Um die Eigenschaften von Monte Carlo zu erforschen, nehmen wir an, dass wir das Verhalten eines Betrunkenen simulieren wollen.

Er bewegt sich unidimensional und kann nach rechts und nach links gehen.

Die Distanzen, die in jeder Richtung zur ckgelegt wird, h ngen von den Objekten auf dem Weg ab. Diese werden nach dem Zufallsprinzip verteilt.

Jedes Mal, wenn er ein Objekt erreicht, kehrt er in die umgekehrte Richtung zur ckt.

image

Der einfachste Fall ist der einer Partikel die sich entlang einer Achse bewegt und die nach einem Zusammensto mit einem Objekt die Bewegungsrichtung umkehrt.

Wenn die Wahrscheinlichkeit ein Abstand zwischen x und x + dx zu erreichen gleich P(x) ist, dann ist die Wahrscheinlichkeit des Zusammensto es

P(x)-P(x+dx)\sim-\display\frac{dP}{dx}dx

Falls diese Wahrscheinlichkeit proportional zur Wahrscheinlichkeit P ist, ergibt sich dass

\display\frac{dP}{dx}=-\display\frac{dx}{\lambda}P(x)

So folgt, dass

equation

wobei \lambda der freie Weg ist.

Um die Verteilung der Positionen der Teilchen zu erhalten, kann folgende Iterationen durchgef hrt werden

```

0. Position und Startadresse definiert

1. Partikel in eine Richtung bewegen in einem Abstand der durch die Zufallswahrscheinlichkeitsfunktion erzeugt wird,

2. Richtung umkehren

3. Fortsetzung 1

```

Angenommen, wir eine bestimmte Zeit und das sich das Teilchen mit einer konstanten Geschwindigkeit bewegt. Somit kam die Position nach einer Zeit oder einem zur ck gelegten Weg bestimmt werden.

Mit dem Simulator zu spielen, haben wir das bemerkt

```

1. Es ist nur sinnvoll, Verteilungen von m glichen Positionen zu betrachten

2. Die Verteilung basiert auf der Bestimmung von Positionen in diskreten Bereichen

3. Bereiche kleinerer Gr e erfordern eine gr ere Anzahl von Iterationen

```

Der gesamte effektive Querschnitt \sigma bezieht sich auf den effektiven Abschnitt, den das Teilchen dem einfallenden Strahl anbietet und somit direkt auf den freien Weg wirkt. Wenn es mit der Konzentration der Teilchen c multipliziert wird, kann man sich zeigen, dass der freie Weg ist

equation

Mit denen es m glich ist, die Wahrscheinlichkeit der Auswirkungen mit dem insgesamt effektiven Abschnitt abzusch tzen:

Compton-Streuung tritt auf, wenn ein Photon mit einer geladenen Teilchen in Wechselwirkung tritt, insbesondere mit einem Elektron. Im Prozess Verliert das Photon Energie und weicht ab wobei das Elektron in Bewegung setzen:

image

Die Compton-Streuung tritt auf, wenn ein Photon mit einem Elektron wechselwirkt, indem es der erste Energie auf den zweite (unelastische Wechselwirkung) bertr gt. Die Wellenl nge des Photon nach dem Scattering kann durch

equation

berechnet werden, wobei

equation=9146

die Compton Wellenl nge ist und \theta der Ablenkungswinkel des Photons ist.

F r Compton-Streuung ist der Differentialquerschnitt gem Klein-Nishina

equation

wobei

equation=9112

der Gesamtquerschnitt von Thomson und

equation=9113

die normierte Energie ist.

Wenn der Differentialwirkungsabschnitt nach Klein-Nishina genommen wird

equation=9144

und integriert wird im Raumwinkel

equation=9147

ist der effektive Gesamtquerschnitt gleich

equation

wobei

equation=9112

der effektive Gesamtquerschnitt nach Thomson und

equation=9113

die normalisierte Energie ist.

Im Rahmen der kleinen \epsilon\ll1 ist der gesamtquerschnitt

\sigma_{KN}\sim\sigma_T\left(1-2\epsilon+\displaystyle\frac{26}{5}\epsilon^2\ldots\right)

und im Fall \epsilon\gg 1 muss der gleich

\sigma_{KN}\sim\displaystyle\frac{3}{8}\displaystyle\frac{\sigma_T}{\epsilon}\left(\log(2\epsilon)+\displaystyle\frac{1}{2}\right)

sein.

Sie k nnen die Klein-Nishina Modell numerisch untersuchen. F r dies wird gezeigt

- der Gesamtquerschnitt als Funktion der Photonenenergie

- der Differentialabschnitt in Funktion des Winkel f r die minimale, mittlere und maximale definierte Energien

- der effektive Gesamtquerschnitt als Funktion der Energie in einem eindimensionalen das Transmission oder Reflexion ergeben k nnte