Storyboard

Die Lattice Boltzmann Methode (LBM) wurde geschaffen, um die Bearbeitungszeit bei der Lösung von hydro- und aerodynamischen Problemen zu reduzieren. Anstatt die Navier-Stokes-Differentialgleichung zu lösen, verwendet sie eine äquivalente Darstellung auf Basis der Boltzmann-Transportgleichung und reduziert den Verarbeitungsaufwand durch die Arbeit mit einem vereinfachten diskreten Phasenraum. Das Ergebnis ist ein Hochgeschwindigkeits-Simulator, der in der Lage ist, hochkomplexe Prozesse zu beschreiben.

>Modell

ID:(1162, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Boltzmann -Funktion beschreibt den Transport eines Partikelsystem durch die Verteilungsfunktion der Geschwindigkeit beschrieben:

wobei der Begriff C beschreibt die Wechselwirkung (Kollision) zwischen diesen.

ID:(8462, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Wenn die Parameter durch Mittelung über Geschwindigkeit berechnet werden

dann kann die Dichte wird durch Schätzung Masse erhalten werden:

ID:(8458, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Wenn die Parameter durch die Mittelung über Geschwindigkeit berechnet werden

dann ist die Strömungsgeschwindigkeit durch Integration der Geschwindigkeitsverteilung über alle Geschwindigkeiten gegeben und wird durch:

berechnet.

ID:(8459, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Wenn die Parameter durch Mittelung über Geschwindigkeit berechnet werden

und es ist der Gleichverteilungssatz betrachtet wird, kann die Temperatur durch die Integration der kinetische Energie durch die Verteilung der Geschwindigkeit durch die Gas Konstante geteilt gewichtet abgeschätzt werden:

ID:(8460, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Wenn die Parameter durch Mittelung über Geschwindigkeit berechnet werden

dann wird der Spannungstensor wird durch Integration der Strömungsgeschwindigkeitsverteilung über alle Geschwindigkeiten Gewichtung auf Geschwindigkeitsdifferenzen berechnet:

ID:(8461, 0)

Beschreibung

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Das Problem mit Makro-Skalensystemen, die auf mikroskopischen Phänomenen basieren, ist das

- makroskopische Modelle sind zu einfach, um die Dynamik korrekt wiederzugeben

- mikroskopische Modelle zur Beschreibung der makroskopischen Wirklichkeit können nicht analytisch gelöst werden und numerische Lösungen sind schwerfällig (= erfordern viel rechnerische Ressourcen)

Die Boltzmann-Gittermethode sucht einen Zwischenpfad. Es basiert auf der Boltzmann-Transportgleichung, rettet den mikroskopischen Teil über den Kollisionstermin und implementiert eine vereinfachte Struktur zur Berechnung der makroskopischen Ergebnisse. Wir sprechen von einem mesoskopischen Ansatz wo wir nach Bedarf die mikroskopische Anstrengung reduzieren können, indem wir die Genauigkeit verlieren, aber Ressourcen sparen oder die Genauigkeit verbessern, indem wir mehr Ressourcen investieren.

ID:(8488, 0)

Bild

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El modelo D2Q9 es un modelo bidimensional (D2) en que se se conecta el nodo (punto central) en nodos a lo largo de los ejes cartesianos\\n\\nen el origen\\n\\n

$\vec{e}_0=(0,0)$

\\n\\nen las esquinas\\n\\n

$\vec{e}_1=(1,0)$

(E),\\n

$\vec{e}_2=(0,1)$

(N), \\n

$\vec{e}_3=(-1,0)$

(W) y \\n

$\vec{e}_4=(0,-1)$

(S)\\n\\ny en las diagonales\\n\\n

$\vec{e}_5=(1,1)$

(NE), \\n

$\vec{e}_6=(-1,1)$

(SE), \\n

$\vec{e}_7=(-1,-1)$

(SW) y \\n

$\vec{e}_8=(1,-1)$

(NW)

lo que se representa en la siguiente gráfica:

ID:(8496, 0)

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Das D3Q15 Modell ist ein zweidimensionales Modell (D3), in dem der Knoten (Punkt center) Knoten entlang der kartesischen Achsen verbindet\\n\\n

$(1,0,0), (-1,0,0), (0,1,0), (0,-1,0), (0,0,1) (0,0,-1)$

\\n\\nund in den Ecken des Würfels\\n\\n

$(1,0,1), (-1,0,1), (0,1,1) , (0,-1,1), (1,0,-1), (-1,0,-1), (0,1,-1) , (0,-1,-1)$

was es in der folgenden Grafik dargestellt ist:

Es ist relativ einfach Modelle zu bauen vom Typ D3Q19 (einschließlich der Hälften der Seitenkanten ) oder D3Q27 (alle möglichen Punkte).

