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Oscilador armónico
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Mediante el oscilador armónico, podemos analizar la probabilidad de que una partícula se encuentre en una posición o velocidad específica dentro de un rango determinado. Esto nos permite comprender cómo se utiliza el espacio de fase tanto en términos de momento como de posición.
ID:(1558, 0)
Modelo de oscilador armónico
Imagen
Un oscilador armónico es un sistema que esta expuesto a una fuerza proporcional a la distancia al punto de equilibrio que siempre de opone al alejarse de este. Un ejemplo de oscilador armónico lo representa una masa fijada a dos resortes:
ID:(11462, 0)
Energía de un Resorte en el Espacio de Fase
Ecuación
En el caso clásico de una partícula de masa
| $E=\displaystyle\frac{p^2}{2m}+\displaystyle\frac{1}{2}kq^2$ |
ID:(3421, 0)
Elipse en el espacio de fase del oscilador armónico
Ecuación
La ecuación de la energía del oscilador armónico con constante del resorte $N/m$, energía del sistema $J$, masa de la partícula $kg$, momento de la partícula $kg m/s$ y posición $m$
| $E=\displaystyle\frac{p^2}{2m}+\displaystyle\frac{1}{2}kq^2$ |
se puede reescribir en la forma típica de una ecuación de una elipse con constante del resorte $N/m$, energía del sistema $J$, masa de la partícula $kg$, momento de la partícula $kg m/s$ y posición $m$
| $ \displaystyle\frac{ p ^2}{ 2 m E }+\displaystyle\frac{ q ^2}{ 2 E / k }=1 $ |
con los ejes mayor
| $ a ^2 =\displaystyle\frac{ 2 E }{ k }$ |
y el eje menor
| $ b ^2 =2 m E $ |
ID:(11477, 0)
Eje mayor de la elipse del oscilador armónico
Ecuación
El eje mayor de la elipse del oscilador armónico en el espacio de fase es con constante del resorte $N/m$, entropia del sistema $J/K$, masa de la partícula $kg$, momento de la partícula $kg m/s$ y posición $m$
| $ \displaystyle\frac{ p ^2}{ 2 m E }+\displaystyle\frac{ q ^2}{ 2 E / k }=1 $ |
es con constante del resorte $N/m$, entropia del sistema $J/K$, masa de la partícula $kg$, momento de la partícula $kg m/s$ y posición $m$ igual a
| $ a ^2 =\displaystyle\frac{ 2 E }{ k }$ |
ID:(11478, 0)
Eje menor de la elipse del oscilador armónico
Ecuación
El eje menor de la elipse del oscilador armónico en el espacio de fase es con constante del resorte $N/m$, entropia del sistema $J/K$, masa de la partícula $kg$, momento de la partícula $kg m/s$ y posición $m$
| $ \displaystyle\frac{ p ^2}{ 2 m E }+\displaystyle\frac{ q ^2}{ 2 E / k }=1 $ |
es igual con constante del resorte $N/m$, entropia del sistema $J/K$, masa de la partícula $kg$, momento de la partícula $kg m/s$ y posición $m$ a
| $ b ^2 =2 m E $ |
ID:(11479, 0)
Curva de en el espacio de fase del oscilador armónico
Imagen
La energía de un oscilador armónico con constante del resorte $N/m$, entropia del sistema $J/K$, masa de la partícula $kg$, momento de la partícula $kg m/s$ y posición $m$ es
| $ \displaystyle\frac{ p ^2}{ 2 m E }+\displaystyle\frac{ q ^2}{ 2 E / k }=1 $ |
lo que se representa como la elipse que muestra la gráfica:
ID:(11467, 0)
Rango en curva de en el espacio de fase del oscilador armónico
Imagen
La probabilidad solo tiene sentido en la medida que se refiere a un rango ya que de lo contrario sería nula. En el caso del oscilador armónico el rango en que buscamos estudiar es el de la energía, es decir la energía del sistema esta entre
ID:(11468, 0)
Área de la elipse del oscilador armónico en el espacio de fase
Ecuación
