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Convección
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La diferencia de presión atmosférica lleva a desplazamiento de masas de aire tanto a nivel de superficie como en las alturas.

El flujo vertical se denomina convección y es clave para la formación de nubes, generación de lluvias y flujo efectivo de energía entre superficie y atmósfera.

>Modelo

ID:(552, 0)


Convección
Definición

Al calentarse una masa de aire esta tiende a dilatarse reduciendose su densidad.

La expansión en si crea una situación en que la presión en su parte superior es menor que en su parte inferior lo que da origen a una diferencia de presión y con ello a una fuerza.

Esta fuerza es analoga a la fuerza de sustentación en el agua, con la diferencia de que con la altura se va reduciendo hasta el punto que ya no supera la gravedad y el cuerpo no continua acendiendo.

ID:(40, 0)


Energía potencial de convección
Imagen

El proceso de convección se describe con el diagrama de presión y temperatura en que se diagraman

- la adiabata de aire seco
- la adiabata de aire humedio
- la temperatura ambiental

y se determina como el volumen evolucionara:

Diagrama de CAPE (Energía potencial de convección disponible)

En el diagrama se muestra como la masa de aire sube:

- sin condesar desde A a B donde inicia la condensación

- comienza a condesar y sube de B a C contra la resistencia CIN

- continua subiendo de C a D impulsado por la energía potencial de condensación

La fase CIN puede evitar que la masa sufra la convección y vuelva a decender.

ID:(3098, 0)


Convección
Descripción

La diferencia de presión atmosférica lleva a desplazamiento de masas de aire tanto a nivel de superficie como en las alturas. El flujo vertical se denomina convección y es clave para la formación de nubes, generación de lluvias y flujo efectivo de energía entre superficie y atmósfera.

Variables
Símbolo
Texto
Variable
Valor
Unidades
Calcule
Valor MKS
Unidades MKS
$h$
h
Altura de la atmósfera
m
$c_p$
c_p
Calor especifico a presión constante
J/kg K
$l_m$
l_m
Calor latente de evaporación
J/mol
$\Gamma$
G
Coeficiente adiabatico aire saturado
C/km
$\kappa$
kappa
Coeficiente adiabatico aire seco
C/km
$c_s$
c_s
Concentración de vapor de agua saturado
mol/m^3
$\lambda$
lambda
Conducción Térmica
W/m K
$\rho$
rho
Densidad de la masa de aire
kg/m^3
$CAPE$
CAPE
Energía potencial de convección
m^2/s^2
$\kappa$
kappa
Indice adiabático
-
$M_{m,v}$
M_mv
Masa molar del agua
kg/mol
$M_{m,a}$
M_ma
Masa molar del aire
kg
$M_s$
M_s
Masa saturada
kg
$n_v$
n_v
Numero de moles agua
mol
$n_a$
n_a
Numero de moles aire
mol
$p_a$
p_a
Presión del aire
Pa
$r_s$
r_s
Relación de masas
-
$\zeta$
z
Relación de masas molares
-
$T$
T
Temperatura absoluta
K
$T_t$
T_t
Temperatura de la parte superior de la atmósfera
K
$T_s$
T_s
Temperatura de la superficie
K
$dc_s$
dc_s
Variación de la concentración saturada
mol/m^3
$dM_s$
dM_s
Variación de la masa saturada
kg
$dT$
dT
Variación de temperatura
K
$dV$
dV
Variación de volumen
m^3
$\Delta Q$
DQ
Variación del calor
J
$dW$
dW
Variación del trabajo
J
$v$
v
Velocidad de ascenso de la masa en convección
m/s
$\eta$
eta
Viscosidad
Pa s
$V_a$
V_a
Volumen del aire
m^3

Cálculos

Primero, seleccione la ecuación:   a ,  luego, seleccione la variable:   a 
Símbolo
Ecuación
Resuelto
Traducido

Cálculos

Símbolo
Ecuación
Resuelto
Traducido

 Variable   Dado   Calcule   Objetivo :   Ecuación   A utilizar


Ecuaciones

Ejemplos

Al calentarse una masa de aire esta tiende a dilatarse reduciendose su densidad.

La expansi n en si crea una situaci n en que la presi n en su parte superior es menor que en su parte inferior lo que da origen a una diferencia de presi n y con ello a una fuerza.

