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Número de estados e probabilidades
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Para sistematizar o estudo de um sistema usando o método de contagem de estados, buscamos estabelecer uma relação direta entre a probabilidade de encontrar o sistema em uma energia específica e o número de estados associados.
ID:(493, 0)
Sistema em contato com reservatório térmico
Equação
Suponhamos que um sistema com energia $E_r$ esteja em contato com um reservatório térmico de energia $E'$.
Entende-se por reservatório térmico um sistema no qual a temperatura permanece constante. Uma maneira de alcançar isso é utilizando um reservatório grande (como um banho-maria).
Se ambos os sistemas estiverem isolados do ambiente, a soma de suas energias permanecerá constante, o que pode ser expresso com da seguinte forma:
| $E_0=E_r+E_h$ |
.
ID:(3520, 0)
Probabilidade de encontrar o sistema em um estado $r$
Equação
A probabilidade de encontrar o sistema em um estado em que ele tenha uma energia $E_r$, enquanto o reservatório tem uma energia $E' = E_0 - E_r$, é definida como
$P_r = C \cdot \Omega_r(E_r) \cdot \Omega'(E')$
onde $C$ é uma constante ajustada para garantir que a probabilidade esteja normalizada.
Uma vez que $P_r$ representa a probabilidade de encontrar o sistema em um estado específico $r$, o número de estados no estado $r$ é igual a um. Em outras palavras, isso implica que
$\Omega_r(E_r) = 1$
Portanto, a probabilidade pode ser expressa em relação a da seguinte forma:
| $P_r=C_h\Omega_h(E_0-E_r)$ |
ID:(3521, 0)
Condição de normalização
Equação
Se somarmos as probabilidades de cada estado $r$, o resultado deve ser igual a um. Isso significa que está normalizado com a :
| $\sum_rP_r=1$ |
Isso é equivalente a dizer que o sistema deve necessariamente estar em um dos estados possíveis.
ID:(3522, 0)
Desenvolvimento do número de estados na série de Taylor
Equação
Uma vez que a energia $E_r$ é muito menor do que a energia total $E_0`, o logaritmo do número de estados pode ser expandido em torno da energia $E_r$ da seguinte forma:
$\ln\Omega'(E_0-E_r)=\ln\Omega'(E_0)-\left.\displaystyle\frac{\partial\Omega'}{\partial E'}\right\vert_0E_r\ldots$
Uma vez que a derivada do logaritmo do número de estados é igual à função beta:
$\beta=\left.\displaystyle\frac{\partial\Omega'}{\partial E'}\right\vert_0$
Concluímos que, em uma primeira aproximação com ,
| $\ln\Omega_h(E_0-E_r)=\ln\Omega_h(E_0)-\beta E_r$ |
.
ID:(3523, 0)
Equação para a probabilidade do estado $r$
Equação
Se substituirmos a expressão
| $\ln\Omega_h(E_0-E_r)=\ln\Omega_h(E_0)-\beta E_r$ |
com
na equação de probabilidade com ,
| $P_r=C_h\Omega_h(E_0-E_r)$ |
,
obtemos, com , a probabilidade
| $P_r=Ce^{-\beta E_r}$ |
,
onde $C$ é uma constante a ser determinada usando a condição de normalização.
A expressão $e^{-\beta E}$ é chamada de fator de Boltzmann, e a distribuição que descreve é conhecida como distribuição canônica.
ID:(3524, 0)
Constante de normalização
Equação
Sob a condição de normalização com ,
| $\sum_rP_r=1$ |
,
obtém-se que a constante de normalização $C$ é igual a :
| $C^{-1}=\sum_re^{-\beta E_r}$ |
.
ID:(3525, 0)
0
Video
Vídeo: Número de Estados e Probabilidades