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Oscilador armónico
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Mediante el oscilador armónico, podemos analizar la probabilidad de que una partícula se encuentre en una posición o velocidad específica dentro de un rango determinado. Esto nos permite comprender cómo se utiliza el espacio de fase tanto en términos de momento como de posición.

>Modelo

ID:(1558, 0)

Modelo de oscilador armónico
Descripción

Un oscilador armónico es un sistema que esta expuesto a una fuerza proporcional a la distancia al punto de equilibrio que siempre de opone al alejarse de este. Un ejemplo de oscilador armónico lo representa una masa fijada a dos resortes:


ID:(11462, 0)

Curva de en el espacio de fase del oscilador armónico
Descripción

La energía de un oscilador armónico con constante del resorte $N/m$, entropia del sistema $J/K$, masa de la partícula $kg$, momento de la partícula $kg m/s$ y posición $m$ es

$ \displaystyle\frac{ p ^2}{ 2 m E }+\displaystyle\frac{ q ^2}{ 2 E / k }=1 $



lo que se representa como la elipse que muestra la gráfica:


ID:(11467, 0)

Rango en curva de en el espacio de fase del oscilador armónico
Descripción

La probabilidad solo tiene sentido en la medida que se refiere a un rango ya que de lo contrario sería nula. En el caso del oscilador armónico el rango en que buscamos estudiar es el de la energía, es decir la energía del sistema esta entre E y E+dE. Si se representa en el espacio de fase se tiene un rango:


ID:(11468, 0)

Probabilidad de encontrar el oscilador armónico en una posición
Descripción

La probabilidad de encontrar la partícula en una posición entre q y q + dq corresponde a estimar los estados en este rango respecto de la totalidad de los estados para los que la energía esta entre E y E+dE:


ID:(11469, 0)

Probabilidad de encontrar el oscilador armónico con un momento
Descripción

La probabilidad de encontrar la partícula con una memento entre p y p + dp corresponde a estimar los estados en este rango respecto de la totalidad de los estados para los que la energía esta entre E y E+dE:


ID:(11470, 0)

Oscilador armónico
Descripción

Mediante el oscilador armónico, podemos analizar la probabilidad de que una partícula se encuentre en una posición o velocidad específica dentro de un rango determinado. Esto nos permite comprender cómo se utiliza el espacio de fase tanto en términos de momento como de posición.

Variables
Símbolo
Texto
Variable
Valor
Unidades
Calcule
Valor MKS
Unidades MKS
$S$
S
Acción
J s
$k$
k
Constante del resorte
N/m
$p(p)$
p_p
Densidad de probabilidad de un momento
-
$p(q)$
p_q
Densidad de probabilidad de un posición
-
$a$
a
Eje mayor de la elipse
m
$b$
b
Eje menor de la elipse
kg m/s
$dE$
dE
Elemento de energía
J
$dS$
dS
Elemento de superficie de acción
J s
$E$
E
Energía del sistema
J
$S$
S
Entropia del sistema
J/K
$m$
m
Masa de la partícula
kg
$p$
p
Momento de la partícula
kg m/s
$\vec{q}$
&q
Posición
m
$r$
r
Radio de la curvatura
m
$dp$
dp
Rango de momento
kg m/s
$dq$
dq
Rango de posición
m
$S$
S
Superficie de la burbuja de aire
m^2

Cálculos

Primero, seleccione la ecuación:   a ,  luego, seleccione la variable:   a 
Símbolo
Ecuación
Resuelto
Traducido

Cálculos

Símbolo
Ecuación
Resuelto
Traducido

 Variable   Dado   Calcule   Objetivo :   Ecuación   A utilizar


Ecuaciones

Ejemplos

Un oscilador arm nico es un sistema que esta expuesto a una fuerza proporcional a la distancia al punto de equilibrio que siempre de opone al alejarse de este. Un ejemplo de oscilador arm nico lo representa una masa fijada a dos resortes:


(ID 11462)

En el caso cl sico de una part cula de masa m en un potencial arm nico con constante k el sistema puede aceder a cualquier estado (q,p) mientras su energ a sea con

$E=\displaystyle\frac{p^2}{2m}+\displaystyle\frac{1}{2}kq^2$

(ID 3421)

La ecuaci n de la energ a del oscilador arm nico con constante del resorte $N/m$, energía del sistema $J$, masa de la partícula $kg$, momento de la partícula $kg m/s$ y posición $m$

$E=\displaystyle\frac{p^2}{2m}+\displaystyle\frac{1}{2}kq^2$



se puede reescribir en la forma t pica de una ecuaci n de una elipse con constante del resorte $N/m$, energía del sistema $J$, masa de la partícula $kg$, momento de la partícula $kg m/s$ y posición $m$

$ \displaystyle\frac{ p ^2}{ 2 m E }+\displaystyle\frac{ q ^2}{ 2 E / k }=1 $



con los ejes mayor

$ a ^2 =\displaystyle\frac{ 2 E }{ k }$



y el eje menor

$ b ^2 =2 m E $



(ID 11477)

El eje mayor de la elipse del oscilador arm nico en el espacio de fase es con constante del resorte $N/m$, entropia del sistema $J/K$, masa de la partícula $kg$, momento de la partícula $kg m/s$ y posición $m$

$ \displaystyle\frac{ p ^2}{ 2 m E }+\displaystyle\frac{ q ^2}{ 2 E / k }=1 $



es con constante del resorte $N/m$, entropia del sistema $J/K$, masa de la partícula $kg$, momento de la partícula $kg m/s$ y posición $m$ igual a

$ a ^2 =\displaystyle\frac{ 2 E }{ k }$

(ID 11478)

