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La estructura general de los sistemas de ecuaciones y las reglas que estos cumplen que permiten inferir la existencia de soluciones.

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ID:(451, 0)

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La definición general para el calculo de determinantes considera tomar el arreglo de todos los indices (1,2,3,\ldots,N) formando todas las permutaciones posibles. Si una de las permutaciones es \sigma y el k-esimo valor es \sigma_k el determinante se calcula

\det\hat{a}=\displaystyle\sum_{\sigma}\mbox{sgn}(\sigma)\prod_{k=1}^Na_{k\sigma_k}

en donde \mbox{sgn} es +1 si el numero de permutaciones realizadas es par y -1 si es impar.

Usar la definición general es engorrono y susceptible a errores. Un método mas seguro es el trabajo con sub-determinantes. Para ello el determinante de la matriz \hat{a} se calcula sumando la multiplicación de los elementos de la primera linea, con signos alternados, y con las determinantes de las sub-matrices donde se ha eliminado la primera linea y la columna del parámetro.

Si la matriz \hat{a}_i es

\hat{a}_i=\begin{bmatrix}{a_{21}}&{a_{22}}&{\ldots}&{a_{2i-1}}&{a_{2i+1}}&{\ldots}&{a_{2N}}\\{\ldots}&{\ldots}&{\ldots}&{\ldots}&{\ldots}&{\ldots}&{\ldots}\\{a_{N1}}&{a_{N2}}&{\ldots}&{a_{Ni-1}}&{a_{Ni+1}}&{\ldots}&{a_{2N}}\end{bmatrix}

con lo que la determinante es

\det\hat{a}=\displaystyle\sum_{i=1}^N(-1)^{i+1}\det\hat{a}_i

ID:(689, 0)

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En el caso de dos dimensiones (N=2) el sistema se reduce a

a_{11}x_1+a_{12}x_2=b_1

a_{21}x_1+a_{22}x_2=b_2

Un ejemplo podría ser

2x+5y=3

x-2y=1

en donde los parámetros son

a_{11}=2, a_{12}=5, a_{21}=1, a_{22}=-2, b_1=3 y

b_2=1

y las variables

x_1=x y x_2=y.

ID:(681, 0)

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En un sistema de tres dimensiones se tienen tres ecuaciones de la forma

a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3=b_1

a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3=b_2

a_{31}x_1+a_{32}x_2+a_{33}x_3=b_2

o escrito en forma matricial

\begin{bmatrix}{a_{11}}&{a_{12}}&{a_{13}}\\{a_{21}}&{a_{22}}&{a_{23}}\\{a_{31}}&{a_{32}}&{a_{33}}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{x_1}\\{x_2}\\{x_3}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{b_1}\\{b_2}\\{b_3}\end{bmatrix}

ID:(686, 0)

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Una forma elegante de escribir los sistemas de ecuaciones es el uso de vectores y matrices. En dicha notación las variables x forman un vector

\vec{x}=\begin{bmatrix}{x_1}\\{x_2}\end{bmatrix}

de igual forma los parámetros b:

\vec{b}=\begin{bmatrix}{b_1}\\{b_2}\end{bmatrix}

y los parámetros a forman la matriz

\hat{a}=\begin{bmatrix}{a_{11}}&{a_{12}}\\{a_{21}}&{a_{22}}\end{bmatrix}

Con esta notación el sistema de ecuaciones se escribe como

\hat{a}\vec{x}=\vec{b}

La solución del sistema en este caso se recude a obtener lo que se denomina una matriz inversa que satisface

\hat{a}\hat{a}^{-1}=\hat{I}

donde \hat{I} es la matriz unidad con puros ceros y unos en la diagonal. Con ello la solución es

\vec{x}=\hat{a}^{-1}\vec{b}

ID:(683, 0)

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Si pensamos en que la variable x_1 corresponde a x y la variable x_2 a y en un sistema de coordenadas (x,y) se tiene que las ecuaciones

a_{11}x_1+a_{12}x_2=b_1

a_{21}x_1+a_{22}x_2=b_2

se pueden escribir como

y=-\displaystyle\frac{a_{11}}{a_{12}}x+\displaystyle\frac{b_1}{a_{12}}

y=-\displaystyle\frac{a_{21}}{a_{22}}x+\displaystyle\frac{b_2}{a_{22}}

Estas ecuaciones corresponden a dos rectas y si (x,y) satisface ambas, dicho punto corresponde a aquel donde ambas rectas se cruzan.

ID:(685, 0)

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Si deseamos interpretar geométricamente el sistema de tres ecuaciones lineales podemos reemplazar la variable x_1 por x, la x_2 por y y x_3 por z. En tal caso el sistema de ecuaciones se escribe como

a_{11}x+a_{12}y+a_{13}z=b_1

a_{21}x+a_{22}y+a_{23}z=b_2

a_{31}x+a_{32}y+a_{33}z=b_2

Cada una de estas ecuaciones corresponde a un plano. Este se puede ver si para una ecuación del tipo

Ax+By+Cz=D

en un espacio tridimensional se observa que la ecuación representa una recta en cada plano en que x=0 se tiene la recta By+Cz=D, en el plano en que y=0 se tiene la recta Ax+Cz=D y en el plano en que z=0 se tiene la recta Ax+By=D.

Si se consideran dos planos se ve que, en la medida que no sean paralelos, su interacción es una recta. Si ahora se considera el tercer plano se tendrá que la recta lo interceptará en aquel punto (x,y,z) que corresponde a la solución del sistema de ecuaciones.

ID:(687, 0)