frac{3(1-2 \nu )}{ E }$



se tiene con coeficiente de Poisson $-$, compresibilidad del material $1/Pa$ y modulo de elasticidad $Pa$

$ U =\displaystyle\frac{3}{2}\displaystyle\frac{1}{(1-2 \nu ) k_p }\left(\displaystyle\frac{ \Delta V }{ V }\right)^2$

ID:(8105, 0)