ID:(8497, 0)

Gleichung

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Für Diskretisierung in LBM arbeitet nicht Modelle mit Funktionen der Geschwindigkeit, wenn nicht mit diskreten Komponenten. So ist die Komponente i ist definiert durch:

wobei w_i es ist das relative Gewicht.

ID:(8466, 0)

Gleichung

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In Streaming Prozess werden die Partikel entlang ihrer Geschwindigkeitsrichtungen von benachbarten Zellen bewegen

wobei \vec{x} die Position, t Zeit, \vec{e}_i die Richtung des Rasters und c ist die Geschwindigkeit.

ID:(9150, 0)

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Wenn der Rückprall nicht an einem Punkt des Netzes sondern in einem Abstand \Delta eintritt:

\\n\\ndann sollte die Funktion die Beiträge der Abweichungen berücksichtigen\\n\\n

$f_i(x_f,t+\delta t)=\displaystyle\frac{(1-\Delta)f_{-i}(x_f,t)+\Delta(f_{-i}(x_b,t)+f_{-i}(x_{f2},t)}{1+\Delta}$

ID:(8499, 0)

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Wenn die Wand eine Neigung haben bezüglich des Netzwerk es in einer komplexere Modellierung notwendig:

Allgemeine Umrandung

Zunächst muss eine ungefähre Grenze festgelegt werden um dann die entsprechende Gleichungen definiert werden. Diese wird dann innerhalb des Streamng Prozess angewandt.

ID:(8500, 0)

Beschreibung

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Im Falle eines D2Q9 Systems sind die 9 Werte f_i als O, N, E, S, W, NE, SE, SW, NW benannt werden. Wenn die Anzahl der Partikel in der Position (n,m) als f_i(j,k) bezeichnet werden, dann sind die Gleichungen

```

N[x,y] = N[x,y-1]

NW[x,y] = NW[x+1,y-1]

E[x,y] = E[x-1,y]

NE[x,y] = NE[x-1,y-1]

S[x,y] = S[x,y+1]

SE[x,y] = SE[x-1,y+1]

W[x,y] = W[x+1,y]

SW[x,y] = SW[x+1,y+1]

```

ID:(9151, 0)

Beschreibung

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En el caso D2Q9 el termino colision se calcula sumando los distintos factores

por lo que se tiene para cada celda

```

O = O+w(4rho/9)(1-3u2/2) - O)

E = E+w(rho/9)(1 + u_x/3+5u_x^2-3u2/2)-E)

W = W+w(rho/9)(1 - u_x/3+5u_x^2-3u2/2)-W)

N = N+w(rho/9)(1 + u_y/3+5u_y^2-3u2/2)-N)

S = S+w(rho/9)(1 - u_y/3+5u_y^2-3u2/2)-S)

NE = NE+w(rho/36)(1+u_x/3+u_y/3+5(u2+2u_xu_y)/2-3u2/2) - NE)

SE = SE+w(rho/36)(1+u_x/3-u_y/3+5(u2-2u_xu_y)/2-3u2/2) - SE)

NW = NW+w(rho/36)(1-u_x/3+u_y/3+5(u2-2u_xu_y)/2-3u2/2) - NW)

SW = SW+w(rho/36)(1-u_x/3-u_y/3+5(u2+2u_xu_y)/2-3u2/2) - SW)

```

con

```

u2 = u_x^2+u_y^2

```

ID:(9155, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

In der Relaxationsnäherung wird davon ausgegangen, dass die Verteilung f_i (\ vec {x}, t) dazu neigt, sich zu einer Zeit \ tau zu einer Gleichgewichtsverteilung zu entspannen F_i ^ {eq} (\ vec {x}, t) nach Gleichung\\n\\n

$\displaystyle\frac{df_i}{dt}=-\displaystyle\frac{f_i-f_i^{eq}}{\tau}$

die in der diskreten Approximation die Gleichung hat

wo der Begriff der Unterschiede in den Verteilungsfunktionen die Kollisionen darstellt.

ID:(8489, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Die Gleichgewichtsverteilung kann durch eine Maxwell-Boltzmann Verteilung angenähert werden,

wobei m die Masse des Teilchens, T Systemtemperatur und k Boltzmann Konstante.

ID:(8490, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

En la aproximación Bhatnagar-Gross-Krook la distribución en equilibrio se asume como la de un gas de partículas sin interacción

con \vec{u} la velocidad del flujo, k la constante de Boltzmann, T la temperatura y m la masa de la particula. Si se desarrolla esta expresión en el limite de velocidades \vec{u} comparada con la velocidad de las moleculas c\hat{e}_i se tiene que

con \omega_i los pesos dados por

que se determinan asegurando que la distribución equilibrio cumpla las leyes de conservación.

ID:(9084, 0)

Beschreibung

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En el caso de partículas de un liquido el método LBM permite desarrollar simuladores como se muestra en el ejemplo:

(html file)

ID:(9156, 0)