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Modelo con Vectores
Storyboard

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ID:(350, 0)

Caso de la malaria
Descripción

En el caso de la malaria, es necesario modelar no solo la infección si no también la evolución del portador de esta.

En el caso de la malaria se trata de un parásito que es transmitido por mosquitos. En el proceso las hembras del mosquito transmite el parásito al ser humano y viceversa el ser humano infectado puede infectar al mosquito.

2.7 millones de personas mueren anualmente por esta enfermedad.

ID:(877, 0)

Modelos con vectores
Descripción

Modelos en que es necesario modelar una segunda especie que participa en la dinámica de infectar a las personas.

ID:(874, 0)

Mosquito
Descripción


ID:(3023, 0)

Simulación del modelo de vectores
Descripción

Con la ecuación para la fracción de humanos infectados

$\displaystyle\frac{di}{dt}=p_bp_I\Lambda v(1-i)-\gamma i$



y la fracción de mosquitos infectados es

$\displaystyle\frac{dv}{dt}=p_bp_Vi(1-v)-\mu v$



se puede correr una simulación que muestra la dinámica de ambas poblaciones.

ID:(8208, 0)

Modelo con Vectores
Descripción

Variables
Símbolo
Texto
Variable
Valor
Unidades
Calcule
Valor MKS
Unidades MKS
$R_0$
R_0
Factor de Recuperación
$\Lambda$
L
Fracción de Mosquitos que son Hembras
-
$I_{crit}$
I_crit
Infectados Críticos
-
$I_t$
I_t
Infectados Totales al tiempo $t$
-
$N_I$
N_I
Población de Humanos
-
$N_V$
N_V
Población de Mosquito
-
$p_I$
p_I
Probabilidad de que Picadura infecte a ser Humano
-
$p_V$
p_V
Probabilidad de que Picadura infecte al Mosquito
-
$p_b$
p_b
Probabilidad de ser Picado por Tiempo
1/s
$\mu$
mu
Tasa de Muerte del Mosquito
$\gamma$
gamma
Tasa de Recuperación por tiempo
1/s
$dI$
dI
Variación de Infectados
-
$dV$
dV
Variación del Vector
-
$dt$
dt
Variación infinitesimal del tiempo
s
$V$
V
Vector
-
$V_{\infty}$
V_t
Vectores Asimptótica
-

Cálculos

Primero, seleccione la ecuación:   a ,  luego, seleccione la variable:   a 
Símbolo
Ecuación
Resuelto
Traducido

Cálculos

Símbolo
Ecuación
Resuelto
Traducido

 Variable   Dado   Calcule   Objetivo :   Ecuación   A utilizar


Ecuaciones

Ejemplos

En el caso de la malaria, es necesario modelar no solo la infecci n si no tambi n la evoluci n del portador de esta.

En el caso de la malaria se trata de un par sito que es transmitido por mosquitos. En el proceso las hembras del mosquito transmite el par sito al ser humano y viceversa el ser humano infectado puede infectar al mosquito.

2.7 millones de personas mueren anualmente por esta enfermedad.

(ID 877)

Modelos en que es necesario modelar una segunda especie que participa en la din mica de infectar a las personas.

(ID 874)


(ID 3023)

La ecuaci n que describe la evoluci n de las personas infectadas I debe incluir un factor que describe la infecci n y otro que considera la recuperaci n o muerte de los infectados.\\n\\nEn el primer caso se debe considerar del numero total de poblaci n N_I aquellos que aun no est n infectados, eso es N_I-I. Despu s debemos considerar la probabilidad de que sea picado p_b y que esta realmente conduzca a la enfermedad p_I. Ademas debemos considerar la fracci n de los mosquitos que infectados V sobre los que existen N_V y que el mosquito sea hembra para lo que tenemos que un factor \Lambda. Con ellos el factor de aumento de las personas infectados sera\\n\\n

$\left(\displaystyle\frac{dI}{dt}\right)_{infectar}=p_bp_I\Lambda\displaystyle\frac{V}{N_V}(N_I-I)$

