Para ajustar datos $(x_i,y_i)$ a una par bola del tipo

$y=ax^2+bx+c$

cuyo m nimo tiene un valor $y_0$. El m nimo se encuentra en

$x_0=-\displaystyle\frac{b}{2a}$

y el valor del m nimo debe ser

$y_0=ax_0^2+bx_0+c=c-\displaystyle\frac{b^2}{4a}$

Por ello el factor $c$ debe ser

$c=y_0+\displaystyle\frac{b^2}{4a}$

mientras que los valores $a$ y $b$ deben ser tal que la diferencia de los cuadrados

$\sum_i\left(y_i-ax_i^2-bx_i-y_0-\displaystyle\frac{b^2}{4a}\right)^2=min$

sea un m nimo.

Si se deriva

$\sum_i(y_i-ax_i^2-bx_i-c)^2=min$

respecto de $a$ y se iguala a cero el resultado se obtien la ecuaci n:

$aS_{x4}+bS_{x3}-S_{x2y}+cS_{x2}=0$

donde

$S_{x,n,y,m}=\sum_ix_i^ny_i^m$

en que en el caso que $n$ o $m$ sean cero no se escribe el factor $x$ o $y$ y en el caso de la unidad no se incluye el n mero.

Si se repite la operaci n para $b$ se obtiene la ecuaci n:

$-S_{xy}+aS_{x3}+bS_{x2}+cS_x=0$.

Si se repite la operaci n para $c$ se obtiene la ecuaci n:

$cN-S_y+aS_{x2}+bS_x=0$.

La soluci n de las ecuaciones lleva a que la pendiente $a$ es

$a=\displaystyle\frac{S_{x2y}(S_x^2-S_{x2}N)-S_{x3}(S_{xy}N-S_xS_y)-S_{x2}^2S_y+S_xS_{x2}S_{xy})}{S_{x4}(S_{x2}N-S_x^2)-S_{x3}^2N+2S_xS_{x2}S_{x3}-S_{x2}^3}$

Si se deriva

$\sum_i(y_i-ax_i^2-bx_i-c)^2=min$

respecto de $a$ y se iguala a cero el resultado se obtien la ecuaci n:

$aS_{x4}+bS_{x3}-S_{x2y}+cS_{x2}=0$

donde

$S_{x,n,y,m}=\sum_ix_i^ny_i^m$

en que en el caso que $n$ o $m$ sean cero no se escribe el factor $x$ o $y$ y en el caso de la unidad no se incluye el n mero.

Si se repite la operaci n para $b$ se obtiene la ecuaci n:

$-S_{xy}+aS_{x3}+bS_{x2}+cS_x=0$

Si se repite la operaci n para $c$ se obtiene la ecuaci n:

$cN-S_y+aS_{x2}+bS_x=0$

La soluci n de las ecuaciones lleva a que la pendiente $b$ es

$b=\displaystyle\frac{S_{x4}(S_{xy}N-S_xS_y)+S_{x3}(S_{x2}S_y-S_{x2y}N)-S_{x2}^2S_{xy}+S_xS_{x2}S_{x2y}}{S_{x4}(S_{x2}N-S_x^2)-S_{x3}^2N+2S_xS_{x2}S_{x3}-S_{x2}^3}$