Boltzmann -Funktion beschreibt den Transport eines Partikelsystem durch die Verteilungsfunktion der Geschwindigkeit beschrieben:

equation

wobei der Begriff C beschreibt die Wechselwirkung (Kollision) zwischen diesen.

Wenn die Parameter durch Mittelung ber Geschwindigkeit berechnet werden

equation=9075

dann kann die Dichte wird durch Sch tzung Masse erhalten werden:

equation

Wenn die Parameter durch die Mittelung ber Geschwindigkeit berechnet werden

equation=9075

dann ist die Str mungsgeschwindigkeit durch Integration der Geschwindigkeitsverteilung ber alle Geschwindigkeiten gegeben und wird durch:

equation

berechnet.

Wenn die Parameter durch Mittelung ber Geschwindigkeit berechnet werden

equation=9075

und es ist der Gleichverteilungssatz betrachtet wird, kann die Temperatur durch die Integration der kinetische Energie durch die Verteilung der Geschwindigkeit durch die Gas Konstante geteilt gewichtet abgesch tzt werden:

equation

Wenn die Parameter durch Mittelung ber Geschwindigkeit berechnet werden

equation=9075

dann wird der Spannungstensor wird durch Integration der Str mungsgeschwindigkeitsverteilung ber alle Geschwindigkeiten Gewichtung auf Geschwindigkeitsdifferenzen berechnet:

equation

Das Problem mit Makro-Skalensystemen, die auf mikroskopischen Ph nomenen basieren, ist das

- makroskopische Modelle sind zu einfach, um die Dynamik korrekt wiederzugeben

- mikroskopische Modelle zur Beschreibung der makroskopischen Wirklichkeit k nnen nicht analytisch gel st werden und numerische L sungen sind schwerf llig (= erfordern viel rechnerische Ressourcen)

Die Boltzmann-Gittermethode sucht einen Zwischenpfad. Es basiert auf der Boltzmann-Transportgleichung, rettet den mikroskopischen Teil ber den Kollisionstermin und implementiert eine vereinfachte Struktur zur Berechnung der makroskopischen Ergebnisse. Wir sprechen von einem mesoskopischen Ansatz wo wir nach Bedarf die mikroskopische Anstrengung reduzieren k nnen, indem wir die Genauigkeit verlieren, aber Ressourcen sparen oder die Genauigkeit verbessern, indem wir mehr Ressourcen investieren.

El modelo D2Q9 es un modelo bidimensional (D2) en que se se conecta el nodo (punto central) en nodos a lo largo de los ejes cartesianos\\n\\nen el origen\\n\\n

$\vec{e}_0=(0,0)$

\\n\\nen las esquinas\\n\\n

$\vec{e}_1=(1,0)$

(E),\\n

$\vec{e}_2=(0,1)$

(N), \\n

$\vec{e}_3=(-1,0)$

(W) y \\n

$\vec{e}_4=(0,-1)$

(S)\\n\\ny en las diagonales\\n\\n

$\vec{e}_5=(1,1)$

(NE), \\n

$\vec{e}_6=(-1,1)$

(SE), \\n

$\vec{e}_7=(-1,-1)$

(SW) y \\n

$\vec{e}_8=(1,-1)$

(NW)

lo que se representa en la siguiente gr fica:

image

Das D3Q15 Modell ist ein zweidimensionales Modell (D3), in dem der Knoten (Punkt center) Knoten entlang der kartesischen Achsen verbindet\\n\\n

$(1,0,0), (-1,0,0), (0,1,0), (0,-1,0), (0,0,1) (0,0,-1)$

\\n\\nund in den Ecken des W rfels\\n\\n

$(1,0,1), (-1,0,1), (0,1,1) , (0,-1,1), (1,0,-1), (-1,0,-1), (0,1,-1) , (0,-1,-1)$

was es in der folgenden Grafik dargestellt ist:

image

Es ist relativ einfach Modelle zu bauen vom Typ D3Q19 (einschlie lich der H lften der Seitenkanten ) oder D3Q27 (alle m glichen Punkte).

F r Diskretisierung in LBM arbeitet nicht Modelle mit Funktionen der Geschwindigkeit, wenn nicht mit diskreten Komponenten. So ist die Komponente i ist definiert durch:

equation

wobei w_i es ist das relative Gewicht.