Esta fuerza es analoga a la fuerza de sustentaci n en el agua, con la diferencia de que con la altura se va reduciendo hasta el punto que ya no supera la gravedad y el cuerpo no continua acendiendo.

(ID 40)

El inicio de convecci n t rmica esta descrito por el n mero de Rayleigh que incluye una serie de par metros propios del aire y otros geom tricos de la situaci n

$Ra=\displaystyle\frac{\rho^2 g c_p}{\eta\lambda}\displaystyle\frac{(T_e-T_t)}{T_e}h^3$

y que permite determinar cuando la situaci n se vuelve inestable.

Para un sistema entre dos placas con las temperaturas inferior T_e (superficie de la tierra) y superior T_t (capa superior de la atm sfera) la convecci n se iniciara al alcanzar un n mero de Rayleigh de 1708. Para el caso de dos superficies libres el valor cr tico es 657.51. Para un sistema de un borde fijo y el otro libre 1,100.65.

En el caso de corrientes a reas la densidad es \rho\sim 1.27,kg/m^3, capacidad cal rica especifica c_p\sim 721.7,J/kg K, conductividad t rmica \lambda\sim,0.024,W/m K y viscosidad del aire \eta\sim 1.8\times 10^{-5} Pa,s se obtiene que el numero de Rayleigh es

Ra\sim 2.6\times 10^{10},1/m^3,\displaystyle\frac{(T_e-T_t)}{T_e}h^3

por lo que con el gradiente

\displaystyle\frac{(T_e-T_t)}{T_e}\sim\displaystyle\frac{(14.2-(-30))}{273.15+14.2}\sim 0.16

se concluye que pr cticamente siempre de tiene las condiciones para que exista convecci n.

(ID 9040)

En general el flujo del aire se puede modelar mediante la ecuaci n de Navier Stokes

$\rho v\displaystyle\frac{dv}{dx}=(\rho_m-\rho) g$



que en el caso de un flujo unidimensional en una dimensi n se puede escribir como

$\rho v\displaystyle\frac{dv}{dx}=(\rho_m-\rho) g$



donde \rho_m es la densidad del medio, \rho la densidad de la masa en ascenso y g la aceleraci n gravitacional.

Si la velocidad inicial es cero la integraci n de la ecuaci n nos dar

$v(z)^2=2g\displaystyle\int_0^zds\displaystyle\frac{(\rho_m(s)-\rho(s))}{\rho(s)}$

(ID 9938)

El flujo de un liquido o gas es descritos mediante la ecuaci n de Navier Stokes

$ \rho \left(\displaystyle\frac{\partial\vec{u}}{\partial t}+\vec{u}\cdot\nabla\vec{u}\right)=-\nabla p+\eta\nabla^2\vec{u}+\displaystyle\frac{1}{3}\nabla(\nabla\cdot\vec{u})+\rho\vec{g}$



que en la aproximaci n de baja viscosidad, una situaci n que se puede modelar dimensional y es un flujo estacionario se reduce a

\rho v\displaystyle\frac{dv}{dx}=-\displaystyle\frac{dp}{dx}-\rho g

El gradiente de la presi n se modela en este caso con la presi n barom trica dando

$\rho v\displaystyle\frac{dv}{dx}=(\rho_m-\rho) g$

(ID 9937)

Para el caso de que la masa de aire asciende en forma lenta la ecuaci n hidrodin mica de Navier Stokes en una dimensi n se puede escribir como

$\rho v\displaystyle\frac{dv}{dx}=(\rho_m-\rho) g$



donde \rho_m es la densidad del medio, \rho la densidad de la masa en ascenso y g la aceleraci n gravitacional.

Si la velocidad inicial es cero la integraci n de la ecuaci n nos dara

$ v(z) ^2 = 2 g \displaystyle\int_0^zds\displaystyle\frac{( \rho_m(s) - \rho(s) )}{ \rho(s) }$

(ID 4869)

Como la densidad es proporcional al inverso de la temperatura

\rho\propto\displaystyle\frac{1}{T}

se tiene que el factor

\displaystyle\frac{\rho_m-\rho}{\rho}

en

$ v(z) ^2 = 2 g \displaystyle\int_0^zds\displaystyle\frac{( \rho_m(s) - \rho(s) )}{ \rho(s) }$



se puede reemplazar por

\displaystyle\frac{T-T_m}{T_m}

e introducir

$CAPE=g\displaystyle\int_0^z ds\displaystyle\frac{(T(s)-T_m(s))}{T_m(s)}$

que tiene unidades de energ a y corresponde a la energ a potencial de convecci n CAPE.

