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Ley de Darcy
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La ley de Hagen-Poiseuille para el flujo total se puede expresar en términos de una diferencia de presión, el flujo y un factor que puede ser definido como una resistencia hidráulica, lo que da origen a lo que conocemos como la ley de Darcy.
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Ley de Darcy
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La ley de Hagen-Poiseuille para el flujo total se puede expresar en términos de una diferencia de presión, el flujo y un factor que puede ser definido como una resistencia hidráulica, lo que da origen a lo que conocemos como la ley de Darcy.
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Si consideramos el perfil de ERROR:5449,0 de un fluido en un canal cil ndrico, donde la velocidad en un radio del cilindro ($v$) var a en funci n de ERROR:10120,0 de acuerdo con la siguiente expresi n:
con el radio del tubo ($R$) y la velocidad máxima del flujo ($v_{max}$). Podemos calcular la velocidad máxima del flujo ($v_{max}$) utilizando la viscosidad ($\eta$), la diferencia de presión ($\Delta p$) y el largo de tubo ($\Delta L$) de la siguiente manera:
Si integramos la velocidad en toda la secci n transversal del canal, obtendremos el flujo de volumen ($J_V$), definida como la integral de $\pi r v(r)$ con respecto a ERROR:10120,0 desde $0$ hasta ERROR:5417,0. Esta integral se simplifica de la siguiente manera:
$J_V=-\displaystyle\int_0^Rdr \pi r v(r)=-\displaystyle\frac{R^2}{4\eta}\displaystyle\frac{\Delta p}{\Delta L}\displaystyle\int_0^Rdr \pi r \left(1-\displaystyle\frac{r^2}{R^2}\right)$
La integraci n nos lleva a la ley de Hagen-Poiseuille resultante:
El flujo de volumen ($J_V$) se puede determinar a partir de la conductancia hidráulica ($G_h$) y la diferencia de presión ($\Delta p$) utilizando la ecuaci n siguiente:
Adem s, utilizando la relaci n para la resistencia hidráulica ($R_h$):
se obtiene el resultado final:
Dado que la resistencia hidráulica ($R_h$) es igual a la conductancia hidráulica ($G_h$) seg n la siguiente ecuaci n:
y dado que la conductancia hidráulica ($G_h$) se expresa en t rminos de la viscosidad ($\eta$), el radio del tubo ($R$) y el largo de tubo ($\Delta L$) de la siguiente manera:
podemos concluir que:
Si observamos la ley de Hagen-Poiseuille, que nos permite calcular el flujo de volumen ($J_V$) a partir de el radio del tubo ($R$), la viscosidad ($\eta$), el largo de tubo ($\Delta L$) y la diferencia de presión ($\Delta p$):
podemos introducir la conductancia hidráulica ($G_h$) definido en t rminos de el largo de tubo ($\Delta L$), el radio del tubo ($R$) y la viscosidad ($\eta$) de la siguiente manera:
y as obtener:
Ejemplos
Cuando se expone un tubo lleno de l quido con ERROR:5422,0 a la presión en la posición inicial ($p_i$) en el posición al inicio del tubo ($L_i$) y la presión en la posición final (e) ($p_e$) en el posición al final del tubo ($L_e$), se genera una diferencia de presión ($\Delta p_s$) a lo largo de el largo de tubo ($\Delta L$), lo que da como resultado el perfil de la velocidad en un radio del cilindro ($v$):
En flujos con valores bajos de el número de Reynold ($Re$), donde la viscosidad es m s significativa que la inercia del l quido, el flujo se desarrolla de manera laminar, es decir, sin la presencia de turbulencias.
El perfil de la velocidad en un radio del cilindro ($v$) en el radio de la posición en un tubo ($r$) permite calcular el flujo de volumen ($J_V$) en un tubo mediante una integraci n de toda la superficie, lo que nos conduce a la conocida ley de Hagen-Poiseuille.
El resultado es una ecuaci n que depende de ERROR:5417,0 elevado a la cuarta potencia. No obstante, es fundamental tener en cuenta que este perfil de flujo solo se mantiene en caso de que el flujo sea laminar.
