El m todo de Newton permite estimar la raiz de una ecuaci n cuando no es posible despejar la variable de inter s.

Para que sea efectivo se requiere de tener una idea aproximada de donde se encuentra la ra z que se esta buscando. El algoritmo parte de dicho punto y se va acercando succesivamente al valor que corresponde a la ra z.

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En muchos casos el despejar de una variable en una ecuaci n puede no ser posible. En estos casos se puede recurrir a t cnicas en que se calcula una soluci n aproximada. Estos m todos iteran para obtener la soluci n por lo que es posible calcular la soluci n con la exactitud que se necesite. Uno de estos m todo es el de Newton.

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Supongamos que se tiene una funci n

y = f(x)

Si se busca despejar la variable x se debe encontrar un y tal que

x = f^{-1}(y)

En otras palabras se busca un valor x tal que el valor de f(x) sea igual a un y dado.

Esto tambi n se puede planear como encontrar la ra z de una funci n

g(x)=f(x)-y

es decir el x para un y dado de modo que la ra z de la ecuaci n es

g(x) = 0

lo que se da cuando la curva g(x) corta el eje:

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Aproximaci n por una Recta

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Primera Iteraci n

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Constante de la Recta

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Pendiente de la Recta

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Segunda Iteraci n

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Ejemplo: c lculo

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Un ejemplo simple es

g(x) = ax + bx^3

Si calculamos la derivada empleando la definici n tendremos que con

g(x+\epsilon)=a(x+\epsilon)+b(x+\epsilon)^3=ax+bx^3+(a+3bx^2)\epsilon+3bx\epsilon^2+b\epsilon^3

se obtiene

\displaystyle\frac{g(x+\epsilon)-g(x)}{\epsilon}=a+3bx^2+3bx\epsilon+b\epsilon^2

n el limite \epsilon igual a cero obtenemos asi

g'(x)=a+3bx^2

Reemplazando esta expresi n en la ecuaci n para iterar de Newton se obtiene

x_{n+1}=x_n-\displaystyle\frac{ax_n+bx_n^3}{a+3bx_n^2}

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