Si se supone que una part cula tiene en un momento t_0 una velocidad v_0 existe una probabilidad\\n\\n

$P(t,v|t_0,v_0)$

que en un tiempo t posterior tenga una velocidad v.

Nota: Un proceso en que el nuevo estado depende del estado anterior se denomina un proceso de Markoff.

Para simplificar la formulaci n se considera el tiempo desde el tiempo inicial t_0 al que se le define como s con list

Para comprender como cambia la probabilidad en el tiempo de que una part cula tenga una velocidad entre v y v+dv \\n\\n

$\displaystyle\frac{\partial P}{\partial s}dv$

\\n\\ndebemos considerar aquellas part culas que una vez llegaron a tener una velocidad en dicho rango y ahora presentan una velocidad v' distinta. Estas representan una reducci n (signo negativo) y deben ser sumadas sobre todas las velocidades v' posibles:\\n\\n

$-\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}du P(v,s|v_0)P(u,\tau|v)$

\\n\\nEn forma analog se sumaran part culas a aquellas en el rango de la velocidad si antes presentaban una distinta y son transferidas al nuevo rango:\\n\\n

$+\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}du P(u,s|v_0)P(v,\tau|u)$

Con ello la ecuaci n para la evoluci n temporal de la probabilidad es con list

Como la probabilidad P(v,s|v_0) cubre todos los cambios posibles, una integraci n en v debe llevar a la unidad con list

Con la ecuaci n diferencial de la probabilidad con list=9131

con la condici n de normalizaci n con list=9132

y el cambio de variable u=v-\xi se tiene la ecuaci n maestra de la probabilidad con list

El producto P(v-\xi,s|v_0)P(v,\tau|v-\xi) se puede desarrollar en \xi lo que nos arroja\\n\\n

$P(v-\xi,s)v_0)P(v,\tau|v-\xi)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\displaystyle\frac{(-\xi)^n}{n!}\displaystyle\frac{\partial^n}{\partial v^n}[P(v,s)v_0)P(v+\xi,\tau|v)]$

Con ello la ecuaci n con list=9133

se puede escribir con list como

en donde el factor M_n se define con list=9135 como

El coeficiente M_n de la serie se define como\\n\\n

$M_n=\displaystyle\frac{1}{\tau}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}d\xi P(v+\xi,\tau|v)\xi^n$

Estas expresiones corresponde a la promediaci n en el tiempo de las potencias de las diferencias de las velocidades v en el tiempo \tau con la inicial se puede escribir con list como

Si se toma la ecuaci n maestra con la expansi n de Taylor con list=9134

hasta segundo orden se obtiene una ecuaci n para la distribuci n de probabilidad P(v,s|v_0) con list

que se denomina la ecuaci n de Fokker-Planck

El factor M_1 que se obtiene con list=9134

corresponde a la velocidad con list

El factor M_2 que se obtiene con list=9134 de

corresponde al factor de dispersi n estimado para la ecuaci n de Langevin con list

Si se toma la ecuaci n de Fokker Planck con list=3136

y se empelan para los M_n los valores con list=3137

y con list=3138

se obtiene la ecuaci n con list

Si se considera la ecuaci n de Fokker Planck con list=9139

$P(v,s)=e^{s/\tau}Q(u,s)$

\\n\\nse obtiene la ecuaci n para Q(u,s) de la forma\\n\\n

$\displaystyle\frac{\partial Q}{\partial s}=\displaystyle\frac{3k_BT}{m\tau}\displaystyle\frac{\partial^2Q}{\partial u^2}$

\\n\\nque con el cambio de variable\\n\\n

$\xi=\displaystyle\frac{1}{2}\tau(e^{2s/\tau}-1)$

\\n\\nse obtiene la funci n de difusi n\\n\\n

$\displaystyle\frac{\partial Q}{\partial s}=C\displaystyle\frac{\partial^2Q}{\partial\xi^2}$

\\n\\ncon la constante\\n\\n

$C=\displaystyle\frac{k_BT}{m\tau}$

\\n\\nResolviendo esta ecuaci n se obtiene la soluci n\\n\\n

$Q=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{4\pi C\xi}}e^{-(u-u_0)^2/4C\xi}$

con u_0 el valor inicial. Si se integran las distintas funciones se obtiene finalmente list