mechanisms

Wenn wir den Fluss als eine Reihe von Volumina mit den Seitenl ngen $\Delta x$, $\Delta y$ und $\Delta z$ betrachten, die sich in der Str mung bewegen, k nnen wir annehmen, dass die darin enthaltene Energie konstant bleibt. Dies bedeutet, dass die berechnete Energie-Dichte an jedem Punkt immer gleich sein wird.

image

Wenn das Medium eine Dichte von $\rho$ aufweist, kann die Masse des Volumens $\Delta x\Delta y\Delta z$ berechnet werden als:

$m=\rho\Delta x\Delta y\Delta z$

Daraus k nnen wir die kinetische Energie des Elements unter Verwendung der Geschwindigkeit $v$ absch tzen:

$\displaystyle\frac{1}{2}m v^2=\displaystyle\frac{1}{2}\rho\Delta x\Delta y\Delta z v^2$

Dies kann in folgender Abbildung visualisiert werden:

image

Daher betr gt die Dichte der kinetischen Energie

$\displaystyle\frac{m v^2}{2 \Delta x\Delta y\Delta z}=\displaystyle\frac{1}{2}\rho v^2$

Wenn das Medium eine Dichte von $\rho$ hat, kann die Masse des Volumens $\Delta x\Delta y\Delta z$ berechnet werden als

$m=\rho\Delta x\Delta y\Delta z$

mit dem, was Sie mit der H he $h$ der potentiellen Gravitationsenergie des Elements absch tzen k nnen

$mgh=\rho\Delta x\Delta y\Delta z gh$

was wird in angezeigt

image

Daher betr gt die Dichte der potentiellen Gravitationsenergie

$\displaystyle\frac{mgh}{\Delta x\Delta y\Delta z}=\rho g h$

Wenn wir davon ausgehen, dass eine Kraft auf das Element wirkt und das Koordinatensystem so orientieren, dass diese Kraft in Richtung der x-Achse wirkt, dann wird die Kraft Arbeit leisten:

$F\Delta x$

Wenn die Kraft durch einen Druck erzeugt wird, dann wirkt die Kraft auf die Fl che senkrecht zur Richtung der Kraft, also $\Delta y \Delta z$. Somit ergibt sich die Energie zu:

$F = p \Delta S = p \Delta y\Delta z$

Dies kann in der folgenden Abbildung visualisiert werden:

image

Daher ist die Dichte der allgemeinen Energie

$\displaystyle\frac{F \Delta x}{\Delta x\Delta y\Delta z}=\displaystyle\frac{p \Delta x\Delta y\Delta z}{\Delta x\Delta y\Delta z}=p$

Die Bernoulli-Hypothese besagt, dass Energie lokal erhalten bleibt, was bedeutet, dass es keine Mechanismen gibt, die es einem Volumen des Mediums erm glichen, Energie mit seiner Umgebung auszutauschen. Wenn wir die Energiegleichung $E$ betrachten, die Folgendes umfasst:

• Die kinetische Energie als Funktion der Masse $m$ und der Geschwindigkeit die Geschwindigkeit auf einer Zylinder-Radio ($v$),
• Die potenzielle Gravitationsenergie als Funktion von die Gravitationsbeschleunigung ($g$) und die Höhe der Säule ($h$) und
• Eine externe Kraft $F$, die die Fl ssigkeit um eine Entfernung $\Delta z$ verschiebt,
k nnen wir sie wie folgt ausdr cken:

$E=\displaystyle\frac{m}{2}v^2+mgh+F\Delta x$

Wenn wir die Energie in einem Volumen $\Delta x\Delta y\Delta z$ betrachten, k nnen wir die Masse durch die Dichte ($\rho$) ersetzen:

$m=\rho \Delta x\Delta y\Delta z$

Und da die Druck der Wassersäule ($p$) wie folgt ausgedr ckt wird:

$F=p \Delta S =p \Delta y\Delta z$

erhalten wir die Gleichung f r die Energiedichte ($e$):

equation=3159

In Abwesenheit von Viskosit t impliziert die Energieerhaltung, dass die Energiedichte ($e$) an jeder Stelle im Fluid konstant ist. Daher reicht es aus, die Geschwindigkeit und/oder den Druck an jeder Stelle im Fluid zu kennen, um eine Beziehung zwischen Geschwindigkeit und Druck an jeder Stelle im Fluid herzustellen.