\\n\\nEn el segundo caso corresponde a la fracci n de los que se recuperan que se comporta igual que en los modelos 'SIR' y 'SEIR':\\n\\n

$\left(\displaystyle\frac{dI}{dt}\right)_{muere}=-\gamma I$



con lo que la ecuaci n para los infectados es

$\displaystyle\frac{dI}{dt}=p_bp_I\Lambda\displaystyle\frac{V}{N_V}(N_I-I)-\gamma I$


(ID 4094)

La ecuaci n que describe la evoluci n de los mosquitos infectadas V debe incluir un factor que describe la infecci n y otro que considera la muerte de los infectados.\\n\\nEn el primer caso se debe considerar del numero total de insectos N_V aquellos que aun no est n infectados, eso es N_V-V. Despu s debemos considerar la probabilidad de que sea picado p_b y que esta realmente conduzca a la enfermedad p_V. Ademas debemos considerar la fracci n de los mosquitos que infectados I sobre los que existen N_I. Con ellos el factor de aumento de las personas infectados sera\\n\\n

$\left(\displaystyle\frac{dV}{dt}\right)_{infectar}=p_bp_V\displaystyle\frac{I}{N_I}(N_V-V)$

\\n\\nEn el segundo caso corresponde a la fracci n de los que se mueren que se comporta igual que en los modelos SIR y SEIR:\\n\\n

$\left(\displaystyle\frac{dV}{dt}\right)_{muere}=-\mu V$



con lo que la ecuaci n para los infectados es

$\displaystyle\frac{dV}{dt}=p_bp_V\displaystyle\frac{I}{N_I}(N_V-V)-\mu V$


(ID 4095)

Con p_b la probabilidad de ser mordido, p_I la probabilidad es que la picadura genere una enfermedad en el ser humano, p_V la probabilidad de que el mosquito se infecte, \Lambda es la proporci n de mosquitos sea hembra, \gamma el factor de reproducci n y \mu el de muerte del mosquito el factor de reproducci n sera

$R_0=\displaystyle\frac{p_b^2p_Vp_I\Lambda}{\mu\gamma}$

(ID 4098)

En el caso de que el sistema entre a una fase estacionaria la derivada temporal sera en ambos ecuaciones iguales a cero. Esto nos entrega las ecuaciones

$\displaystyle\frac{dI}{dt}=p_bp_I\Lambda\displaystyle\frac{V}{N_V}(N_I-I)-\gamma I$



y

$\displaystyle\frac{dV}{dt}=p_bp_V\displaystyle\frac{I}{N_I}(N_V-V)-\mu V$

\\n\\ncon lo que se tiene\\n\\n

$\displaystyle\frac{dI}{dt}\displaystyle\bigg|_{I=I_{\infty}}=p_bp_I\Lambda V_{\infty}(N_I-I_{\infty})-\gamma I_{\infty}N_V=0$

\\n\\ny\\n\\n

$\displaystyle\frac{dV}{dt}\displaystyle\bigg|_{V=V_{\infty}}=p_bp_VI_{\infty}(N_V-V_{\infty})-\mu V_{\infty}N_I=0$



por lo que la soluci n para el ser humano ser

$I_{\infty}=N_I\displaystyle\frac{\Lambda p_b^2p_Ip_V-\mu\gamma}{p_bp_V(\gamma+\Lambda p_bp_I)}$


(ID 4096)

En el caso de que el sistema entre a una fase estacionaria la derivada temporal sera en ambos ecuaciones iguales a cero. Esto nos entrega las ecuaciones

$\displaystyle\frac{dI}{dt}=p_bp_I\Lambda\displaystyle\frac{V}{N_V}(N_I-I)-\gamma I$



y

$\displaystyle\frac{dV}{dt}=p_bp_V\displaystyle\frac{I}{N_I}(N_V-V)-\mu V$

\\n\\ncon lo que se tiene\\n\\n

$\displaystyle\frac{dI}{dt}\displaystyle\bigg|_{I=I_{\infty}}=p_bp_I\Lambda V_{\infty}(N_I-I_{\infty})-\gamma I_{\infty}N_V=0$