(ID 9923)

Con la velocidad de ascenso dada por

$ v(z) ^2 = 2 g \displaystyle\int_0^zds\displaystyle\frac{( \rho_m(s) - \rho(s) )}{ \rho(s) }$



y la definici n del CAPE

$CAPE=g\displaystyle\int_0^z ds\displaystyle\frac{(T(s)-T_m(s))}{T_m(s)}$



se tiene que la velocidad de ascenso en funci n del CAPE es

$ v =\sqrt{2 CAPE }$

(ID 8836)

El proceso de convecci n se describe con el diagrama de presi n y temperatura en que se diagraman

- la adiabata de aire seco
- la adiabata de aire humedio
- la temperatura ambiental

y se determina como el volumen evolucionara:

Diagrama de CAPE (Energ a potencial de convecci n disponible)

En el diagrama se muestra como la masa de aire sube:

- sin condesar desde A a B donde inicia la condensaci n

- comienza a condesar y sube de B a C contra la resistencia CIN

- continua subiendo de C a D impulsado por la energ a potencial de condensaci n

La fase CIN puede evitar que la masa sufra la convecci n y vuelva a decender.

(ID 3098)

Para un proceso adiab tico el trabajo es

p,dV=\displaystyle\frac{V,dp}{\gamma}

con \gamma la relaci n entre calores espec ficos

\gamma=\displaystyle\frac{c_p}{c_v}

que para un gas ideal es 5/3. De la primera ley de la termodin mica se tiene que

m,c_vdT=\displaystyle\frac{V,dp}{\gamma}

Como en el caso de la atm sfera es

dp=-\rho,g,dz=-\displaystyle\frac{m}{V},g,dz

se tiene que el gradiente adiab tico es

\Gamma=-\displaystyle\frac{dT}{dz}

para el caso del aire seco es

$\Gamma=\displaystyle\frac{g}{c_p}$

que corresponde a 9.8 C/km.

(ID 9924)

La relaci n de masas molares del vapor de agua con el aire se define como la relaci n de las masas molares de cada componente presentes en un volumen:

$\zeta=\displaystyle\frac{M_{mol,v}}{M_{mol,a}}$

Como los valores son fijos se puede estimar el valor, el que resulta ser igual a \zeta=0.625.

(ID 9925)

La relaci n de mezcla del vapor de agua con el aire se define como la relaci n de las masas de cada componente presentes en un volumen:

$\displaystyle\frac{M_v}{M_a}=\displaystyle\frac{n_vM_{mol,v}}{n_aM_{mol,a}}=\displaystyle\frac{p_v}{p_a}\displaystyle\frac{M_{mol,v}}{M_{mol,a}}\sim 0.01$



Donde $M_v$ y $M_a$ son las masas de vapor de agua y aire respectivamente, $n_v$ y $n_a$ son las moles de vapor de agua y aire, $M_{mol,v}$ y $M_{mol,a}$ son las masas molares de vapor de agua y aire, $p_v$ y $p_a$ son las presiones relativas de vapor de agua y aire, y $r$ es la relaci n de mezcla. Por ello se tiene que es

$ r =\displaystyle\frac{ M_v }{ M_a }$

En el caso espec fico del vapor de agua en el aire, la relaci n de mezcla es proporcional a las presiones relativas, que se pueden cuantificar utilizando la presi n de vapor de agua $p_v\sim 1500 Pa$ y la presi n del aire $p_a\sim 10^5 Pa$. Al aplicar la ecuaci n de los gases y la definici n de la masa molar, se obtiene que la relaci n de mezcla es aproximadamente $0.01$. Esto significa que la cantidad de vapor de agua en comparaci n con el aire es baja en condiciones normales.