Die Hypothese des Bernoulli-Gesetzes besagt, dass die Energie, und somit auch die Energiedichte ($e$), konstant bleibt. In diesem Fall ist die Energiedichte die Summe aus:

• Kinetischer Energie, die von die Flüssigkeitsdichte ($\rho_w$) und die Geschwindigkeit auf einer Zylinder-Radio ($v$) abh ngt,
• Gravitationspotenzieller Energie, die von die Gravitationsbeschleunigung ($g$) und die Höhe der Säule ($h$) abh ngt,
• Allgemeiner potenzieller Energie, die von die Druck ($p$) abh ngt,
resultierend in:

equation=3159

Dies beschr nkt jedoch die Anwendbarkeit des Gesetzes, da:

• Viskosit t ein Prozess ist, bei dem Energie durch das Medium diffundiert, und in diesem Sinne wird Energie lokal nicht erhalten, da sie sich im Medium neu verteilt.

• Wirbel k nnen nicht existieren, da sie inh rent Zonen unterschiedlicher Energiedichten aufweisen, was der Hypothese widerspricht. Dies bedeutet, dass es keinen turbulenten Fluss beschreiben w rde.

Das Problem besteht darin, dass in den meisten F llen der Fluss von Viskosit t dominiert werden kann, was als laminarer Fluss bezeichnet wird, oder von Tr gheit dominiert wird, was zu turbulentem Fluss f hrt. Daher ist das Bernoulli-Gesetz nur in Situationen anwendbar, in denen die Inhomogenit t der Energiedichte geringer ist.

Angenommen, dass die Energiedichte ($e$) erhalten bleibt, k nnen wir feststellen, dass f r eine Zelle, in der die Durchschnittsgeschwindigkeit die Geschwindigkeit auf einer Zylinder-Radio ($v$) betr gt, die Dichte die Dichte ($\rho$), der Druck die Druck der Wassersäule ($p$), die H he die Höhe der Säule ($h$) und die Gravitationsbeschleunigung die Gravitationsbeschleunigung ($g$) folgendes gilt:

equation=3159

An Punkt 1 wird diese Gleichung gleich der gleichen Gleichung an Punkt 2 sein:

$e(v_1,p_1,h_1)=e(v_2,p_2,h_2)$

wobei die Mittlere Geschwindigkeit der Flüssigkeit in Punkt 1 ($v_1$), die Höhe oder Tiefe 1 ($h_1$) und die Druck in Spalte 1 ($p_1$) die Geschwindigkeit, H he und Druck an Punkt 1 darstellen und die Die mittlere Geschwindigkeit der Flüssigkeit in Punkt 2 ($v_2$), die Höhe oder Tiefe 2 ($h_2$) und die Druck in Spalte 2 ($p_2$) die Geschwindigkeit, H he und Druck an Punkt 2 darstellen.

Daher haben wir die Bernoulli-Gleichung [1]:

equation=4504

[1] "Hydrodynamica" (Hidrodinamica), Daniel Bernoulli, Typis Joh. Henr. Deckeri (1738)

Es ist wichtig, folgende Annahmen zu beachten:

Die Energie bleibt erhalten, insbesondere wird die Abwesenheit von Viskosit t angenommen.

Es gibt keine Verformung des Mediums, wodurch die Dichte konstant bleibt.

Es gibt keine Wirbelbildung (Vortizit t), das hei t, es gibt keine Strudelbewegungen, die zu Zirkulation im Medium f hren. Die Fl ssigkeit muss ein laminarisches Verhalten aufweisen.

In Parf mdispensern wird ein Luftstrom ber einem in das Parf m eingetauchten Rohr erzeugt. Dadurch sinkt der Druck, sodass der Druck in der Parf ms ule geringer ist als der Druck in der Fl ssigkeitss ule innerhalb der Flasche. Dies bewirkt, dass die Fl ssigkeit durch die S ule nach oben gedr ckt wird. Schlie lich wird die Fl ssigkeit an der Spitze zerst ubt und mit dem Luftstrom wegtransportiert.

image

Um das System zu modellieren, kann das Bernoulli-Prinzip mit der Dichte der Fl ssigkeit die Flüssigkeitsdichte ($\rho_w$) und der H he die Gravitationsbeschleunigung ($g$) verwendet werden. Wenn Punkt 1 sich am Boden des Fl ssigkeitstransportrohrs befindet, dann ist die Mittlere Geschwindigkeit der Flüssigkeit in Punkt 1 ($v_1$) null, die Höhe oder Tiefe 1 ($h_1$) repr sentiert die Tiefe der Fl ssigkeit ($h$), und die Druck in Spalte 1 ($p_1$) steht f r den atmosph rischen Druck. Wenn Punkt 2 am oberen Auslass des Fl ssigkeitstransportrohrs liegt, dann steht die Die mittlere Geschwindigkeit der Flüssigkeit in Punkt 2 ($v_2$) f r die Geschwindigkeit, mit der die Fl ssigkeit austritt ($v$), die Höhe oder Tiefe 2 ($h_2$) ist null, und die Druck in Spalte 2 ($p_2$) ist der atmosph rische Druck. Daher reduziert sich der Ausdruck

equation=4504

zu

$\rho g h=\displaystyle\frac{1}{2}\rho v^2 $

da sich der atmosph rische Druck vereinfacht. Somit ergibt sich die Geschwindigkeit, mit der die Fl ssigkeit austritt, zu:

