Mientras no exista interacci n las part culas se desplazan en forma rectil nea y velocidad constante.

En el caso de fotones estos se propagan en el vac o siempre con la velocidad de la luz. Otras part culas pueden tener velocidades que siempre ser n menores a la velocidad de la luz.

Al no haber interacci n la energ a de la part cula se conserva siendo en el caso del fot n independiente de la velocidad. En el caso de otras part culas esta se asocia a la velocidad de la part cula.

Cuando una part cula, como un foton o electr n, atraviesa un material, es posible que colisione con alguna part cula de este lo que se denomina un proceso de scattering.

En el caso de que dicha colisi n sea por ejemplo entre un fot n y un electr n se puede dar lo que se denomina un scattering de Compton. En el se puede, en forma simplificada, imaginar que el electr n puede llegar a impactada por el fot n si este pasa suficientemente cerca del primero. En ese sentido el electr n presenta una secci n similar a la de un disco que puede ser impactado.

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Como el electr n interactua con el foton, el rea en que el electr n afecta al foton no es simplemente la secci n que corresponder a a una esfera r gida. Por ello se habla de una secci n eficaz o sea en que es efectiva la interacci n. Como ademas se toman en cuenta todas las situaciones en que el foton es afectad, se habla de secci n eficaz total y se le denomina en el caso de scatering de Compton como \sigma_c.

El proceso de propagaci n con colisiones se puede representar como una part cula que avanza por un cilindro en que colisiona toda vez que alg n objetivo de colisi n se encuentra en este.

El numero de part culas que se encuentran en el cilindro corresponde a el numero de colisiones y se estima multiplicando el volumen con la concentraci n de objetivos de colisi n.

La fracci n de part culas que se encuentra en un elemento del cilindro de largo dx corresponde por ello a la probabilidad dp de que la part cula sufra una colisi n al avanzar el camino dx.

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En el caso de querer calcular la probabilidad de que la part cula recorre una distancia x sin impactar se debe suponer que en n=x/dx ocasiones anteriores no colisiono y que lo hace entre x y x+dx:

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Si la probabilidad de impacto es dp, la probabilidad de que no impacte en cada uno de los dx anteriores es 1-dp.

La posibilidad de que el foton interactue no solo depende de la secci n eficaz total que presentan los electrones, tambi n depende de el numero de estos. En el caso de Compton se trata de los electrones de los tomos del material de modo que cada uno contribuye con Z electrones donde Z es el numero at mico de este.

En el caso de materiales reales se tendr n distintos tomos de distintos n meros at micos Z_i. Si se conoce el numero de tomos N_i del tipo i se puede estimar un numero medio at mico por tomo:

equation

Eso signifcia que por ejemplo en agua se tiene que hay dos tipos de tomos: hidr geno (H) y oxigeno (O). El hidr geno tiene un numero at mico de Z_H=1 mientras que el oxigeno de Z_O=16. Como hay dos hidr genos por cada oxigeno se tiene que

N_H=2N_O

con lo que se obtienen un numero at mico medio por mol cula de agua de \bar{Z}_{H_2O}=6.

Si el numero medio at mico de un material es \bar{Z} y su concentraci n en part culas por volumen la concentraci n de objetivos con los que se puede colisionar es

equation

Si se considera la secci n eficaz \sigma_c y el largo del cilindro \lambda de colisi n tal que el numero de colisiones es igual a la unidad se obtiene que

\sigma_c\lambda c_c=1

se obtiene que

equation

Este largo se denomina el camino libre de la part cula y corresponde al camino medio entre dos impactos.

La probabilidad de colisionar con una part cula dp se puede calcular del numero de part culas que encontramos en un cilindro de secci n igual a la secci n eficaz \sigma_c y la concentraci n de objetivos de colisi n c_c simplemente multiplicando el volumen \sigma_cdx por la concentraci n:

equation

Si el camino recorrido x se subdivide en n intervalos de largo dx=x/n, la probabilidad de no colisionar hasta recorrer la distancia x es

p(x)dx = (1-dp)^n dp

donde dp es la probabilidad de colisionar en dx. Como dicha probabilidad es

equation=9377

se tiene que con dx=x/n que la probabilidad de colisi n entre x y x+dx es

p(x)dx = \left(1-\displaystyle\frac{\sigma_cc_cx}{n}\right)^n \sigma_cc_cdx

En el limite de dx\ll x, en que n=x/dx\rightarrow\infty, con

equation=9408

y

z=-\sigma_cc_cx

la probabilidad se puede escribir como

equation

Con la probabilidad de colisi n p(x) entre x y x+dx dado por

equation=9409

y el camino libre

equation=9403

se puede reescribir la probabilidad de colisi n como

equation