\\n\\ny\\n\\n

$\displaystyle\frac{dV}{dt}\displaystyle\bigg|_{V=V_{\infty}}=p_bp_VI_{\infty}(N_V-V_{\infty})-\mu V_{\infty}N_I=0$



por lo que la soluci n para el mosquito ser

$V_{\infty}=N_V\displaystyle\frac{\Lambda p_b^2p_Ip_V-\mu\gamma}{\Lambda p_bp_I(\mu+p_bp_V)}$


(ID 4097)

Para evitar trabajar con n meros muy grandes es conveniente transformar las ecuaciones en funci n de la fracci n de infectados humanos en vez del n mero total. Por ello se introduce

$ i =\displaystyle\frac{ I }{ N_I }$

(ID 8204)

Para evitar trabajar con n meros muy grandes es conveniente transformar las ecuaciones en funci n de la fracci n de infectados mosquitos en vez del n mero total. Por ello se introduce

$ v =\displaystyle\frac{ V }{ N_V }$

(ID 8205)

Con la ecuaci n el n mero de infectados humanos es

$\displaystyle\frac{dI}{dt}=p_bp_I\Lambda\displaystyle\frac{V}{N_V}(N_I-I)-\gamma I$



y la fracci n de humanos infectados

$ i =\displaystyle\frac{ I }{ N_I }$



y mosquitos infectados

$ v =\displaystyle\frac{ V }{ N_V }$



se obtiene

$\displaystyle\frac{di}{dt}=p_bp_I\Lambda v(1-i)-\gamma i$


(ID 8207)

Con la ecuaci n para la evoluci n del n mero de mosquitos infectados es

$\displaystyle\frac{dV}{dt}=p_bp_V\displaystyle\frac{I}{N_I}(N_V-V)-\mu V$



y la fracci n de humanos infectados

$ i =\displaystyle\frac{ I }{ N_I }$



y mosquitos infectados

$ v =\displaystyle\frac{ V }{ N_V }$



se tiene que

$\displaystyle\frac{dv}{dt}=p_bp_Vi(1-v)-\mu v$


(ID 8206)

Dado que el n mero de humanos infectados en el l mite estacionario es

$I_{\infty}=N_I\displaystyle\frac{\Lambda p_b^2p_Ip_V-\mu\gamma}{p_bp_V(\gamma+\Lambda p_bp_I)}$



se puede con

$ i =\displaystyle\frac{ I }{ N_I }$



reescribir el l mite para la fracci n de infectados

$i_{\infty}=\displaystyle\frac{\Lambda p_b^2p_Ip_V-\mu\gamma}{p_bp_V(\gamma+\Lambda p_bp_I)}$

(ID 8209)

Como el n mero de mosquitos infectados en el l mite estacionario es

$V_{\infty}=N_V\displaystyle\frac{\Lambda p_b^2p_Ip_V-\mu\gamma}{\Lambda p_bp_I(\mu+p_bp_V)}$



y se tiene que la fracci n es

$ v =\displaystyle\frac{ V }{ N_V }$



se puede estimar una fracci n l mite mediante

$v_{\infty}=\displaystyle\frac{\Lambda p_b^2p_Ip_V-\mu\gamma}{\Lambda p_bp_I(\mu+p_bp_V)}$

(ID 8210)

Con la ecuaci n para la fracci n de humanos infectados

$\displaystyle\frac{di}{dt}=p_bp_I\Lambda v(1-i)-\gamma i$



y la fracci n de mosquitos infectados es

$\displaystyle\frac{dv}{dt}=p_bp_Vi(1-v)-\mu v$



se puede correr una simulaci n que muestra la din mica de ambas poblaciones.

(ID 8208)

ID:(350, 0)