$v = \sqrt{ 2 g h }$

model

Wenn die Energie innerhalb der str menden Volumina erhalten bleibt, m ssen die Energiedichte in 1 ($e_1$) und die Energiedichte in 2 ($e_2$) gleich sein:

kyon

Dies ist nur m glich, wenn die Viskosit t vernachl ssigbar ist, da sie mit der Energieverteilung verbunden ist und keine Wirbel vorhanden sind, die selbst aufgrund unterschiedlicher tangentialer Geschwindigkeiten entlang des Wirbels einen Energieunterschied aufweisen.

Da ein Fluid oder Gas ein Kontinuum ist, kann das Konzept der Energie nicht mehr mit einer spezifischen Masse verbunden werden. Es ist jedoch m glich, die Energie in einem Volumen des Kontinuums zu betrachten und durch Division durch das Volumen selbst erhalten wir die Energiedichte ($e$). Daher haben wir mit die Dichte ($\rho$), die Geschwindigkeit auf einer Zylinder-Radio ($v$), die Höhe der Säule ($h$), die Gravitationsbeschleunigung ($g$) und die Druck der Wassersäule ($p$):

kyon

was der Bernoulli-Gleichung entspricht.

Da ein Fluid oder Gas ein Kontinuum ist, kann das Konzept der Energie nicht mehr mit einer spezifischen Masse verbunden werden. Es ist jedoch m glich, die Energie in einem Volumen des Kontinuums zu betrachten und durch Division durch das Volumen selbst erhalten wir die Energiedichte ($e$). Daher haben wir mit die Dichte ($\rho$), die Geschwindigkeit auf einer Zylinder-Radio ($v$), die Höhe der Säule ($h$), die Gravitationsbeschleunigung ($g$) und die Druck der Wassersäule ($p$):

kyon

was der Bernoulli-Gleichung entspricht.

Mit die Mittlere Geschwindigkeit der Flüssigkeit in Punkt 1 ($v_1$), die Höhe oder Tiefe 1 ($h_1$) und die Druck in Spalte 1 ($p_1$), die die Geschwindigkeit, die H he und den Druck am Punkt 1 repr sentieren, und die Die mittlere Geschwindigkeit der Flüssigkeit in Punkt 2 ($v_2$), die Höhe oder Tiefe 2 ($h_2$) und die Druck in Spalte 2 ($p_2$), die die Geschwindigkeit, die H he und den Druck am Punkt 2 repr sentieren, haben wir:

kyon

Der H henunterschied, dargestellt durch die Höhendifferenz ($\Delta h$), bedeutet, dass der Druck in beiden S ulen unterschiedlich ist. Insbesondere ist die Druckunterschied ($\Delta p$) eine Funktion von die Flüssigkeitsdichte ($\rho_w$), die Gravitationsbeschleunigung ($g$) und die Höhendifferenz ($\Delta h$), wie folgt:

kyon

Wenn zwei Fl ssigkeitss ulen mit die Höhe der Flüssigkeitssäule 1 ($h_1$) und die Höhe der Flüssigkeitssäule 2 ($h_2$) verbunden werden, entsteht eine die Höhendifferenz ($\Delta h$), die wie folgt berechnet wird:

kyon

die Höhendifferenz ($\Delta h$) erzeugt den Druckunterschied, der die Fl ssigkeit von der h heren S ule zur niedrigeren S ule str men l sst.

Wenn zwei Fl ssigkeitss ulen mit die Druck in Spalte 1 ($p_1$) und die Druck in Spalte 2 ($p_2$) verbunden werden, entsteht eine die Druckunterschied ($\Delta p$), die nach folgender Formel berechnet wird:

kyon

die Druckunterschied ($\Delta p$) repr sentiert den Druckunterschied, der dazu f hrt, dass die Fl ssigkeit von der h heren S ule zur niedrigeren flie t.

Die Geschwindigkeitsunterschied zwischen Oberflächen ($\Delta v$) ist mit die Mittlere Geschwindigkeit der Flüssigkeit in Punkt 1 ($v_1$) und die Die mittlere Geschwindigkeit der Flüssigkeit in Punkt 2 ($v_2$) ist

kyon