La calefacci n crital consiste en tubos de radio $r$ colocados a una profundidad $h$ y separados en $s$:


Tubos de una calefacci n crital

En un modelo m s exacto se debe asumir que el material que rodea los tubos tiene un borde superior a una altura $h_1$ y un segundo borde hacia abajo a una profundidad $h_2$.

En sistema puede ademas estar rodeado tanto por arriba por capas de altura $L_{1i}$ y conductividad $\lambda_{1i}$ mientras que hacia abajo puede existir capas de altura $L_{2i}$ y conductividad $\lambda_{2i}$.

Adicionalmente se puede asumir que existe tanto en la parte superior como inferior una interface hacia el aire de las salas con constante de transferencia $\alpha_1$ y $\alpha_2$. En caso de que el sistema no este sobre un espacio vac o y este en contacto con suelo se puede obviar la constante de transferencia $\alpha_2$.

Adicionalmente se deben asumir las temperaturas claves del sistema. Estas son la temperatura del medio superior (aire) $T_1$, del rea inferior (aire o suelo) $T_2$ y del agua $T_0$.

En general la ecuaci n que describe el flujo de calor por una secci n $S$, entre dos puntos a una distancia $h$ en un material de conductividad $\lambda$ bajo una diferencia de temperatura $\Delta T$ seg n

$\displaystyle\frac{dQ}{dt}=\displaystyle\frac{S}{h}\lambda\Delta T$

En el caso de la calefacci n crital la secci n es por un lado la superficie del tubo de largo $L$ y radio $r$, que es igual a $2\pi r R$ y la superficie de la sala a ser calefaccionada $S_0$.

> Secciones del problema

>

> Para comprender las secciones que se presentan en este caso podemos considerar una sala con una tubo $L$ de $80,m$ con separaci n $s$ de $15,cm$ lo que corresponder a una habitaci n de una superficie de

>

> $Ls=80,m 15,cm = 12m^2$

>

> Para el caso del tubo, si se supone un radio externo de $8,mm$ se tiene que la superficie de este ser

>

> $2\pi r L=2\pi 8,mm 80,m=4.02,m^2$

Una soluci n detallada de la ecuaci n de Fourier

$\displaystyle\frac{dQ}{dt}=-\lambda

abla T$

con la condici n de borde de que la temperatura en la superficie del agua es $T_0$ y en la superficie del suelo $T$ se puede mostrar que la secci n $S$ se puede reemplazar por una secci n efectiva que en este caso es

$S_{eff}=\displaystyle\frac{2\pi Lh}{\ln\left(\displaystyle\frac{s}{\pi r}\sinh\left(\displaystyle\frac{2\pi h}{s}\right)\right)}$

con una ecuaci n de flujo de calor de la forma

$\displaystyle\frac{dQ}{dt}=\displaystyle\frac{S_{eff}}{h}\lambda\Delta T$

> Secci n efectiva

>

> Si se supone que el radio externo del tubo $r$ es $8,mm$, la profundidad en que se localiza $h$ es $2,cm$, el largo de este $L$ es de $80,m$ y la separaci n de los tubos $s$ es de $15,cm$ se tiene una secci n efficaz de

>

> $S_{eff}=\displaystyle\frac{2\pi Lh}{\ln\left(\displaystyle\frac{s}{\pi r}\sinh\left(\displaystyle\frac{2\pi h}{s}\right)\right)}=\displaystyle\frac{2\pi 80,m 2,cm}{\ln\left(\displaystyle\frac{15,cm}{\pi 8,mm}\sinh\left(\displaystyle\frac{2\pi 2,cm}{15,cm}\right)\right)}=5.83,m^2$

La secci n efficaz se puede entender como la superficie que efectivamente va a irradiar desde el suelo a la habitaci n. Por otro lado la calefacci n genera convecci n que a nivel del aire lleva a una rapida mezcla de aire caliente con aire frio haciendo que el ambiente este calefaccionado en forma mas pareja de lo que esta el piso mismo.

