Cuando corre viento por un lugar en que existen nubes o neblina el movimiento del aire comienza a ejercer fuerza sobre las peque as gotas pudiendo arrastrarlas.

La resistencia se define en funci n de la viscosidad del fluido y la velocidad de la esfera de la siguiente manera:

equation=3243

Stokes calcul expl citamente la resistencia experimentada por la esfera y determin que la viscosidad es proporcional al radio de la esfera y su velocidad, lo que lleva a la siguiente ecuaci n para la resistencia:

kyon

Como la fuerza que ejerce el viento de velocidad v_n es igual a

F=6\pi\eta r (v_n-v)

se tiene que la velocidad de puede calcular de resolver la ecuaci n

m\displaystyle\frac{dv}{dt}=6\pi\eta r (v_n-v)

donde m es la masa de la gota. Si la masa se calcula del radio r y densidad del agua \rho_w mediante

m=\displaystyle\frac{4\pi}{3}r^3\rho_w

se tiene la ecuaci n

\displaystyle\frac{dv}{dt}=\displaystyle\frac{1}{\tau} (v_n-v)

con el tiempo caracter stico

\tau =\displaystyle\frac{2r^2\rho_w}{9\eta}

La soluci n es por ello

v(t)=V(1-e^{-t/\tau})

y concluimos que:

> *Las gotas de lluvia tienden a alcanzar en un tiempo igual al tiempo caracter stico $\tau$ la velocidad del viento.*

El tiempo caracter stico es

\tau =\displaystyle\frac{2r^2\rho_w}{9\eta}

lo que permite estudiar en que escala de tiempo ocurre la aceleraci n.

Para gotas en una neblina o nube el radio medio lo podemos asumir como de 2.2\mu m, la densidad del agua como 1,g/cm^3 y la viscosidad del aire como 1.8\times 10^{-5}Pa,s con lo que el tiempo caracter stico es de 6\times 10^{-5}s. Por ello

> *El arrastre de neblina por el viento es casi instant neo.*

En el caso de gotas de lluvia el radio es del orden de 0.5,mm por lo que el tiempo caracter stico es mucho mayor. Con los restantes par metros se obtiene que es t picamente del orden de 3,s.

> *El arrastre de gotas de lluvia por el viento muestra una inercia m nima.*

Las gotas de agua contenidas en la neblina son de un tama o entre fracciones y algunas decenas de micrones:

image

Seg n la gr fica el 50% de las gotas tienen un radio inferior a unos 2.2 mu. Por ello podemos concluir que

> La t pica gota de neblina tiene un radio de 2.2 mu

Las gotas de lluvia son de un tama o entre fracciones y algunos mil metros:

image

Seg n la gr fica, el m ximo se encuentra en ambos casos para gotas que tienen un radio de alrededor de 0.5 mm. Por ello podemos concluir que

> La t pica gota de lluvia tiene un radio de 0.5 mm

Si se integra la ecuaci n

\displaystyle\frac{dv}{dt}=\displaystyle\frac{1}{\tau}(V-v)

en el tiempo se obtiene que el camino en el tiempo es igual a

x(t)=V\tau\left(\displaystyle\frac{t}{\tau}-1+e^{-t/\tau}\right)

Al ser la escala de tiempo que interesa mucho mayor que el tiempo caracter stico \tau se tiene que

> *Las gotas de neblina se mueven pr cticamente con la masa de aire en que est n suspendidas.*

> $x(t)=Vt$

Dado que el tiempo caracter stico es solo de algunos segundos se puede considerar que las gotas viajan a velocidad constante tanto con el viento como en su ca da. Por ello, si la velocidad del viento es V el camino recorrido en un tiempo t ser

d=Vt

Como t es el tiempo de la ca da, si h es la altura y la velocidad de ca da es

v=\displaystyle\frac{2r^2\rho_w g}{9\eta}

se tiene que el tiempo de ca da ser

t=\displaystyle\frac{h}{v}

por lo que la distancia viajada ser

d=\displaystyle\frac{9\eta}{2\rho_w g}\displaystyle\frac{Vh}{r^2}

Por ello

> *La distancia recorrida es proporcional a la velocidad del viento y la altura inicial e inversamente proporcional al radio de la gota:*

> $d\propto\displaystyle\frac{Vh}{r^2}$

Si se considera que el viento viaja a 1,m/s y las gotas tienen un radio entre 1\mu m y 1000\mu m=1,mm y est n a una altura entre 3,m y 300,m se obtienen las distancias recorridas graficadas (en metros y escala logar tmica) continuaci n:

image

La parte superior recortada corresponde a distancias mayores que 100,km. Las distancias menores (cm) se dan para gotas grandes (1, mm) a baja altura (3,m).

Para el caso de lluvia (r > 0.1,mm) todas las gotas distribuidas en el rango de altura alcanzan el suelo antes de llegar a una distancia de los 10,m.

Para el caso de neblina (r < 50\mu m) pr cticamente ninguna gota alcanza suelo.

Si se considera que el viento viaja a 5,m/s y las gotas tienen un radio entre 1\mu m y 1000\mu m=1,mm y est n a una altura entre 3,m y 300,m se obtienen las distancias recorridas graficadas (en metros y escala logar tmica) continuaci n:

image

La parte superior recortada corresponde a distancias mayores que 100,km. Las distancias menores (cm) se dan para gotas grandes (1, mm) a baja altura (3,m).

Para el caso de lluvia (r > 0.1,mm) todas las gotas distribuidas en el rango de altura alcanzan el suelo antes de llegar a una distancia de unos 400,m.

Para el caso de neblina (r < 50\mu m) pr cticamente ninguna gota alcanza suelo.

Si se considera que el viento viaja a 10,m/s y las gotas tienen un radio entre 1\mu m y 1000\mu m=1,mm y est n a una altura entre 3,m y 300,m se obtienen las distancias recorridas graficadas (en metros y escala logar tmica) continuaci n:

image

La parte superior recortada corresponde a distancias mayores que 100,km. Las distancias menores (cm) se dan para gotas grandes (1, mm) a baja altura (3,m).

Para el caso de lluvia (r > 0.1,mm) todas las gotas distribuidas en el rango de altura alcanzan el suelo antes de llegar a una distancia de unos 1200,m.

Para el caso de neblina (r > 50\mu m) pr cticamente ninguna gota alcanza suelo.