(ID 7069)

Con la relaci n de mezcla de vapor de agua en funci n de la masa:

$ r =\displaystyle\frac{ M_v }{ M_a }$



la relaci n entre moles y masas

$ n = \displaystyle\frac{ M }{ M_m }$



y la relaci n entre masas molares

$\zeta=\displaystyle\frac{M_{mol,v}}{M_{mol,a}}$



se obtiene la relaci n de mezcla de vapor de agua con aire en funci n de los moles

$ \displaystyle\frac{ n_v }{ n_a }=\displaystyle\frac{ r }{ \zeta }$

(ID 9933)

La variaci n del calor esta para aire seco:

$ \Delta Q = C_p \Delta T $



Para el caso de aire h medo debe considerarse tambi n la masa del vapor de agua. Como la proporci n de masa es

$ r =\displaystyle\frac{ M_v }{ M_a }$



se tiene que la masa se puede escribir como

M=M_a(1+r)

donde M_a la masa del aire y con ello

$ \delta Q = M_a(1+ r ) c_p dT $

(ID 9927)

La variaci n del trabajo esta para aire seco:

$ \delta W = p dV $



Para el caso de aire h medo debe considerarse los moles del vapor de agua. Con la ecuaci n de los gases

$ p V = n R_C T $



se puede definir el numero total de moles en funci n de los moles del aire

n=n_a+n_v=n_a\left(1+\displaystyle\frac{n_v}{n_a}\right)=n_a\left(1+\displaystyle\frac{M_v}{M_{mol,v}}\displaystyle\frac{M_{mol,a}}{M_a}\right)=n_a\left(1+\displaystyle\frac{r}{\zeta}\right)

con lo que la ecuaci n de estado es

$ \delta W =-\left(1+\displaystyle\frac{ r }{ \zeta }\right) n_a R_C T \displaystyle\frac{ dV }{ V }$

(ID 9928)

En el caso del proceso adiabatico

$ \delta Q =0$



Como el calor es para el caso de aire h medo es:

$ \delta Q = M_a(1+ r ) c_p dT $



y el trabajo

$ \delta W =-\left(1+\displaystyle\frac{ r }{ \zeta }\right) n_a R_C T \displaystyle\frac{ dV }{ V }$



se obtiene con

$ \kappa \equiv1+\displaystyle\frac{ R_C }{ M_m c_V }$



se obtiene la ecuaci n de estado

$\displaystyle\frac{dT}{T}=-\displaystyle\frac{(1+r/\zeta)}{(1+r)}(\kappa-1)\displaystyle\frac{dV}{V}$

Al ser r\sim 0.01 el efecto del vapor de agua es me menor orden en la medida que este no se encuentre en estado saturado ya que en dicha situaci n un cambio de temperatura lleva a condensaci n o evaporaci n que si afecta el calor del sistema.

(ID 9926)

En el caso de que el aire esta saturado, la presi n del vapor de agua es:

$ p_s = p_{ref} e^{- l_m / R_C T }$



y con la ecuaci n de los gases expresada en funci n de la concentraci n

$ p = c_m R_C T $



se obtiene que

c_s=\displaystyle\frac{p_0e^{-l_m/RT}}{RT}

Si la temperatura varia en una peque a cantidad dT se puede desarrollar la expresi n en la temperatura dando la variaci n de la concentraci n en primera aproximaci n

dc_s=c_s\displaystyle\frac{l_m-RT}{RT^2}dT

Como el calor latente del agua es del orden de l_m\sim 40.65,kJ/mol que es mucho mayor que el factor RT por lo que la variaci n de la concentraci n se puede aproximar por

$ dc_s = c_s \displaystyle\frac{ l_m }{ R_C T ^2} dT $

(ID 9929)

Como la concentraci n varia con la temperatura en primer orden como:

$ dc_s = c_s \displaystyle\frac{ l_m }{ R_C T ^2} dT $



y la concentraci n se define como

$ c_m \equiv\displaystyle\frac{ n }{ V }$



se concluye con

$ n = \displaystyle\frac{ M }{ M_m }$



que la variaci n de la masa es

$ dM_s = M_s \displaystyle\frac{ l_m }{ R_C T ^2} dT $

(ID 9934)

Al estar saturado el ractor de mezcla

$ r =\displaystyle\frac{ M_v }{ M_a }$



se debe calcular con la masa saturada que se puede obtener de la concentraci n saturada multiplicando por el volumen y la masa molar

M_s=VM_{mol,v}c_s=\displaystyle\frac{M_{mol,v}V p_0}{RT}e^{-l_m/RT}

Como por el otro lado la masa del aire es

M_a=M_{mol,a}n_a=\displaystyle\frac{M_{mol,a}p_a V}{RT}

se obtiene que la relaci n de mezclado del vapor de agua saturado es

$ r_s = \zeta_s \displaystyle\frac{ p_0 }{ p_a }e^{- l_m / R_C T }$

(ID 9935)