> Efectividad de la radiaci n

>

> En el ejemplo calculado la superficie efectiva es de $5.83,m^2$ y con ello solo un $48.6,\%$ de la superficie de la habitaci n a calentar. Esto significa que los restantes $51.5,\%$ presentaran una baja radiaci n siendo posible detectar donde se encuentran/no existe la presencia de tubos.

En el caso de un sistema de secciones constantes se puede definir una constante de transporte $k$ que se calcula de la constante de transferencia de la superficie $\alpha$, de las constantes de conducci n $\lambda_i$ y ancho $L_i$ de la placa $i$. Si el calor es generado al final de la ultima placa solo existe una interface al sistema externo y la constante de transporte ser :

$\displaystyle\frac{1}{k}=\displaystyle\frac{1}{\alpha}+\sum_i\displaystyle\frac{L_i}{\lambda_i}$

Esta expresi n se puede generalizar para el caso de que la ultima secci n sea modelada con la ecuaci n

$\displaystyle\frac{dQ}{dt}=\displaystyle\frac{S_{eff}}{h}\lambda\Delta T$

con la secci n

$S_{eff}=\displaystyle\frac{2\pi Lh}{\ln\left(\displaystyle\frac{s}{\pi r}\sinh\left(\displaystyle\frac{2\pi h}{s}\right)\right)}$

Por ello la constante de transporte se calcula como

$\displaystyle\frac{1}{kS_0}=\displaystyle\frac{1}{\alpha S_0}+\sum_i\displaystyle\frac{L_i}{\lambda_iS_0}+\displaystyle\frac{1}{2\pi L\lambda}\ln\left(\displaystyle\frac{s}{\pi r}\sinh\left(\displaystyle\frac{2\pi h}{s}\right)\right)$

o

$\displaystyle\frac{1}{k}=\displaystyle\frac{1}{\alpha}+\sum_i\displaystyle\frac{L_i}{\lambda_i}+\displaystyle\frac{s}{2\pi \lambda}\ln\left(\displaystyle\frac{s}{\pi r}\sinh\left(\displaystyle\frac{2\pi h}{s}\right)\right)$

dado que

$s=\displaystyle\frac{S_0}{L}$

y donde la suma no incluye la secci n en que est n los tubos, y no se considera para el caso de que no existan capas adicionales.

En el caso de un sistema en contacto con aire la consatnte de trasnporte de calor es igual a

$\displaystyle\frac{1}{k}=\displaystyle\frac{1}{\alpha}+\sum_i\displaystyle\frac{L_i}{\lambda_i}+\displaystyle\frac{s}{2\pi \lambda}\ln\left(\displaystyle\frac{s}{\pi r}\sinh\left(\displaystyle\frac{2\pi h}{s}\right)\right)$

En caso de que el sistema esta en contacto con el suelo se puede asumir que este impone una temperatura de borde y no es necesario considerar una consante de transmisi n. Por ello, en este caso la constante de transporte se reduce a

$\displaystyle\frac{1}{k}=\sum_i\displaystyle\frac{L_i}{\lambda_i}+\displaystyle\frac{s}{2\pi \lambda}\ln\left(\displaystyle\frac{s}{\pi r}\sinh\left(\displaystyle\frac{2\pi h}{s}\right)\right)$

En la medida que la soluci n del flujo desde el tubo a cada superficie no tenga una mayor contribuci n en el flujo de calor en la secci n opuesta el flujo por dos superficies se puede estimar sumando las soluciones del flujo de cada superficie.

Si el flujo por la superficie 1 es

$\displaystyle\frac{dQ_1}{dt}=S_0k_1(T_0-T_1)$

y por la superficie 2 es

$\displaystyle\frac{dQ_2}{dt}=S_0k_2(T_0-T_2)$

con las constantes de transporte $k_1$ y $k_2$, la secci n de la habitaci n es $S_0$, la temperatura del agua es $T_0$ y de los sistemas superior $T_1$ e inferior $T_2$.