El área de una elipse con pi $rad$, radio de la curvatura $m$ y superficie de la burbuja de aire $m^2$
| $ S = \pi a b $ |
cuyo eje mayor es constante del resorte $N/m$, eje mayor de la elipse $m$ y energía del sistema $J$
| $ a ^2 =\displaystyle\frac{ 2 E }{ k }$ |
y cuyo eje menor es eje menor de la elipse $kg m/s$, energía del sistema $J$ y masa de la partícula $kg$
| $ b ^2 =2 m E $ |
se calcula con eje menor de la elipse $kg m/s$, energía del sistema $J$ y masa de la partícula $kg$
 $ S = 2 \pi E \sqrt{\displaystyle\frac{ m }{ k }}$ |
ID:(11480, 0)
Área de la capa del elipse del oscilador armónico en el espacio de fase
Ecuación
Usando el área delipse en el espacio de fase del oscilador armónico con acción $J s$, constante del resorte $N/m$, energía del sistema $J$, masa de la partícula $kg$ y pi $rad$
| $ S = 2 \pi E \sqrt{\displaystyle\frac{ m }{ k }}$ |
el área en el espacio de fase se obtiene restando el área en la energía $E+dE$ al área en la energía $E$:
$2 \pi (E + dE)\sqrt{\displaystyle\frac{m}{k}} - 2 \pi E \sqrt{\displaystyle\frac{m}{k}} = 2 \pi E \sqrt{\displaystyle\frac{m}{k}}$
En otras palabras, con acción $J s$, constante del resorte $N/m$, energía del sistema $J$, masa de la partícula $kg$ y pi $rad$:
| $ dS = 2 \pi \sqrt{\displaystyle\frac{ m }{ k }} dE $ |
ID:(11482, 0)
Probabilidad de encontrar el oscilador armónico en una posición
Imagen
La probabilidad de encontrar la partícula en una posición entre
ID:(11469, 0)
Probabilidad de posición en el oscilador armónico
Ecuación
Con el área de la capa con constante del resorte $N/m$, elemento de energía $J$, elemento de superficie de acción $J s$, masa de la partícula $kg$ y pi $rad$
| $ dS = 2 \pi \sqrt{\displaystyle\frac{ m }{ k }} dE $ |
y la ecuación de la elipse con constante del resorte $N/m$, entropia del sistema $J/K$, masa de la partícula $kg$, momento de la partícula $kg m/s$ y posición $m$
| $ \displaystyle\frac{ p ^2}{ 2 m E }+\displaystyle\frac{ q ^2}{ 2 E / k }=1 $ |
\\n\\nse puede calcular la altura del segmento
$dp =\displaystyle\frac{\partial}{\partial E}\sqrt{2 m E - k m q^2} dE =\displaystyle\frac{m}{\sqrt{2 m E - m k q ^2}} dE $
con lo que la probabilidad es con constante del resorte $N/m$, entropia del sistema $J/K$, masa de la partícula $kg$, momento de la partícula $kg m/s$ y posición $m$
| $ P(q) dq = \displaystyle\frac{ dq }{\sqrt{\displaystyle\frac{2 E }{ k }- q ^2}}$ |
ID:(11481, 0)
Probabilidad de encontrar el oscilador armónico con un momento
Imagen
La probabilidad de encontrar la partícula con una memento entre
ID:(11470, 0)
Probabilidad de momento en el oscilador armónico
Ecuación
Con el área de la capa con constante del resorte $N/m$, elemento de energía $J$, elemento de superficie de acción $J s$, masa de la partícula $kg$ y pi $rad$
| $ dS = 2 \pi \sqrt{\displaystyle\frac{ m }{ k }} dE $ |
y la ecuación de la elipse con constante del resorte $N/m$, entropia del sistema $J/K$, masa de la partícula $kg$, momento de la partícula $kg m/s$ y posición $m$
| $ \displaystyle\frac{ p ^2}{ 2 m E }+\displaystyle\frac{ q ^2}{ 2 E / k }=1 $ |
\\n\\nse puede calcular la altura del segmento
$dq =\displaystyle\frac{\partial}{\partial E}\sqrt{2 E / k - p ^2/ m k } dE=\displaystyle\frac{ m }{\sqrt{2 m E - m k q ^2}} dE$
con lo que la probabilidad es con constante del resorte $N/m$, entropia del sistema $J/K$, masa de la partícula $kg$, momento de la partícula $kg m/s$ y posición $m$
| $ P(p) dp = \displaystyle\frac{ dp }{\sqrt{2 m E - p ^2}}$ |
ID:(11483, 0)
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