La variaci n del calor esta para aire seco:

$ \Delta Q = C_p \Delta T $



Para el caso de aire saturado debe considerarse que la variaci n del vapor de agua lleva al aumento de la masa saturada la que aumenta seg n

$ dM_s = M_s \displaystyle\frac{ l_m }{ R_C T ^2} dT $



y que entrega el calor que se obtiene multiplicando este valor por el calor latente l_m

l_mdM_s=M_s\displaystyle\frac{l_m^2}{RT^2}dT

Como ademas la masa del vapor de agua se puede relacionar con la masa de aire por la relaci n de mezcla

$ r =\displaystyle\frac{ M_v }{ M_a }$



se concluye que el calor se modifica con la variaci n de la temperatura como

$ \delta Q = M_a \left( c_p +\displaystyle\frac{ l_m ^2 r_s }{ R_C T ^2}\right) dT $



donde la relaci n de mezcla es

$ r_s = \zeta_s \displaystyle\frac{ p_0 }{ p_a }e^{- l_m / R_C T }$

(ID 9931)

La variaci n del trabajo esta para aire seco:

$ \delta W = p dV $



Para el caso de aire saturado debe considerarse que la variaci n del vapor de agua lleva al aumento de la concentraci n saturada la que aumenta seg n

$ dc_s = c_s \displaystyle\frac{ l_m }{ R_C T ^2} dT $



con lo que la ecuaci n de estado es

$ \delta W =-\left(1+\displaystyle\frac{ l_m r_s }{ R_C T }\right) n_a R_C T \displaystyle\frac{ dV }{ V }$



donde la relaci n de mezcla es

$ r_s = \zeta_s \displaystyle\frac{ p_0 }{ p_a }e^{- l_m / R_C T }$

(ID 9930)

En el caso del proceso adiabatico

$ \delta Q =0$



Como el calor es para el caso de aire h medo es:

$ \delta Q = M_a \left( c_p +\displaystyle\frac{ l_m ^2 r_s }{ R_C T ^2}\right) dT $



y el trabajo

$ \delta W =-\left(1+\displaystyle\frac{ l_m r_s }{ R_C T }\right) n_a R_C T \displaystyle\frac{ dV }{ V }$



se obtiene con

$ \kappa \equiv1+\displaystyle\frac{ R_C }{ M_m c_V }$



se obtiene la ecuaci n de estado

$ \displaystyle\frac{ dT }{ T }=-\displaystyle\frac{\left(1+\displaystyle\frac{ l_m r_s }{ R_C T }\right)}{\left(1+\displaystyle\frac{ l_m ^2 r_s }{ c_p R_C T ^2}\right)}( \kappa -1)\displaystyle\frac{ dV }{ V }$

Si se evalua el factor que se antepone a el factor (\kappa-1) se ve que su valor es del orden de 0.55 y que es en primer orden independiente de la temperatura. Con ello se puede definir un indice adiabatico para aire saturado con un valor del orden de \kappa_s\sim 1.22 en vez de los tradicionales 1.4.

(ID 9932)

Para el caso del aire no saturado el gradiente adiab tico era

$\Gamma=\displaystyle\frac{g}{c_p}$



que con la ecuaci n del proceso adiabatico saturado

$ \displaystyle\frac{ dT }{ T }=-\displaystyle\frac{\left(1+\displaystyle\frac{ l_m r_s }{ R_C T }\right)}{\left(1+\displaystyle\frac{ l_m ^2 r_s }{ c_p R_C T ^2}\right)}( \kappa -1)\displaystyle\frac{ dV }{ V }$



con lo que el coeficiente adiab tico para aire saturado es

$ \Gamma =\displaystyle\frac{ g }{ c_p }\displaystyle\frac{1+\displaystyle\frac{ l_m r_s }{ R_C T }}{1+\displaystyle\frac{ l_m ^2 r_s \epsilon}{ c_p R_C T ^2}}$

El valor se puede representar como el coeficiente adiab tico no saturado multiplicado por un coeficiente que es del orden de 0.55. De esta forma el coeficiente adiab tico de aire saturado es del orden de 5.4 C/km.

(ID 3097)

ID:(552, 0)