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Estadística de Maxwell-Boltzmann

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ID:(501, 0)

Estadística de Maxwell-Boltzmann

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Variablen

Symbol

Text

Variable

Wert

Einheiten

Berechnen

MKS-Wert

MKS-Einheiten

$\beta$

beta

Beta

1/J

$k_B$

k_B

Constante de Boltzmann

J/K

$f(\vec{v})$

Densidad de distribución de velocidades

s/m

$\epsilon_r$

epsilon_r

Energía de la partícula en el estado

$r$

$Z_{MB}$

Z_MB

Función partición de Maxwell-Boltzmann

$m$

Masa de la partícula

$N$

Numero de partículas

$T$

Temperatura

$v_r$

v_r

Velocidad de la partícula

$r$

m/s

$v$

Velocidad de las partículas

m/s

$\bar{v}$

Velocidad media de las partículas

m/s

$d\vec{v}$

dv3

Volumen infinitesimal en el espacio velocidades

m/s

Berechnungen

Gleichung

Zahl

Zuerst die Gleichung auswählen:

, dann die Variable auswählen:

Symbol

Gleichung

Gelöst

Übersetzt

Berechnungen

Symbol

Gleichung

Gelöst

Übersetzt

Variable

Gegeben

Berechnen

Ziel :

Gleichung

Zu verwenden

Gleichungen

$\ln Z_{MB} = N \ln\left(\displaystyle\sum_ r e^{- \beta \epsilon_r }\right)$

ln Z_MB = N *ln(sum_ r e^(- beta * epsilon_r ))

$f ( \vec{v} )d \vec{v} =\displaystyle\frac{e^{- \beta m v ^2/2}d \vec{v} }{\displaystyle\int d^3 v e^{- \beta m v ^2 /2}}$

f(\vec{v})d\vec{v}=\displaystyle\frac{e^{-\beta mv^2/2}d\vec{v}}{\displaystyle\int d^3v e^{-\beta mv^2/2}}

$\bar{v} =\sqrt{\displaystyle\frac{3 k_B T }{ m }}$

mv =sqrt(3* k_B * T / m )

$\ln Z_{MB} = N \ln\left(\displaystyle\sum_{ v_r }e^{- \beta m v_r ^2/2}\right)$

ln Z_MB = N * ln(sum_ vr exp(- beta * m * vr ^2/2))

$\ln Z_{MB} = N \ln\left(\displaystyle\int d^3 v_r e^{- \beta m v_r ^2/2}\right)$

ln Z_MB = N *ln(@INTEGRATE( exp(- beta * m * v_r ^2/2), &v_r , 0 , infty)

Beispiele

Klassische Partition Funktion

En el caso de la distribuci n Maxwell Boltzmann la funci n partici n cl sica es\\n\\n

$Z_{MB}=\displaystyle\sum_{n_1,n_2,\ldots}\displaystyle\frac{N!}{n_1!n_2!\ldots}e^{-\beta(\epsilon_1+\epsilon_2+\ldots}$

con la condici n de que con list=3665

equation=3665\\n\\nSi observamos la funci n partici n notaremos que corresponde a una serie binomial por lo que\\n\\n

$Z_{MB}=(e^{-\beta\epsilon_1}+e^{-\beta\epsilon_2}+\ldots)^N$

por lo que con list

equation

Logaritmo de la funci n partici n de un gas ideal

En el caso de una part cula libre de masa m su energ a corresponde a la energ a cin tica\\n\\n

$E=\displaystyle\frac{m}{2}v^2$

donde v es la velocidad.

Como la funci n partici n es con list=3736

equation=3736

la funci n partici n en este caso es con list

equation

Logaritmo de la funci n partici n en el limite continuo

En el limite continuo la suma se puede reemplazar por la integral sobre las velocidades\\n\\n

$\displaystyle\sum_{v_r}\rightarrow\displaystyle\int d^3v_r$

la funci n partici n es con list=9588

equation=9588

por lo que con list es

equation

Ideale Gasgeschwindigkeitsverteilung

Del logaritmo de la funci n partici n con list=9589

equation=9589

se puede ver que la distribuci n de las part culas en la velocidad debe ser con list de la forma

equation

Durchschnittliche Geschwindigkeit eines Molek ls in einem idealen Gas

Si se calcula la velocidad promedio de la distribuci n con list

equation=4818

se obtiene que esta es con list

equation

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