Si el flujo de calor por la secci n 1 es $\dot{Q}_1$ y por la secci n 2 es $\dot{Q}_2$ entonces la potencia a ser aportada por el agua es igual a la suma de ambas

$\displaystyle\frac{dQ_t}{dt}=\displaystyle\frac{dQ_1}{dt}+\displaystyle\frac{dQ_2}{dt}$

La temperatura en radio r ($T_r$) es una funci n de el radio ($r$) que con el radio interior ($r_i$), la temperatura en la superficie interior ($T_{is}$), el radio exterior ($r_e$) y la temperatura en la superficie exterior ($T_{es}$) es:

kyon

La tasa de flujo de calor ($q$) es con la diferencia de temperatura en el conductor ($\Delta T_0$), la conductividad térmica ($\lambda$), el radio interior ($r_i$) y el radio exterior ($r_e$) es:

kyon

Como el flujo de calor por la pared del tubo se modela como un cilindro se tiene que

$\displaystyle\frac{dQ}{dt}=\displaystyle\frac{2\pi L\lambda}{\ln\left(\displaystyle\frac{r_e}{r_i}\right)}(T_2-T_1)$

o como potencia por rea

$\displaystyle\frac{1}{2\pi r_e L}\displaystyle\frac{dQ}{dt}=\displaystyle\frac{\lambda}{r_e}\displaystyle\frac{(T_2-T_1)}{\ln\left(\displaystyle\frac{r_e}{r_i}\right)}$

Por otro lado la temperatura del agua deber ser algo superior a la de la superficie externa del tubo

$T_2 = T_1 + \displaystyle\frac{r_e}{\lambda}\ln\left(\displaystyle\frac{r_e}{r_i}\right)\displaystyle\frac{1}{2\pi r_e L}\displaystyle\frac{dQ}{dt}$

> Correcci n de temperatura por pared de tubo

>

> Si la potencia por rea en la superficie del tubo es

>

> $\displaystyle\frac{1}{2\pi r_e L}\displaystyle\frac{dQ}{dt} = 40,W/m^2$

>

> y la temperatura en la superficie del tubo de radio exterior $r_e$ es $8,mm$ e interior $r_i$ es $6,mm$ es $T_1$ es $21,^{\circ}$ y la conductividad $\lambda$ es $0.43,W/mK$ la temperatura interior ser

>

> $T_2 = T_1 + \displaystyle\frac{r_e}{\lambda}\ln\left(\displaystyle\frac{r_e}{r_i}\right)\displaystyle\frac{1}{2\pi r_e L}\displaystyle\frac{dQ}{dt}=20^{\circ}+\displaystyle\frac{8,mm}{0.43,W/mK}\ln\left(\displaystyle\frac{8,mm}{6,mm}\right)40,W/m^2=20.09^{\circ}$

Para poder dise ar un sistema de calefacci n crital debemos poder estimar

* la temperatura que necesitamos en la sala a calefaccionar ($T_1$)

* la potencia necesaria para mantener dicha temperatura que depende de la insolaci n de la pieza en particular con respecto al exterior ($\dot{Q}_1$)

* los par metros geom tricos de los tubos y la capa en que est n instalados ($r_i$, $r_e$, $h_1$, $h_2$, $S_0$)

* los par metros geom tricos y de materiales de las capas superiores e inferiores a la capa de los tubos ($\alpha_1$, $\lambda_i$, $L_i$)

* la situaci n que se da debajo de las capas inferiores. Esto es si es un espacio o es suelo y a que temperatura se encuentra ($\alpha_2$).

Con estos datos se puede calcular (se debe dejar vacio el que se desea calcular - por defecto asume el largo del tubo)

* la temperatura que tiene que tener el agua ($T_0$)

o

* el largo ($L$) y la separaci n ($s$) del tubo.

* la potencia que debe de aportar el agua ($\dot{Q}_0$)

* la potencia que, en forma involuntaria, se estar entregando al sistema debajo de las capas inferiores a la capa de los tubos (espacio o suelo) ($\dot{Q}_2$)

Nota: la cantidad de calor entregada a una pieza inferior ($\dot{Q}_2$) debe ser considerada en el calculo del calor necesario para calefaccionar esta misma. Por ello es conveniente desarrollar el calculo comenzando por los pisos superiores y bajando progresivamente.