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Experimento de vaciado de columna
Definición 
Esto significa que a medida que la columna se va vaciando y la altura $h$ se reduce, la velocidad $v$ también disminuye de manera proporcional.
Los parámetros clave son:
• Diámetro interior de la cubeta: 93 mm
• Diámetro interior del canal de evacuación: 3 mm
• Longitud del canal de evacuación: 18 mm
Estos parámetros son importantes para comprender y analizar el proceso de vaciado de la columna y cómo la velocidad de salida varía con la altura.
ID:(9870, 0)
Vaciado de columna de líquido viscoso
Descripción
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Cálculos
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Ecuación
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Ecuaciones
(ID 939)
Si consideramos el perfil de ERROR:5449,0 de un fluido en un canal cil ndrico, donde la velocidad en un radio del cilindro ($v$) var a en funci n de ERROR:10120,0 de acuerdo con la siguiente expresi n:
| $ v = v_{max} \left(1-\displaystyle\frac{ r ^2}{ R ^2}\right)$ |
con el radio del tubo ($R$) y la velocidad máxima del flujo ($v_{max}$). Podemos calcular la velocidad máxima del flujo ($v_{max}$) utilizando la viscosidad ($\eta$), la diferencia de presión ($\Delta p$) y el largo de tubo ($\Delta L$) de la siguiente manera:
| $ v_{max} =-\displaystyle\frac{ R ^2}{4 \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }$ |
Si integramos la velocidad en toda la secci n transversal del canal, obtendremos el flujo de volumen ($J_V$), definida como la integral de $\pi r v(r)$ con respecto a ERROR:10120,0 desde $0$ hasta ERROR:5417,0. Esta integral se simplifica de la siguiente manera:
$J_V=-\displaystyle\int_0^Rdr \pi r v(r)=-\displaystyle\frac{R^2}{4\eta}\displaystyle\frac{\Delta p}{\Delta L}\displaystyle\int_0^Rdr \pi r \left(1-\displaystyle\frac{r^2}{R^2}\right)$
La integraci n nos lleva a la ley de Hagen-Poiseuille resultante:
| $ J_V =-\displaystyle\frac{ \pi R ^4}{8 \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }$ |
(ID 3178)
Si hay la diferencia de presión ($\Delta p$) entre dos puntos, como lo indica la ecuaci n:
| $ dp = p - p_0 $ |
podemos usar la presión de la columna de agua ($p$), que es:
| $ p_t = p_0 + \rho_w g h $ |
Esto nos da:
$\Delta p=p_2-p_1=p_0+\rho_wh_2g-p_0-\rho_wh_1g=\rho_w(h_2-h_1)g$
Dado que la diferencia de altura ($\Delta h$) es:
| $ \Delta h = h_2 - h_1 $ |
la diferencia de presión ($\Delta p$) se puede expresar como:
| $ \Delta p = \rho_w g \Delta h $ |
(ID 4345)
El flujo se define como el volumen el elemento de volumen ($\Delta V$) dividido por el tiempo el tiempo transcurrido ($\Delta t$), lo cual se expresa en la siguiente ecuaci n:
| $ J_V =\displaystyle\frac{ \Delta V }{ \Delta t }$ |
y el volumen es el producto de la secci n la sección del tubo ($S$) por el desplazamiento el elemento del tubo ($\Delta s$):
| $ \Delta V = S \Delta s $ |
Dado que el desplazamiento el elemento del tubo ($\Delta s$) dividido por el tiempo el tiempo transcurrido ($\Delta t$) equivale a la velocidad, se representa con:
| $ j_s =\displaystyle\frac{ \Delta s }{ \Delta t }$ |
Por lo tanto, el flujo es una densidad de flujo ($j_s$), que se calcula mediante:
| $ j_s = \displaystyle\frac{ J_V }{ S }$ |
(ID 4349)
Si el flujo a trav s del tubo se describe mediante la ecuaci n:
| $ J_V =-\displaystyle\frac{ \pi R ^4}{8 \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }$ |
y la diferencia de presi n $\Delta p$ es proporcional a la altura de la columna $\Delta h = h$,
| $ \Delta p = \rho_w g \Delta h $ |
podemos aplicar la conservaci n del flujo $J_{V1}=J_V$ entre el tubo y la columna $J_{V2}$,
| $ J_{V1} = J_{V2} $ |
,
donde el flujo en la columna $J_{V2}$ de secci n $S$ est dado por:
| $ j_s = \displaystyle\frac{ J_V }{ S }$ |
Aqu , la densidad de flujo $j_s$ corresponde a la velocidad media, que es igual a la variaci n de la altura en el tiempo:
$j_s = \displaystyle\frac{dh}{dt}$
De esta manera, obtenemos la ecuaci n para la altura de la columna en funci n del tiempo:
| $ S \displaystyle\frac{dh}{dt} = - \displaystyle\frac{\pi R^4}{\Delta L}\displaystyle\frac{\rho g}{8 \eta} h $ |
(ID 14520)
Si en la ecuaci n
| $ S \displaystyle\frac{dh}{dt} = - \displaystyle\frac{\pi R^4}{\Delta L}\displaystyle\frac{\rho g}{8 \eta} h $ |
se reemplazan las constantes mediante
| $ \tau_{hp} = \displaystyle\frac{S \Delta L}{\pi R^4}\displaystyle\frac{8 \eta}{\rho g}$ |
se obtiene la ecuaci n diferencial lineal de primer orden
$\displaystyle\frac{dh}{dt}=\displaystyle\frac{1}{\tau_{hp}} h$
cuya soluci n es
| $h = h_0 e^{-t/\tau_{hp}}$ |
(ID 14522)
Ejemplos
Si se tiene una altura de la columna ($h$) de l quido con la densidad del líquido ($\rho_w$) bajo el efecto de la gravedad, utilizando la aceleración gravitacional ($g$), se genera el diferencial de la presión ($\Delta p$) de acuerdo con:
| $ \Delta p = \rho_w g \Delta h $ |
Esta el diferencial de la presión ($\Delta p$) produce, a trav s del tubo de salida con el largo de tubo ($\Delta L$), el radio del tubo ($R$) y la viscosidad ($\eta$), un flujo de un flujo de volumen 1 ($J_{V1}$) seg n la ley de Hagen-Poiseuille:
| $ J_V =-\displaystyle\frac{ \pi R ^4}{8 \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }$ |
Dado que esta ecuaci n incluye la sección en el punto 2 ($S_2$), es posible calcular la densidad de flujo 2 ($j_{s2}$) mediante:
| $ j_s = \displaystyle\frac{ J_V }{ S }$ |
Con esto, se obtiene:
| $ j_s = \displaystyle\frac{ \rho_w g R ^2}{8 \eta \Delta L } h $ |
que corresponde a una velocidad media.
Para modelar el sistema, los par metros clave son:
• Di metro interior de la cubeta: 93 mm
• Di metro interior del canal de evacuaci n: 3,2 mm
• Longitud del canal de evacuaci n: 18 mm
La altura inicial del l quido es de 25 cm.
(ID 9870)
ID:(1969, 0)