Con ello, se deduce de la viscosidad ($\eta$) que el flujo de volumen ($J_V$) ante un largo de tubo ($\Delta L$) y un diferencial de la presión ($\Delta p$) la expresi n:
Los articulos originales que dieron origen a esta ley con un nombre combinado fueron:
"Ueber die Gesetze, welche des der Strom des Wassers in r hrenf rmigen Gef ssen bestimmen" (Sobre las leyes que rigen el flujo del agua en recipientes cil ndricos), Gotthilf Hagen, Annalen der Physik und Chemie 46:423442 (1839)
"Recherches exp rimentales sur le mouvement des liquides dans les tubes de tr s-petits diam tres" (Investigaci n experimental sobre el movimiento de l quidos en tubos de di metros muy peque os), Jean-Louis-Marie Poiseuille, Comptes Rendus de l'Acad mie des Sciences 9:433544 (1840).
Si observamos la ley de Hagen-Poiseuille, que nos permite calcular el flujo de volumen ($J_V$) a partir de el radio del tubo ($R$), la viscosidad ($\eta$), el largo de tubo ($\Delta L$) y la diferencia de presión ($\Delta p$):
podemos introducir la conductancia hidráulica ($G_h$) definido en t rminos de el largo de tubo ($\Delta L$), el radio del tubo ($R$) y la viscosidad ($\eta$) de la siguiente manera:
y as obtener:
Dado que la resistencia hidráulica ($R_h$) es igual a la conductancia hidráulica ($G_h$) seg n la siguiente ecuaci n:
y dado que la conductancia hidráulica ($G_h$) se expresa en t rminos de la viscosidad ($\eta$), el radio del tubo ($R$) y el largo de tubo ($\Delta L$) de la siguiente manera:
podemos concluir que:
El flujo de volumen ($J_V$) se puede calcular a partir de la conductancia hidráulica ($G_h$) y la diferencia de presión ($\Delta p$) mediante la siguiente ecuaci n:
Por otro lado con lado con la relaci n para la resistencia hidráulica ($R_h$)
por lo que se obtiene
que Henry Darcy formul [1] para modelar el comportamiento general de medios porosos m s complejos por los cuales fluye un l quido.
La genialidad de esta forma de reescribir la ley de Hagen-Poiseuille es que muestra la analog a que existe entre el flujo de corriente el ctrica y el flujo de l quido. En este sentido, la ley de Hagen-Poiseuille corresponde a la ley de Ohm. Esto abre la posibilidad de aplicar los conceptos de redes el ctricas a sistemas de tuber as por donde fluye un l quido.
Esta ley, tambi n conocida como Ley de Darcy-Weisbach, fue publicada por primera vez en la obra de Darcy:
[1] "Les fontaines publiques de la ville de Dijon" (Las Fuentes P blicas de la Ciudad de Dijon), Henry Darcy, Victor Dalmont Editeur, Par s (1856).
El experimento de Darcy involucra un cilindro lleno con un material a estudiar y un l quido de inter s. En la parte inferior del cilindro, hay una v lvula que regula la salida del l quido. Tanto en la parte superior como en la inferior, hay columnas de l quido asociadas para determinar las presiones presentes. De esta manera, se miden las presiones, la cantidad de l quido que fluye y el tiempo transcurrido, lo cual permite determinar la resistencia hidr ulica.
El flujo de volumen ($J_V$) se puede calcular con la ley de Hagen-Poiseuille que con los par metros la viscosidad ($\eta$), la diferencia de presión ($\Delta p$), el radio del tubo ($R$) y el largo de tubo ($\Delta L$) es:
Con el radio del tubo ($R$), la viscosidad ($\eta$) y el largo de tubo ($\Delta L$) se tiene que una conductancia hidráulica ($G_h$) es:
Con la introducci n de la conductancia hidráulica ($G_h$), podemos reformular la ecuaci n de Hagen-Poiseuille con la diferencia de presión ($\Delta p$) y el flujo de volumen ($J_V$) a trav s de la siguiente ecuaci n:
En el contexto de la resistencia el ctrica, existe su inverso, conocido como la conductancia el ctrica. De manera an loga, se puede definir lo que ser a la conductancia hidráulica ($G_h$) en funci n de la resistencia hidráulica ($R_h$) mediante la expresi n:
Dado que la resistencia hidráulica ($R_h$) es igual al inverso de la conductancia hidráulica ($G_h$), podemos calcularlo a partir de la expresi n de este ltimo. De esta manera, podemos identificar par metros relacionados con la geometr a (el largo de tubo ($\Delta L$) y el radio del tubo ($R$)) y el tipo de l quido (la viscosidad ($\eta$)), que pueden ser denominados colectivamente como una resistencia hidráulica ($R_h$):
Darcy reescribe la ecuaci n de Hagen Poiseuille de modo que la diferencia de presión ($\Delta p$) es igual a la resistencia hidráulica ($R_h$) por el flujo de volumen ($J_V$):
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