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Propagación de un pulso
Imagen
Al igual que una onda sinusoidal se propaga lo hace un pulso:
Esto se debe a que las soluciones de las ecuaciones que describen las oscilaciones son lineales y por ello pueden ser sumadas pudiéndose generar cualquier forma.
ID:(12373, 0)
Ecuación de onda
Ecuación
La ecuación de movimiento
| $\displaystyle\frac{\partial^2 u_i}{\partial t^2}=\displaystyle\frac{ E }{ \rho }\displaystyle\frac{\partial^2 u_i}{\partial x^2}$ |
con la relación
| $ c ^2 = \displaystyle\frac{ E }{ \rho }$ |
representa la ecuación de onda del solido
 $\displaystyle\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}= c ^2\displaystyle\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$ |
ID:(14180, 0)
Solución general de la ecuación de onda
Ecuación
La solución general de la ecuación de onda
| $\displaystyle\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}= c ^2\displaystyle\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$ |
se puede escribir en el espacio complejo como
| $ z = z_0 e^{ i( k s - \omega t )}$ |
ID:(14187, 0)
Posición del máximo
Ecuación
Como la onda viaja a una velocidad constante, la posición del máximo se puede calcular directamente de esta y el tiempo transcurrido. Por ello con debe ser
| $ s = c t $ |
ID:(12377, 0)
Vector de onda
Ecuación
Como la solución general de la ecuación de onda es amplitud del oscilador $m$, amplitud máxima $m$, frecuencia angular propia $rad/s$, posición $m$, tiempo $s$ y velocidad de la onda $m/s$ la forma
| $ u = u_0 \cos(\omega_0 ( \displaystyle\frac{ s }{ c } - t ))$ |
se puede introducir el concepto de vector de onda definido (en el caso unidimensional) con amplitud del oscilador $m$, amplitud máxima $m$, frecuencia angular propia $rad/s$, posición $m$, tiempo $s$ y velocidad de la onda $m/s$ como
| $ k = \displaystyle\frac{ \omega }{ c }$ |
ID:(12382, 0)
Cuerda
Imagen
Si hacemos oscilar una cuerda veremos que la oscilación se propaga a lo largo de esta:
Podemos reconocer que si la agitamos en forma uniforme, la propagación será tal que:
• Las máximas amplitudes se desplazaran con una velocidad característica. Esta velocidad la denominaremos velocidad de fase.
• La distancia entre los máximos es siempre la misma. Dicha distancia la denominaremos largo de onda y la denotaremos con la letra lambda.
ID:(12372, 0)
Largo de onda y velocidad de la onda
Ecuación
La velocidad de la onda ($c$) es una velocidad, lo que significa que es igual a una longitud, como la largo de onda ($\lambda$), dividida por el tiempo que tarda una oscilación en avanzar, es decir, la periodo del resorte ($T$). Por lo tanto, obtenemos:
| $ c = \displaystyle\frac{ \lambda }{ T }$ |
ID:(12378, 0)
Velocidad, largo y frecuencia de la onda
Ecuación
La velocidad del sonido ($c$) es una velocidad, lo que significa que es igual a una longitud, como el largo de Onda de Sonido ($\lambda$), dividida por el tiempo que tarda una oscilación en avanzar. Dado que el inverso del tiempo es la frecuencia ($\nu$), podemos expresarlo como:
| $ c = \lambda \nu $ |
La velocidad del sonido ($c$) con el largo de Onda de Sonido ($\lambda$) y la período ($T$) se expresa como
| $ c = \displaystyle\frac{ \lambda }{ T }$ |
y puede ser reescrita con la frecuencia ($\nu$) como
| $ \nu =\displaystyle\frac{1}{ T }$ |
lo que nos da la relación
| $ c = \lambda \nu $ |
ID:(12384, 0)
Onda que se propaga con vector de onda
Ecuación
Como la solución general con amplitud del oscilador $m$, amplitud máxima $m$, frecuencia angular propia $rad/s$, posición $m$, tiempo $s$ y velocidad de la onda $m/s$
| $ u = u_0 \cos(\omega_0 ( \displaystyle\frac{ s }{ c } - t ))$ |
y la relación del vector de onda con frecuencia angular $rad/s$, vector de onda $rad/m$ y velocidad de la onda $m/s$
| $ k = \displaystyle\frac{ \omega }{ c }$ |
se puede reescribir con frecuencia angular $rad/s$, vector de onda $rad/m$ y velocidad de la onda $m/s$ como
| $ u = u_0 \cos( k s - \omega_0 t )$ |
ID:(12385, 0)
Solución general de la onda que se propaga
Ecuación
Como la solución de la ecuación de las ondas tiene con la forma
| $ x = A \cos(\omega_0 t + \phi )$ |
Si se asume la fase como cero
$t = \displaystyle\frac{ s }{ c }$
Como el máximo de la solución es aquel punto en que el argumento es nulo, se tiene que este se puede describir por el tiempo transcurrido menos el tiempo asociado a la posición del máximo, o sea con
| $ u = u_0 \cos(\omega_0 ( \displaystyle\frac{ s }{ c } - t ))$ |
ID:(12381, 0)
Vector de onda y largo de onda
Ecuación
Como la frecuencia angular se puede escribir con la forma
| $ \omega = 2 \pi \nu $ |
y se tiene la relación de la velocidad de la onda con frecuencia $Hz$, largo de onda $m$ y velocidad de la onda $m/s$
| $ c = \lambda \nu $ |
la relación del vector de onda con frecuencia angular $rad/s$, vector de onda $rad/m$ y velocidad de la onda $m/s$
| $ k = \displaystyle\frac{ \omega }{ c }$ |
se puede calcular el vector de onda con frecuencia angular $rad/s$, vector de onda $rad/m$ y velocidad de la onda $m/s$ mediante
| $ k = \displaystyle\frac{ 2 \pi }{ \lambda }$ |
ID:(12383, 0)
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Video
Video: Ondas que viajan