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Energy Distribution
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The partition function not only allows calculating the average value of energy, it also allows determining the mean value of the square and thus the standard deviation of the probability of energy.
ID:(1570, 0)
Energy Distribution
Description
The partition function not only allows calculating the average value of energy, it also allows determining the mean value of the square and thus the standard deviation of the probability of energy.
Variables
Calculations
to 
,
then, select the variable: 
to 
Calculations
Variable
Given
Calculate
Target :
Equation
To be used
Equations
Examples
La energ a promedio se calcula como el promedio ponderado de las energ as al cuadrado con la probabilidad de los distintos estados
| $P_r=Ce^{-\beta E_r}$ |
\\n\\nde la forma\\n\\n
$\bar{E^2}=\displaystyle\frac{\displaystyle\sum_rP_rE_r^2}{\displaystyle\sum_rP_r}$
con lo que se obtiene con
| $\bar{E^2}=\displaystyle\frac{\displaystyle\sum_rE_r^2e^{-\beta E_r}}{\displaystyle\sum_re^{-\beta E_r}}$ |
(ID 11617)
Como el promedio de la energ a al cuadrado es con beta del sistema $1/J$, energía del estado $r$ $J$, numero del estado $-$ and promedio de la energía al cuadrado $J^2$
| $\bar{E^2}=\displaystyle\frac{\displaystyle\sum_rE_r^2e^{-\beta E_r}}{\displaystyle\sum_re^{-\beta E_r}}$ |
\\n\\ny como la expresi n en el numerador se puede escribir como\\n\\n
$\sum_re^{-\beta E_r}E_r^2=-\displaystyle\frac{\partial}{\partial\beta}\left(\sum_re^{-\beta E_r}E_r\right)=\displaystyle\frac{\partial^2}{\partial\beta^2}\left(\sum_re^{-\beta E_r}\right)$
se tiene con la definici n de la funci n partici n con
| $Z=\displaystyle\sum_Re^{-\beta E_R}$ |
que con
| $\overline{E^2}=\displaystyle\frac{1}{Z}\displaystyle\frac{\partial^2Z}{\partial\beta^2}$ |
(ID 3529)
Como la energ a promedio es con
| $\bar{E}=-\displaystyle\frac{\partial\ln Z}{\partial\beta}$ |
el promedio del cuadrado de la energ a es con
| $\overline{E^2}=\displaystyle\frac{1}{Z}\displaystyle\frac{\partial^2Z}{\partial\beta^2}$ |
\\n\\ny la dispersi n se calcula como\\n\\n
$\overline{(\Delta E)^2}=\overline{E^2}-\overline{E}^2$
\\n\\nse tiene que\\n\\n
$\overline{(\Delta E)^2}=\displaystyle\frac{1}{Z}\displaystyle\frac{\partial^2Z}{\partial\beta^2}-\left(\displaystyle\frac{1}{Z}\displaystyle\frac{\partial Z}{\partial\beta}\right)^2$
lo que se puede mostrar con es igual a
| $\overline{(\Delta E)^2}=\displaystyle\frac{\partial^2\ln Z}{\partial\beta^2}$ |
(ID 3530)
ID:(1570, 0)