El eje menor de la elipse del oscilador arm nico en el espacio de fase es con constante del resorte $N/m$, entropia del sistema $J/K$, masa de la partícula $kg$, momento de la partícula $kg m/s$ y posición $m$

$ \displaystyle\frac{ p ^2}{ 2 m E }+\displaystyle\frac{ q ^2}{ 2 E / k }=1 $



es igual con constante del resorte $N/m$, entropia del sistema $J/K$, masa de la partícula $kg$, momento de la partícula $kg m/s$ y posición $m$ a

$ b ^2 =2 m E $

(ID 11479)

La energ a de un oscilador arm nico con constante del resorte $N/m$, entropia del sistema $J/K$, masa de la partícula $kg$, momento de la partícula $kg m/s$ y posición $m$ es

$ \displaystyle\frac{ p ^2}{ 2 m E }+\displaystyle\frac{ q ^2}{ 2 E / k }=1 $



lo que se representa como la elipse que muestra la gr fica:


(ID 11467)

La probabilidad solo tiene sentido en la medida que se refiere a un rango ya que de lo contrario ser a nula. En el caso del oscilador arm nico el rango en que buscamos estudiar es el de la energ a, es decir la energ a del sistema esta entre E y E+dE. Si se representa en el espacio de fase se tiene un rango:


(ID 11468)

rea de una elipse

$ S = \pi a b $


(ID 4446)

El rea de una elipse con radio de la curvatura $m$ y superficie de la burbuja de aire $m^2$

$ S = \pi a b $



cuyo eje mayor es constante del resorte $N/m$, eje mayor de la elipse $m$ y energía del sistema $J$

$ a ^2 =\displaystyle\frac{ 2 E }{ k }$



y cuyo eje menor es eje menor de la elipse $kg m/s$, energía del sistema $J$ y masa de la partícula $kg$

$ b ^2 =2 m E $



se calcula con eje menor de la elipse $kg m/s$, energía del sistema $J$ y masa de la partícula $kg$

$ S = 2 \pi E \sqrt{\displaystyle\frac{ m }{ k }}$


(ID 11480)

Usando el rea delipse en el espacio de fase del oscilador arm nico con acción $J s$, constante del resorte $N/m$, energía del sistema $J$ y masa de la partícula $kg$

$ S = 2 \pi E \sqrt{\displaystyle\frac{ m }{ k }}$



el rea en el espacio de fase se obtiene restando el rea en la energ a $E+dE$ al rea en la energ a $E$:

$2 \pi (E + dE)\sqrt{\displaystyle\frac{m}{k}} - 2 \pi E \sqrt{\displaystyle\frac{m}{k}} = 2 \pi E \sqrt{\displaystyle\frac{m}{k}}$



En otras palabras, con acción $J s$, constante del resorte $N/m$, energía del sistema $J$ y masa de la partícula $kg$:

$ dS = 2 \pi \sqrt{\displaystyle\frac{ m }{ k }} dE $


(ID 11482)

La probabilidad de encontrar la part cula en una posici n entre q y q + dq corresponde a estimar los estados en este rango respecto de la totalidad de los estados para los que la energ a esta entre E y E+dE:


(ID 11469)

Con el rea de la capa con constante del resorte $N/m$, elemento de energía $J$, elemento de superficie de acción $J s$ y masa de la partícula $kg$

$ dS = 2 \pi \sqrt{\displaystyle\frac{ m }{ k }} dE $



y la ecuaci n de la elipse con constante del resorte $N/m$, entropia del sistema $J/K$, masa de la partícula $kg$, momento de la partícula $kg m/s$ y posición $m$

$ \displaystyle\frac{ p ^2}{ 2 m E }+\displaystyle\frac{ q ^2}{ 2 E / k }=1 $

\\n\\nse puede calcular la altura del segmento dq\\n\\n

$dp =\displaystyle\frac{\partial}{\partial E}\sqrt{2 m E - k m q^2} dE =\displaystyle\frac{m}{\sqrt{2 m E - m k q ^2}} dE $



con lo que la probabilidad es con constante del resorte $N/m$, entropia del sistema $J/K$, masa de la partícula $kg$, momento de la partícula $kg m/s$ y posición $m$

$ P(q) dq = \displaystyle\frac{ dq }{\sqrt{\displaystyle\frac{2 E }{ k }- q ^2}}$


(ID 11481)

La probabilidad de encontrar la part cula con una memento entre p y p + dp corresponde a estimar los estados en este rango respecto de la totalidad de los estados para los que la energ a esta entre E y E+dE:


(ID 11470)

Con el rea de la capa con constante del resorte $N/m$, elemento de energía $J$, elemento de superficie de acción $J s$ y masa de la partícula $kg$

$ dS = 2 \pi \sqrt{\displaystyle\frac{ m }{ k }} dE $



y la ecuaci n de la elipse con constante del resorte $N/m$, entropia del sistema $J/K$, masa de la partícula $kg$, momento de la partícula $kg m/s$ y posición $m$

$ \displaystyle\frac{ p ^2}{ 2 m E }+\displaystyle\frac{ q ^2}{ 2 E / k }=1 $

\\n\\nse puede calcular la altura del segmento dq\\n\\n

$dq =\displaystyle\frac{\partial}{\partial E}\sqrt{2 E / k - p ^2/ m k } dE=\displaystyle\frac{ m }{\sqrt{2 m E - m k q ^2}} dE$



con lo que la probabilidad es con constante del resorte $N/m$, entropia del sistema $J/K$, masa de la partícula $kg$, momento de la partícula $kg m/s$ y posición $m$

$ P(p) dp = \displaystyle\frac{ dp }{\sqrt{2 m E - p ^2}}$


(ID 11483)

ID:(1558, 0)