In Streaming Prozess werden die Partikel entlang ihrer Geschwindigkeitsrichtungen von benachbarten Zellen bewegen

equation

wobei \vec{x} die Position, t Zeit, \vec{e}_i die Richtung des Rasters und c ist die Geschwindigkeit.

Wenn der R ckprall nicht an einem Punkt des Netzes sondern in einem Abstand \Delta eintritt:

image\\n\\ndann sollte die Funktion die Beitr ge der Abweichungen ber cksichtigen\\n\\n

$f_i(x_f,t+\delta t)=\displaystyle\frac{(1-\Delta)f_{-i}(x_f,t)+\Delta(f_{-i}(x_b,t)+f_{-i}(x_{f2},t)}{1+\Delta}$

Wenn die Wand eine Neigung haben bez glich des Netzwerk es in einer komplexere Modellierung notwendig:

image

Allgemeine Umrandung

Zun chst muss eine ungef hre Grenze festgelegt werden um dann die entsprechende Gleichungen definiert werden. Diese wird dann innerhalb des Streamng Prozess angewandt.

Im Falle eines D2Q9 Systems sind die 9 Werte f_i als O, N, E, S, W, NE, SE, SW, NW benannt werden. Wenn die Anzahl der Partikel in der Position (n,m) als f_i(j,k) bezeichnet werden, dann sind die Gleichungen

```

N[x,y] = N[x,y-1]

NW[x,y] = NW[x+1,y-1]

E[x,y] = E[x-1,y]

NE[x,y] = NE[x-1,y-1]

S[x,y] = S[x,y+1]

SE[x,y] = SE[x-1,y+1]

W[x,y] = W[x+1,y]

SW[x,y] = SW[x+1,y+1]

```

En el caso D2Q9 el termino colision se calcula sumando los distintos factores

equation=9084

por lo que se tiene para cada celda

```

O = O+w(4rho/9)(1-3u2/2) - O)

E = E+w(rho/9)(1 + u_x/3+5u_x^2-3u2/2)-E)

W = W+w(rho/9)(1 - u_x/3+5u_x^2-3u2/2)-W)

N = N+w(rho/9)(1 + u_y/3+5u_y^2-3u2/2)-N)

S = S+w(rho/9)(1 - u_y/3+5u_y^2-3u2/2)-S)

NE = NE+w(rho/36)(1+u_x/3+u_y/3+5(u2+2u_xu_y)/2-3u2/2) - NE)

SE = SE+w(rho/36)(1+u_x/3-u_y/3+5(u2-2u_xu_y)/2-3u2/2) - SE)

NW = NW+w(rho/36)(1-u_x/3+u_y/3+5(u2-2u_xu_y)/2-3u2/2) - NW)

SW = SW+w(rho/36)(1-u_x/3-u_y/3+5(u2+2u_xu_y)/2-3u2/2) - SW)

```

con

```

u2 = u_x^2+u_y^2

```

In der Relaxationsn herung wird davon ausgegangen, dass die Verteilung f_i (\ vec {x}, t) dazu neigt, sich zu einer Zeit \ tau zu einer Gleichgewichtsverteilung zu entspannen F_i ^ {eq} (\ vec {x}, t) nach Gleichung\\n\\n

$\displaystyle\frac{df_i}{dt}=-\displaystyle\frac{f_i-f_i^{eq}}{\tau}$

die in der diskreten Approximation die Gleichung hat

equation

wo der Begriff der Unterschiede in den Verteilungsfunktionen die Kollisionen darstellt.

Die Gleichgewichtsverteilung kann durch eine Maxwell-Boltzmann Verteilung angen hert werden,

equation

wobei m die Masse des Teilchens, T Systemtemperatur und k Boltzmann Konstante.

En la aproximaci n Bhatnagar-Gross-Krook la distribuci n en equilibrio se asume como la de un gas de part culas sin interacci n

equation=9082

con \vec{u} la velocidad del flujo, k la constante de Boltzmann, T la temperatura y m la masa de la particula. Si se desarrolla esta expresi n en el limite de velocidades \vec{u} comparada con la velocidad de las moleculas c\hat{e}_i se tiene que

equation

con \omega_i los pesos dados por

que se determinan asegurando que la distribuci n equilibrio cumpla las leyes de conservaci n.

En el caso de part culas de un liquido el m todo LBM permite desarrollar simuladores como se muestra en el ejemplo:

(html file)